化二次型为标准形的方法探讨.doc

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1、1化二次型为标准形的方法探讨刘墨德刘墨德（三明学院 数学与计算机科学系，福建 三明 365004）摘要：文章提供了四种化二次型为标准形的方法，即配方法、正交变换法、合同变换法、Jacobi 方法.关键词：对称矩阵; 二次型; 正交变换;合同变换Some Discusses of Turn Quadratic Form Into Standard FormLIU Mo-de（Department of Mathematics 1,2,)ijaain jn12 22( ,)nnnijij ijf x xxa x x是一个关于的元二次型,由归纳假设,可得经过非退化线性变换可将12,nx xxn化为标

2、准形.12( ,)nf x xx综上所述,数域上的任一个元二次型均可以经过非退化线性变换化为标准形.定理Pn得证.定理 2.1 中化二次型为标准形的方法称为配方法.例例 2.12.18 把二次型化为标准形.222( , , )24262f x y zxyzxyyzzx解解 在中的系数不为零,可先集中含的项,利用配方法把改写为f2xxf222222()()()246fxyz xyzyzyzyz222()43xyzyyzz再在剩下的项中集中含的项,配方后得到y222()(2 )fxyzyzz 于是, 线性变换2xxyzyyzzz 7或 2 xxyzyyzzz 把二次型化为标准形f222fxyz例例

3、 2.22.212 化二次型为标准形,并写出所用的非123121 323( ,)226f x x xx xx xx x退化线性变换.解解 由于中没有平方项，故作非退化线性变换 123( ,)f x x x11221233xyyxyyxy 即.112233110110001xyxyxy 则 123( ,)f x x x22 1122232428yy yyy y222 1322332()282yyyy yy.222 132332()2(2)6yyyyy令, 即. 或.113213332zyyzyyzy 113223332yzzyzzyz 112233101012001yzyzyz 则的标准形为.1

4、23( ,)f x x x222 123226zzz所用的非退化线性变换为.112233110101110012001001xzxzxz 123113111001zzz 对于一般的二次型,当平方项的系数不全为零时,可用例 1 中的方法;当二次型中不含iia有平方项,这时不全为零,可用例 2 中的方法,先作一变换,把二次型化为含有平方项的情形,然ija后再用例 1 中的配方法,这样继续下去就可以把任何一个二次型化为标准形. 3 用正交变换方法化二次型为标准形用正交变换方法化二次型为标准形定义 3.11 设为实阶方阵,如果,则称为正交矩阵.An1TAAA定义 3.21 若变换的矩阵是正交矩阵,则称

5、这个线性变换是正交变换.(1 3)C定义3.32 设为数域上两个阶矩阵,如果可以找到数域上的阶可逆矩阵,A BPnPn,使得,就说相似于.X1BXAXAB 定义3.42 设为阶方阵, 是一个数,如果存在非零向量,使得成立,AnA则称是的一个特征值,为的属于特征值的特征向量.含有未知量的矩阵AA8称为的特征矩阵,其行列式为的次多项式,称为的特征多项式, EAAEAnA称为的特征方程.0EAA定义 3.52 设向量,数量12( ,)na aa12( ,)nb bb称为向量与的内积,记为.1 12 2nnaba ba b1ni i iab( ,) 定义 3.62 如果两个向量与的内积等于 0,即,则

6、称向量与是正交( ,)0 的.定义 3.71 若非零向量组两两正交,即,12,s (,)0ij (, ,ij i j.则称该向量组为一个正交向量组.若一个正交向量组的每一个向量都是单位向量,1,2,) s则称该向量组为一个正交单位向量组.引理 3.11 设是一个线性无关向量组,令12,s (2)s (3-1).1121 221 113231 3321 221111 11 1111, , , ,sss sss ss （） （）（）（） （）（）（）（） （）（）则是一个正交向量组,并且向量组与等价.12,s 12,s 12,s 由式(3-1)生成正交向量组的方法称为施密特正交化方法.定理 3.1

7、4 阶矩阵是正交矩阵的充分必要条件为的个列向量是两两正交的单nCCn位向量.证明 由定义 3.1 有(3-2),TC CE比较式(3-2)两边的对应元素,知成立的充分必要条件为的元素满足关系式TC CECijC,(), (3-3)1nkikjij kC C,1,2,i jn其中,而式(3-3)表示矩阵的个列向量是两两正交的单位向量.0, 1,ijij ijCn定理 3.22 如果阶矩阵与相似,则有相同的特征值.nAB,A B证明 因为与相似,所以存在阶可逆矩阵,使得,而ABnP1BP AP,所以与EB11EP APPEA P1PEAPEAA9有相同的特征多项式,于是与有相同的特征值.BAB定理

8、 3.34 实对称矩阵的对应于不同特征值的特征向量必正交.证明 设是实对称矩阵, 分别是的属于不同特征值的特征向量,A12,XXA12, 由题设知 ,.于是111AXX222AXX112TXX11212()()TTXXAXX1212()TTTXA XXAX.122212()TTXXXX移项,得,但, 所以,即.所以与1212()0TXX120120TXX 12(,)0XX1X正交.2X 定理 3.49 对于任意一个阶实对称矩阵,都存在一个阶正交矩阵,使得nAnC,其中是的全部特征值.121TnC ACC AC 12,n A证明 利用数学归纳法证明.当时,定理结论显然成立.1n 假设对阶实对称矩

9、阵定理已经成立,下面证明对阶实对称矩阵也成立.1nn令是一个阶实对称矩阵,设是的属于特征值的一个单位特征向量,现选个An1XA11n非零向量,使得两两正交.由施密特正交化方法得到个两两正交23,nY YY123,nX Y YYn的单位向量,再以为列向量构成矩阵,是12,nXXX12,nXXX12(,)nPXXXP一个正交矩阵,即.由于是的属于特征值的一个特征向量,于是1TPP1XA11212(,)(,)nnAPA XXXAXAXAX12(,)nXAXAX记.那么2233,nnAXb AXbAXb.112(,)nAPX bb12 112(,)TT T nT nXXP APX bbX .11112

10、1121222112TTT n TTT nTTT nnnnXXX bX bXXXbXbXXXbXb 1121222200nnnnnbbbbbb 又由于是对称矩阵,所以,TP AP121310,0,0nbbb10且是一个阶对称矩阵,由归纳假设,存在一个阶正交2223232333 123nn nnnnnbbbbbbBbbb 1n1n矩阵,使得1nQ.121 111111T nnnnnnnQB QQB Q 于是1 11101000TnnP APQQ 111110010000T nnnQBQ111110000T nnnQBQ.111100T nnnQB Q12n 令.容易看出是一个阶正交矩阵,又是两个

11、正交矩阵的乘积仍是正1100nQQQn,P Q交矩阵.记,得CPQ121TnC ACC AC 由于与相似,由定理 3.2, 它们有相同的特征值,因而,主对角线上的元素1C ACA就是的全部特征值,定理得证.12,n A定理 3.517 实二次型必可由正交变换化为标准形XCY222 1122nnyyy即12( ,)nf x xxTX AXX CY()TTYC AC Y11,其中为的12TnYY 21nii iy 12,n A特征值. 证明 由于实二次型对应的矩阵是实对称矩阵,根据定理 3.4 存在阶正交矩阵,AnC使成对角形.设TC AC12TnC AC 注意到TTCEA CEC AC12n 两

12、边取行列式,即得可见,正是的 12nEA12,n A全部特征值. 现在,令,那么XCY12( ,)nf x xxTX AXX CY()TTYC AC Y12TnYY 222 1122nnyyy至此,定理得证.从定理 3.5 我们可以知道:如果实对称矩阵有个两两正交的单位特征向量An.分别对应于特征值,那么，把作为矩阵的列12,nCCC12,n 12,nCCCC向量,由定理 3.1 知矩阵就是正交矩阵,从而知道正交变换可以使二次型CXCY化为标准形.TX AX222 1122nnyyy下面把用正交变换将二次型化为标准形的步骤归纳如下:TX AX(1) 首先求出实对称矩阵的全部特征值(可能有相同的

13、)A12,n (2) 求出矩阵的属于每一个特征值的线性无关的特征向量(总的个数为),即对于各个不An12同的特征值,求出齐次线性方程组的基础解系. ()0EA X(3)因为属于不同特征值的特征向量是相互正交的(定理 3.3).所以对于每个重数为 1 的那些特征值的特征向量只需将其单位化.对于每个重数为的特征值,先求出个线(1)r r r性无关的特征向量,然后应用施密特正交化方法,得到属于这重特征值的个相互正交rr的单位特征向量.(4)把这个相互正交的单位特征向量作为矩阵的列,得到一个正交矩阵,就是nCXCY使二次型化为标准形的正交变换.TX AX222 1122nnyyy例 312 用正交变换

14、化二次型为标准形.22 123121223( ,)244f x xxxxx xx x解 (1)写出此二次型的矩阵.220212020A (2)求出的特征值A由,得为的特征值.(1)(2)(4)0EA1231,2,4 A(3)求出相应的特征向量当时,由,即解齐次线性方程组,1()0EA X1212232022020xxxxxx 解得基础解系(即为特征向量) .1(2,1, 2)T当时,由,即解齐次线性方程组,2 ()0EA X12123234202320220xxxxxxx 解得基础解系(即为特征向量) .2(1,2,2)T当时,由,即解方程组,4(4)0EA X1212323220233024

15、0xxxxxxx 解得基础解系(即为特征向量) .3(2, 2,1)T(4) 正交单位化由于为对应于不同特征值的特征向量，正交,只需单位化即可, 令123, 123, 13,则为正交11 12 3 11 3 2 3 22 21 3 12 3 2 3 33 32 3 12 3 1 3 123(,)C 矩阵.(5)作正交变换化标准形作正交变换,即XCY,那么112233212 333 122 333 221 333xyxyxy 222 123123( ,)24f x xxyyy例 416 试求一个正交变换,将二次型化121 314232434222222fx xx xx xx xx xx x为标准

16、形.解 (1)求出的特征值A的矩阵，的特征方程为.f0111 1011 1101 1110A A1111110111111EA 将上面行列式的第二,三,四列加到第一列上,得到，1111111(1)111111EA 然后将第二,三,四行各减去第一行,得到，EA1111 0122(1)0212 0001 22(1) (1)43(1) (3)故特征值为.12341,3 （2）求出标准正交特征向量对应于,解齐次线性方程组,即1231()0EA X1412341234123412340000xxxxxxxxxxxxxxxx 求得基础解系: .施密特正交化后,得到方程组解空间的一个123101 100,0

17、10 011 标准正交基,也就是的对应于的三个两两正交的单位特征向量A1, , .111(,0,0)22T211(0,0,)22T311 11( ,)22 22T对应于,解齐次线性方程组或即43 ( 3)0EA X(3)0EA X，此方程组的基础解系只含有一个解向量,单位123412341234123430303030xxxxxxxxxxxxxxxx 4(1, 1, 1,1)T 化以后对应于的单位特征向量.3 4111 1( , )222 2T（3）结论因为对应于不同特征值的特征向量是正交的,所以是两两正交的单位特征1234, 向量,把它们作为矩阵的列,就得到正交矩阵，容易验证，1234111

18、0222 1110222(,)1110222 1110222C 1113TC AC 故通过正交变换,即XCY151134213432344234111 222 111 222 111 222 111 222xyyyxyyyxyyyxyyy 可将原二次型化为标准形.2222 12343fyyyy4 用初等变换方法化二次型为标准形用初等变换方法化二次型为标准形定义 4.11 对单位矩阵施行一次初等变换而得到的矩阵称为初等矩阵.E因为初等变换有 3 种,所以初等矩阵也有 3 类,每个初等行变换都有一个初等矩阵与之对应.(1)单位矩阵的第 行与第行互换后,得.Eij( , )P i j(2)用非零常数

19、乘单位矩阵的第 行 ,得.cEi( ( )P i c,.01 1( , )11P i j 11 ( ( )11P i cc (3)把单位矩阵的第行的倍加到第 行上,得jki.11 ( , ( )11P i j kk 同样可以得到与列变换相应的初等矩阵.并且容易看出对作一次初等列变换所得到的矩E阵也包括在上述这三类矩阵中,其中即是把的第 列的倍加到第列上而得( , ( )P i j kEikj到的矩阵 ,因此上述三类矩阵也就是全部的初等矩阵.定义 4.24 数域上矩阵的下列初等变换称为矩阵合同变换.P16(1)换法合同变换:交换矩阵的第列,再交换所得矩阵的第行., i j, i j(2)倍法合同

20、变换:用中的非零数乘矩阵的第 列 ,再用乘所得矩阵的第 行.Pkiki(3)消法合同变换:把第 列的倍加到第列,再把所得矩阵的第 行的倍加到第行.ikjikj引理 4.116 初等矩阵具有以下性质:(1)三类初等矩阵的行列式: .( , )1,( ( )0,( , ( )1P i jP i ccP i j k 由此可见三种初等矩阵均可逆,并且易知其逆为:.111( , )( , ),( ( ) ( ),Pi jP i j Pi cP ic1( , ( )( , ()Pi j kP i jk(2)三类初等矩阵的转置矩阵: ( , )( , ),( ( )( ( ),TTPi jP i j Pi

21、cP i c( , ( )( , ( )TPi j kP j i k由此可见,三种初等矩阵的逆及其转置还是初等矩阵,并且其类型也不变.引理 4.28 对一矩阵施行初等行变换,相当于用相应的初等矩阵左乘;而对施AAA行初等列变换,相当于用相应的初等矩阵右乘.A引理 4.38 阶方阵可逆的充分必要条件是可表示称若干个初等矩阵之积.nA由于二次型与其标准形等价,而标准形的矩阵是对角矩阵,从而用矩阵语言可将定理 2.1表述为：引理 4.43 数域上的任一个阶对称矩阵均合同于一个对角矩阵.Pn下面讨论利用矩阵的初等变换将二次型化为标准形的方法.设是数域上的一个阶对称矩阵,由引理 4.4 可知,存在一个阶

22、可逆矩阵,使APnnC.由可逆,故可以表示成一些初等矩阵的乘积,即,12(,)T nC ACdiag d ddCC12,tP PP12tCPPP故. 1212()()T ttPPPA PPP2112TTT ttPP P APPP12(,)ndiag d dd(4 1)这说明,经过一系列初等变换可化成对角矩阵.由于初等矩阵有三种A12(,)ndiag d dd类型,且( , ), ( ( ), ( , ( )P i j P i cP i j k( , )( , ),( ( )( ( ),TTPi jP i j Pi cP i c，于是我们有,这相当于把的( , ( )( , ( )TPi j k

23、P j i k( , )( , )( , )( , )TPi j AP i jP i j AP i jA第列互换 ,再把所得矩阵的第行互换；而，, i j, i j( ( )( ( )( ( )( ( )TPi kAP i kP i kAP i k相当于把的第 列乘上非零数,再把所得矩阵的第 行乘上数.又Aikik，相当于把的第 行的倍加到第行,( , ( )( , ( )( , ( )( , ( )TPi j kAP i j kP i j kAP i j kAikj再把所得矩阵的第 行的倍加到第行.ikj综上所述,若是一个初等矩阵,则式相当于对进行一次初等列变换,再对所iP(4 1)A得矩阵

24、进行一次同样类型的初等行变换.定理 4.13 设为数域上的阶矩阵,若对阶矩阵的前行,列进行AFn2n nA E nn17合同变换化为,则可逆,且.B C CTBC AC证明 由条件可知,存在阶可逆矩阵,且令,使n12,.,tP PP12tPPPP.TTTABPOP AP APPPECOEEP故,且可逆.TBP APCP由定理 4.1 可知,若为二次型的矩阵,用合同变换将化为,其中AA E DC ,则相当于用非退化线性变换,将二次型12(,.,)nDdiag d ddXCY,化成标准形. 这种方法我们称为化二次12( ,.,)T nf x xxX AX222 1122.nnd yd yd y型为

25、标准形的初等变换方法.操作方法是：将二次型矩阵写在单位矩阵的上面，构成分块矩阵，先对AE2n nAE 分块矩阵的列作初等变换，然后对的行作相同内容的初等行变换，当二次型的2n nAE A矩阵化为对角矩阵时，单位矩阵就化为可逆矩阵.AEC例 516 用初等变换方法化二次型为标准形,并写出所用的222 123123121323( ,)364410f x xxxxxx xx xx x非退化线性变换.解 的矩阵为,构造分块矩阵，先对此矩阵作123( ,)f x xx122235256A 6 3AE 初等列变换，然后对 A 的行作相同内容的初等行变换：.122100100100100 235211011

26、010010 256212012013003 100122122124124 010010010011011 001001001001001A E 故的标准形为,所作的非退化线性变换为,123( ,)f x xx222 1233yyyXCY18其中.124011001C 注：注：此例题的第一次初等列变换是先把矩阵的第一列乘 2，然后分别加到第二列、第三 列上，相同内容的行变换也就是把第一行乘 2 然后分别加到第二行、第三行上；第二次初 等列变换是先把矩阵的第二列乘 1，然后加到第三列上，相同内容的行变换也就是把第二 行乘 1 然后加到第三行上.5 Jacobi 方法引理 5.118 设二次型矩

27、阵的个顺序主子式12 ,1( ,)nnijij i jf x xxa x x1n均不为零 ，则二次型可化11121,121212,11112 11121 21221,11,21,1,nn nnnnnaaa aaaaaaaa aaa 为标准形 .222212 1121 121nn nn nnfyyyy 例 618 用 Jacobi 方法化二次型为标准形.22 123412121323( ,)8228f x xx xxxx xx xx x解 二次型的矩阵，的顺序主子式111184140A A，123111111,9,184018140 2222232 112212 129fyyyyy 6 讨论 在

28、实际应用中，我们要根据要求选用不同的方法解题，配方法的优点是方法初等，易于 接受，但是当元数较多时，由于计算过于复杂，往往不被采用；矩阵初等变换法比较简单 而实用，且适用于元数较多情形；正交变换法算法科学、有序、稳定，最大的优点是某个 问题经正交变化为标准形后，其几何图形保持不变；Jacobi 方法简单，易于操作，但没有 给出相应的非奇异线性变换.对于二次型的标准形我们还要注意两点：1）：一个二次型的标准形不是唯一的；2）： 任何一个二次型的标准形中含的总项数就是该二次型的秩数，而且，当限定变换为实可逆 线性变换时，标准形中的正系数的个数与负系数的个数不变.19参考文献参考文献1 北京大学数学

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