《数学模型》作业解答（第一章）.doc

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1、第一章作业解答第 1 页 共 58 页数学模型数学模型作业解答作业解答第二章第二章(1)（2008 年年 9 月月 16 日）日）1 1 学校共 1000 名学生，235 人住在 A 宿舍，333 人住在 B 宿舍，432 人住在 C 宿舍.学生们要组织一个 10 人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数：（1）. 按比例分配取整数的名额后,剩下的名额按惯例分给小数部分较大者;（2）. 1 中的 Q 值方法；（3）.dHondt 方法：将 A、B、C 各宿舍的人数用正整数 n=1,2,3,相除，其商数如下表：将所得商数从大到小取前 10 个（10 为席位数） ，在数字下标以横线，表中A、B、

2、C 行有横线的数分别为 2，3，5，这就是 3 个宿舍分配的席位.你能解释这种方法的道理吗？如果委员会从 10 个人增至 15 人，用以上 3 种方法再分配名额，将 3 种方法两次分配的结果列表比较.解：解：先考虑 N=10 的分配方案，,432 ,333 ,235321ppp 31.1000iip方法一（按比例分配）方法一（按比例分配）,35. 2311 1 iipNpq,33. 3312 2 iipNpq32. 4313 3 iipNpq分配结果为： 4 , 3 , 3321nnn方法二（方法二（Q Q 值方法）值方法）9 个席位的分配结果（可用按比例分配）为：1 2 3 4 5ABC23

3、5 117.5 78.3 58.75 333 166.5 111 83.25 432 216 144 108 86.4第一章作业解答第 2 页 共 58 页4 , 3 , 2321nnn第 10 个席位：计算 Q 值为,17.92043223521Q,75.92404333322Q2 .93315443223Q最大，第 10 个席位应给 C.分配结果为 3Q5 , 3 , 2321nnn方法三（方法三（dHondtdHondt 方法）方法）此方法的分配结果为：5 , 3 , 2321nnn此方法的道理是：此方法的道理是：记和为各宿舍的人数和席位（i=1,2,3 代表 A、B、C 宿舍）.ipi

4、n是每席位代表的人数，取从而得到的中选较大者，可使对所有的ii np, 2 , 1inii np尽量接近., iii np再考虑的分配方案，类似地可得名额分配结果.现将 3 种方法两次分配的结果15N列表如下：宿舍（1） （2） （3）（1） （2） （3）ABC3 2 23 3 34 5 54 4 35 5 56 6 7总计10 10 1015 15 152 2 试用微积分方法，建立录像带记数器读数 n 与转过时间的数学模型.解：解： 设录像带记数器读数为 n 时，录像带转过时间为 t.其模型的假设见课本.考虑 到时间内录像带缠绕在右轮盘上的长度，可得两ttt,2)(kdnwknrvdt边积

5、分，得 ntdnwknrkvdt 00)(2)22 2nwkk(r n vt.222 nvkwnvrkt第二章第二章(2)(2)（20082008 年年 1010 月月 9 9 日）日）第一章作业解答第 3 页 共 58 页1515速度为的风吹在迎风面积为的风车上，空气密度是 ，用量纲分析方法确定风车vs 获得的功率与、S、的关系.Pv解解: : 设、S、的关系为， 其量纲表达式为:Pv0),(svPfP=, =,=,=,这里是基本量纲.32TMLv1LTs2L3MLTML,量纲矩阵为：A=()()()()()()(001310013212svPTML齐次线性方程组为：030032221414

6、321yyyyyyyy它的基本解为)1 , 1 ,3 , 1(y由量纲定理得 ， ， 其中是无量纲常数.iP1131svP113svP 1616雨滴的速度与空气密度、粘滞系数和重力加速度有关，其中粘滞系数的定义vg 是：运动物体在流体中受的摩擦力与速度梯度和接触面积的乘积成正比，比例系数为粘滞 系数，用量纲分析方法给出速度的表达式.v解解：设, 的关系为,=0.其量纲表达式为=LM0T-1，=L-v g(fv g)v3MT0，=MLT-2（LT-1L-1）-1L-2=MLL-2T-2T=L-1MT-1，=LM0T-2,其中 L，M，T 是基本量g纲. 量纲矩阵为 A=)()()()()()()

7、(210101101131gvTML齐次线性方程组 Ay=0 ，即 02y-y- y-0 yy0yy-3y-y 431324321的基本解为 y=(-3 ,-1 ,1 ,1)第一章作业解答第 4 页 共 58 页由量纲定理 得 . ，其中是无量纲常数.iPgv133gv 1616 雨滴的速度与空气密度、粘滞系数、特征尺寸和重力加速度有关，其中*vg粘滞系数的定义是：运动物体在流体中受的摩擦力与速度梯度和接触面积的乘积成正比，比例系数为粘滞系数，用量纲分析方法给出速度的表达式.v解解：设,， 的关系为.其量纲表达式为v g0),(gvf=LM0T-1，=L-3MT0，=MLT-2（LT-1L-1

8、）-1L-2=MLL-2T-2T=L-1MT-1，=LM0T0 ，v=LM0T-2g其中 L，M，T 是基本量纲. 量纲矩阵为A=)()()()()()()()(210010110011311gvTML齐次线性方程组 Ay=0 即 020035414354321yyyyyyyyyy的基本解为 )21, 1 , 1,23, 0()21, 0, 0,21, 1 (21yy得到两个相互独立的无量纲量2/112/3 22/12/1 1 ggv 即 . 由 , 得 1 212/12/3 1,ggv0),(21)(1 21, 其中是未定函数. )(12/12/3gg2020.考察阻尼摆的周期，即在单摆运动

9、中考虑阻力，并设阻力与摆的速度成正比.给出周期的表达式，然后讨论物理模拟的比例模型，即怎样由模型摆的周期计算原型摆的周期.解解：设阻尼摆周期 ,摆长 , 质量,重力加速度，阻力系数的关系为tlmgk第一章作业解答第 5 页 共 58 页0),(kgmltf其量纲表达式为：112120000000)( , , , ,LTMLTvfkTLMgMTLmTLMlTMLt， 其中，是基本量纲.10MTLLMT 量纲矩阵为 A=)()()()()()()()(120011010001010kgmltTML齐次线性方程组 02005415342yyyyyyy的基本解为) 1 ,21, 1,21, 0()0

10、,21, 0 ,21, 1 (21YY得到两个相互独立的无量纲量, , glt 1)(212/12/12mgkl ，其中是未定函数 .)(2/12/1mgkl glt考虑物理模拟的比例模型，设和不变，记模型和原型摆的周期、摆长、质量分别为gk,； ,;,. 又 ttllmm)(2/12/1gml k glt当无量纲量时， 就有 .ll mm ll lg gl tt数学模型数学模型作业解答作业解答第三章第三章 1 1（20082008 年年 1010 月月 1414 日）日）22/112/112/12/1 kgmlgtl第一章作业解答第 6 页 共 58 页1.1. 在 3.1 节存贮模型的总费

11、用中增加购买货物本身的费用,重新确定最优订货周期和订货批量证明在不允许缺货模型中结果与原来的一样，而在允许缺货模型中最优订货周期和订货批量都比原来结果减少解：解：设购买单位重量货物的费用为,其它假设及符号约定同课本k对于不允许缺货模型，每天平均费用为：01krrTc TcTC2)(2122 21rc Tc dTdC令 ， 解得 0dTdC rccT21*2由 ， 得rTQ 212 crcrTQ与不考虑购货费的结果比较，、的最优结果没有变对于允许缺货模型，每天平均费用为：02 kQQrTrc rQccTQTC232 2 1)(221),(222 33 22 2 21 222TkQ rTQcrc

12、rTQc Tc TCTk rTQccrTQc QC3 32令 ， 得到驻点： 00QCTC3232222 33232132233221)(22cckr cccrkc ccc crcQcck ccc rccT与不考虑购货费的结果比较，、的最优结果减少第一章作业解答第 7 页 共 58 页2 2建立不允许缺货的生产销售存贮模型设生产速率为常数，销售速率为常数，kr在每个生产周期内，开始的一段时间一边生产一边销售，后来rk 00Tt 的一段时间只销售不生产，画出贮存量的图形.设每次生产准备费为)(0TtT)(tg，单位时间每件产品贮存费为，以总费用最小为目标确定最优生产周期，讨论1c2c和的情况.r

13、k rk 解：解：由题意可得贮存量的图形如下：)(tg贮存费为 niTiitTTrkcdttgctgc10 202022)()()(lim又 )()(00TTrTrk, 贮存费变为 TkrT 0kTTrkrc2)(2于是不允许缺货的情况下，生产销售的总费用（单位时间内）为kTrkrcTc kTTrkrc TcTC2)( 2)()(212 21.krkrcTc dTdC 2)(221, 得0dTdC令)(221 rkrckcT易得函数取得最小值，即最优周期为： 处在TTC)()(221 rkrckcT. 相当于不考虑生产的情况.rccTrk212时当. 此时产量与销量相抵消，无法形成贮存量.Tr

14、k时当rk )(tgrtgT0TO第一章作业解答第 8 页 共 58 页第三章第三章 2 2（20082008 年年 1010 月月 1616 日）日）3 3在 3.3 节森林救火模型中，如果考虑消防队员的灭火速度与开始救火时的火势有关，b试假设一个合理的函数关系，重新求解模型.解：解：考虑灭火速度与火势有关，可知火势越大，灭火速度将减小，我们作如bb下假设: ，1)(bkb分母而加的.时是防止中的011bb总费用函数 xcbkxbxtc bkxbtctcxC3122 12 12 11) 1( )(2) 1( 2 最优解为 kb kcbbbckbcx) 1( 2) 1() 1(22 322 1

15、5 5在考虑最优价格问题时设销售期为 T，由于商品的损耗，成本随时间增长，设q，.又设单位时间的销售量为.今将销售tqtq0)(为增长率)( 为价格pbpax期分为两段，每段的价格固定，记作.求的最优值，TtTTt220和21, pp21, pp使销售期内的总利润最大.如果要求销售期 T 内的总售量为，再求的最优值.0Q21, pp解：解：按分段价格，单位时间内的销售量为TtTbpaTtbpax 2,20 ,21又 .于是总利润为tqtq0)(202221121)()()()(),(TTTdtbpatqpdtbpatqppp=22)( 022)(2 0222 011TT ttqtpbpaT t

16、tqtpbpa =)83 22)()822)(2 02 22 01 1TtqTpbpaTTqTpbpa第一章作业解答第 9 页 共 58 页)(2)822(12 011bpaTTTqTpbp)(2)83 22(22 022bpaTTtqTpbp, 得到最优价格为:0, 021 pp令 )43(21)4(210201TqbabpTqbabp在销售期 T 内的总销量为2 0221210)(2)()(TTTppbTaTdtbpadtbpaQ于是得到如下极值问题：)83 22)()822)(),(max2 02 22 01 121TtqTpbpaTTqTpbpappts.021)(2QppbTaT利用

17、拉格朗日乘数法，解得： 880 20 1 T bTQ bapT bTQ bap即为的最优值.21, pp第三章第三章 3 3（20082008 年年 1010 月月 2121 日）日）6.6. 某厂每天需要角钢 100 吨，不允许缺货.目前每 30 天定购一次，每次定购的费用为2500 元.每天每吨角钢的贮存费为 0.18 元.假设当贮存量降到零时订货立即到达.问是否应改变订货策略？改变后能节约多少费用？解：解：已知：每天角钢的需要量 r=100(吨);每次订货费2500（元）;1c第一章作业解答第 10 页 共 58 页每天每吨角钢的贮存费0.18（元）.又现在的订货周期 T 30（天）2c

18、0根据不允许缺货的贮存模型：krrTcTcTC21 21)(得：kTTTC10092500)(令 ， 解得：0dTdC 350 92500*T由实际意义知：当（即订货周期为）时，总费用将最小.350*T350又300100kkTC10035095025003)(*=35333100kkTC100309302500)(0（353.33100k）（300100k）5333.)(0TC)(*TC32故应改变订货策略.改变后的订货策略（周期）为 T =，能节约费用约 5333 元.* 350数学模型数学模型作业解答作业解答第四章（第四章（20082008 年年 1010 月月 2828 日）日）1.1

19、.某厂生产甲、乙两种产品,一件甲产品用原料 1 千克, 原料 5 千克；一件乙产品AB用原料 2 千克, 原料 4 千克.现有原料 20 千克, 原料 70 千克.甲、乙产品每件ABAB售价分别为 20 元和 30 元.问如何安排生产使收入最大？解：解：设安排生产甲产品 x 件,乙产品 y 件，相应的利润为 S 则此问题的数学模型为：max S=20x+30ys.t. Zyxyxyxyx, 0,7045202这是一个整线性规划问题，现用图解法进行求解可行域为：由直线：x+2y=20, :5x+4y70 1l2ly 2l925002TdTdC第一章作业解答第 11 页 共 58 页以及 x=0,

20、y=0 组成的凸四边形区域. 直线 ：20x+30y=c 在可行域内 ll 平行移动.易知：当 过与的交点时， xl1l2l1lS 取最大值. 由 解得 7045202 yxyx 510 yx此时 20350（元）maxS530102.2. 某厂拟用集装箱托运甲乙两种货物，每箱的体积、重量以及可获利润如下表：货物体积 （立方米/箱）重量 （百斤/箱）利润 （百元/箱）甲5220 乙4510已知这两种货物托运所受限制是体积不超过 24 立方米，重量不超过 13 百斤.试问这两 种货物各托运多少箱，使得所获利润最大，并求出最大利润.解解: :设甲货物、乙货物的托运箱数分别为,所获利润为则问题的数学

21、模型可表示为1x2xz .211020 maxxxzZyxxxxxxxst, 0,13522445212121这是一个整线性规划问题.用图解法求解. 可行域为：由直线2445:211 xxl及组成直线 在此凸四边形区域内1352:212 xxl0, 021xxcxxl211020:平行移动.2ll1x1l2x第一章作业解答第 12 页 共 58 页易知：当 过与的交点时，取最大值ll1l2z由 解得 135224452121 xxxx 1421 xx. 90110420maxz3 3某微波炉生产企业计划在下季度生产甲、乙两种型号的微波炉.已知每台甲型、乙型微波炉的销售利润分别为 3 和 2 个

22、单位.而生产一台甲型、乙型微波炉所耗原料分别为 2 和 3个单位,所需工时分别为 4 和 2 个单位.若允许使用原料为 100 个单位,工时为 120 个单位,且甲型、乙型微波炉产量分别不低于 6 台和 12 台.试建立一个数学模型,确定生产甲型、乙型微波炉的台数,使获利润最大并求出最大利润.解解：设安排生产甲型微波炉件,乙型微波炉件,相应的利润为 S.xy 则此问题的数学模型为：max S=3x +2ys.t. Zyxyxyxyx,12, 61202410032这是一个整线性规划问题用图解法进行求解可行域为：由直线：2x+3y=100, :4x+2y120 1l2l及 x=6,y=12 组成

23、的凸四边形区域. 直线 ：3x+2y=c 在此凸四边形区域内平行移动. 易知：当 过与的交点时, Sll1l2l取最大值. 由 解得 1202410032 yxyx第一章作业解答第 13 页 共 58 页. 2020 yx3100.maxS20220数学模型数学模型作业解答作业解答第五章第五章 1 1（20082008 年年 1111 月月 1212 日）日）1.1.对于 5.1 节传染病的模型，证明：SIR（1）若，然后减少并趋于零；单调减处最大先增加，在则1)(,10stis )(ts少至.s（2）.)()(,10ststis单调减少至单调减少并趋于零，则若解：解：传染病的模型（14）可写

24、成SIRi sdtdssidtdi) 1(.)(lim 0.(t) .)( . 0, t存在而单调减少知由stsstsdtdsi sdtds.)(sts单调减少至故（1）.ss(t) .s(t) .100单调减少由若s;)(, 0 . 01,10单调增加时当tidtdisss.)(, 0 . 01,1单调减少时当tidtdiss. 0)(lim . 0)18( t tii即式知又由书上第一章作业解答第 14 页 共 58 页.)( . 0,1mitidtdis达到最大值时当（2）. 00.1-s ,1,10dtditss从而则若. 0. 0limititi t即单调减少且4 4在 5.3 节正

25、规战争模型（3）中，设乙方与甲方战斗有效系数之比为. 4ba初始兵力相同.00yx 与(1) 问乙方取胜时的剩余兵力是多少,乙方取胜的时间如何确定.(2) 若甲方在战斗开始后有后备部队以不变的速率增援,重新建立模型,讨论如何判断r双方的胜负.解解: :用表示甲、乙交战双方时刻 t 的士兵人数,则正规战争模型可近似表示为: tytx, 000,01 ,yyxxbxdtdyaydtdx现求(1)的解: (1)的系数矩阵为 00 baAababbaAE1,22. 0 1212,21，对应的特征向量分别为. tabtabeCeCtytx 1212121的通解为再由初始条件，得第一章作业解答第 15 页

26、 共 58 页 2 2200 00tabtabeyxeyxtx 又由.1aybx dxdy可得其解为 3 ,2 02 022bxaykkbxay而(1) .2310002 02 0 11yabyabxay aktytx 时，当即乙方取胜时的剩余兵力数为.230y又令 . 0222, 011 00 00 1 tabtabeyxeyxtx）得由（注意到. 00002 0022,1 xyyxeyxtab 得.43ln, 3121 btetab(2) 若甲方在战斗开始后有后备部队以不变的速率增援.则r 000,)0(4 yyxxbxdtdyraydtdx相轨线为 .,4rdyaydybxdxbxray

27、 dydx即得由,222kbxryay此相轨线比书图 11 中的轨线上移了.22 22 20 .02 0karbxaryabxryayk 或第一章作业解答第 16 页 共 58 页乙方取胜的条件为.ar., 022 2 020arxab aryk 亦即第五章第五章 2 2（20082008 年年 1111 月月 1414 日）日）6.6. 模仿 5.4 节建立的二室模型来建立一室模型（只有中心室） ，在快速静脉注射、恒速静脉滴注（持续时间为）和口服或肌肉注射 3 种给药方式下求解血药浓度，并画出血药浓度曲线的图形.解解: : 设给药速率为 ,0VtCtxtf容积为血药浓度为中心室药量为 .,0

28、/tVCtxtftkxtxk则排除速率为常数(1)快速静脉注射: 设给药量为 则,0D .,0, 000 0tkeVDtCVDCtf解得(2)恒速静脉滴注(持续时间为): 设滴注速率为解得 , 00,000Cktfk ，则 teeVkkteVkktC tkktkt,10 ,100(3) 口服或肌肉注射: ，解得）式节（见134 . 501 0010tkeDktf 0101 01001,01kkteVkDkkeekkVDktCkttkkt3 种情况下的血药浓度曲线如下：中心室,tCtxV排除ktf0第一章作业解答第 17 页 共 58 页(1)(2)(3)Ot第五章第五章 3 3（2008200

29、8 年年 1111 月月 1818 日）日）8.8. 在 5.5 节香烟过滤嘴模型中,(1) 设3 . 0,/50,08. 0,02. 0,20,80,80021asmmbmmlmmlmgM求./21QQQ和(2) 若有一支不带过滤嘴的香烟,参数同上,比较全部吸完和只吸到处的情况下，进入1l人体毒物量的区别.解解)(857563.229102. 07 . 050103 . 01508002. 07 . 0 502008. 0/01/ 2 毫克 eeeebavawQvbla vl，10/10lMw其中 97628571. 0502002. 008. 0212 eeQQvlb第一章作业解答第 18

30、 页 共 58 页(2) 对于一支不带过滤嘴的香烟,全部吸完的毒物量为 vbla ebavawQ 10 3只吸到处就扔掉的情况下的毒物量为1l vbla vbl eebavawQ1 2 10 4.256531719. 1110096. 0032. 0012. 004. 0508002. 03 . 0508002. 05010002. 03 . 05010002. 043111 1 eeeeeeeeeeeeeeeeQQvabl vblvabl vblvbla vblvbla vbl44.235,84.29543 Q4 4在 5.3 节正规战争模型（3）中，设乙方与甲方战斗有效系数之比为. 4ba

31、初始兵力相同.00yx 与(1) 问乙方取胜时的剩余兵力是多少,乙方取胜的时间如何确定.(2) 若甲方在战斗开始后有后备部队以不变的速率增援,重新建立模型,讨论如何判断r双方的胜负.解解: :用表示甲、乙交战双方时刻 t 的士兵人数,则正规战争模型可近似表示为: tytx, 000,01 ,yyxxbxdtdyaydtdx现求(1)的解: (1)的系数矩阵为 00 baAababbaAE1,22. 0第一章作业解答第 19 页 共 58 页 1212,21，对应的特征向量分别为. tabtabeCeCtytx 1212121的通解为再由初始条件，得 2 2200 00tabtabeyxeyxt

32、x 又由.1aybx dxdy可得其解为 3 ,2 02 022bxaykkbxay而(1) .2310002 02 0 11yabyabxay aktytx 时，当即乙方取胜时的剩余兵力数为.230y又令 . 0222, 011 00 00 1 tabtabeyxeyxtx）得由（注意到. 00002 0022,1 xyyxeyxtab 得.43ln, 3121 btetab(2) 若甲方在战斗开始后有后备部队以不变的速率增援.则r 000,)0(4 yyxxbxdtdyraydtdx第一章作业解答第 20 页 共 58 页相轨线为 .,4rdyaydybxdxbxray dydx即得由,2

33、22kbxryay此相轨线比书图 11 中的轨线上移了.22 22 20 .02 0karbxaryabxryayk 或乙方取胜的条件为.ar., 022 2 020arxab aryk 亦即数学模型数学模型作业解答作业解答第六章（第六章（20082008 年年 1111 月月 2020 日）日）1.在 6.1 节捕鱼模型中，如果渔场鱼量的自然增长仍服从 Logistic 规律，而单位时间捕捞量为常数 h(1)分别就，这 3 种情况讨论渔场鱼量方程的平衡点及其4/rNh 4/rNh 4/rNh 稳定状况(2)如何获得最大持续产量，其结果与 6.1 节的产量模型有何不同解解：设时刻 t 的渔场中

34、鱼的数量为，则由题设条件知：变化规律的数学模型为txtxhNxrxdttdx)1 ()(记hNxrxxF)1 ()(1).讨论渔场鱼量的平衡点及其稳定性：由，得 0xF0)1 (hNxrx即 102hrxxNr，)4(42 NhrrNrhr(1)的解为：2412, 1NrNhN x 当，(1)无实根，此时无平衡点；4/rNh 0第一章作业解答第 21 页 共 58 页当，(1)有两个相等的实根，平衡点为.4/rNh 020Nx ， 不能断定其稳定性.NrxrNrx NxrxF2)1 ()(0)(0xF但 及 均有 ，即不稳定；0xx 0xx 04)1 ()(rN NxrxxF0dtdx0x当，

35、时，得到两个平衡点：4/rNh 0， 2411NrNhN x 2412NrNhN x 易知： ， ， ，21Nx 22Nx 0)(1xF0)(2xF平衡点不稳定，平衡点稳定1x2x.(2)最大持续产量的数学模型为 0)(. .max xFtsh即 ， )1 (maxNxrxh易得 此时 ，2* 0Nx 4rNh但这个平衡点不稳定这是与 6.1 节的产量模型不同之处2* 0Nx 要获得最大持续产量，应使渔场鱼量，且尽量接近，但不能等于2Nx 2N 2N2.与 Logistic 模型不同的另一种描述种群增长规律的是 Gompertz 模型：其中 r 和 N 的意义与 Logistic 模型相同xN

36、rxtxln设渔场鱼量的自然增长服从这个模型，且单位时间捕捞量为讨论渔场鱼量的Exh 平衡点及其稳定性，求最大持续产量及获得最大产量的捕捞强度和渔场鱼量水mhmE平* 0x解：解：变化规律的数学模型为 txExxNrxdttdxln记 ExxNrxxFln)(xNxrx/12x2/N1x4/rNh 4/rNh 4/rNh 第一章作业解答第 22 页 共 58 页 令，得 ， 0xF0ln ExxNrxrE Nex001x平衡点为 . 又，1, 0xx ErxNrxFln 1 0, 0xFrxF平衡点是稳定的，而平衡点不稳定. ox1xxNrxlnerN最大持续产量的数学模型为：. 0, 0ln

37、. .maxxExxNrxtsExh由前面的结果可得 rE ENeh，令rE rE erENNedEdh. 0dEdh得最大产量的捕捞强度从而得到最大持续产量，此时渔场鱼量水平rEmerNhm/eNx * 03设某渔场鱼量(时刻 渔场中鱼的数量)的自然增长规律为：)(txt)1 ()( Nxrxdttdx其中为固有增长率,为环境容许的最大鱼量. 而单位时间捕捞量为常数.rNh1 求渔场鱼量的平衡点,并讨论其稳定性;02 试确定捕捞强度,使渔场单位时间内具有最大持续产量,求此时渔场鱼量水平.0 mEmQ* 0x解解：1 变化规律的数学模型为 0)(txhNxrxdttdx)1 ()(记,令 ，即

38、 -（1）hNxrxxf)1 ()(0)1 (hNxrx02hrxxNryExy xfy x 0x0eN第一章作业解答第 23 页 共 58 页， （1）的解为：)4(42 NhrrNrhr2412, 1NrNhN x 当时， （1）无实根，此时无平衡点； 0 当时， （1）有两个相等的实根，平衡点为.020Nx ， 不能断定其稳定性.NrxrNrx Nxrxf2)1 ()(0)(0xf但 及 均有 ，即不稳定； 0xx 0xx 04)1 ()(rN Nxrxxf0dtdx0x 当时，得到两个平衡点：0， 2411rNhNN x 2412rNhNN x 易知 ， ， 21Nx 22Nx 0)(

39、 1xf0)( 2xf平衡点不稳定 ，平衡点稳定. 1x2x2 最大持续产量的数学模型为： 0 0)(. .max xftsh即 ， 易得 此时 ，但这个平衡点不稳)1 (maxNxrxh2* 0Nx 4rNh2* 0Nx 定.要获得最大持续产量，应使渔场鱼量,且尽量接近,但不能等于. 2Nx 2N 2N数学模型数学模型第七章作业第七章作业（20082008 年年 1212 月月 4 4 日）日）1对于 7.1 节蛛网模型讨论下列问题：（1）因为一个时段上市的商品不能立即售完，其数量也会影响到下一时段的价格，所以第时段的价格由第和第时段的数量和决定，1k1ky1kk1kxkx如果仍设仍只取决于，给出稳定平衡的条件，并与 7.1 节的结果进行比1kxky第一章作业解答第 24 页 共 58 页较.2已知某商品在时段的数量和价格分别为和，其中 1 个时段相当于商kkxky品的一个生产周期.设该商品的需求函数和供应函数分别为和)(kkxfy .试建立关于商品数