【创新设计】2011届高三数学一轮复习-第3知识块第7讲正、余弦定理及其实际应用课件-北师大版.ppt

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1、【考纲下载考纲下载】1. 掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题2能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.第第7 7讲讲 正、余弦定理及其实际应用正、余弦定理及其实际应用第一页，编辑于星期五：五点 六分。正弦定理正弦定理(1)定理定理： = 其中其中R为三角形外接圆的半径为三角形外接圆的半径(2)变式变式：a，b ，c ；sin A ，sin B ，sin C ；abc .2RsinA2RsinB2RsinC

2、sinAsinBsinC1提示：三角形的两边和其中一边的对角，利用正弦定理求其他的角和边时，要注提示：三角形的两边和其中一边的对角，利用正弦定理求其他的角和边时，要注意对解的情况进行判断，这类问题往往有一解，两解，无解三种情况意对解的情况进行判断，这类问题往往有一解，两解，无解三种情况第二页，编辑于星期五：五点 六分。2余弦定理余弦定理 (1)定理：定理：a2 ； b2 ； c2 ； (2)变式：变式：cos A ； cos B ； cos C .b2c22bccosAa2c22accosBa2b22abcosC提示：在提示：在ABC中，中，a，b，A，求，求c时，利用余弦定理时，利用余弦定理

3、a2b2c22bccos A得到关于得到关于c的二次方程，但也应注意三角形解的个数的判断的二次方程，但也应注意三角形解的个数的判断第三页，编辑于星期五：五点 六分。3三角形面积公式三角形面积公式(1)S (ha表示表示a边上的高边上的高)；(2)S absin C ；(3)S r(abc)(r为内切圆半径为内切圆半径)实际问题中的常用角实际问题中的常用角(1)仰角和俯角仰角和俯角与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线线在水平视线 叫仰角；目标视线在水平视线叫仰角；目标视线在水平视线 叫俯角叫俯角( (

4、如图如图) )上方上方下方下方4第四页，编辑于星期五：五点 六分。(2)方位角方位角指从指从 方向顺时针转到目标方向线的水平角，如方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为点的方位角为(如图如图)正北正北(3)坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数提示：提示：在解决与三角形有关的实际问题时，首先要明确题意，正确画出平在解决与三角形有关的实际问题时，首先要明确题意，正确画出平面图形或空间图形，然后根据条件和图形特点将问题归结到三角形中解决面图形或空间图形，然后根据条件和图形特点将问题归结到三角形中解决第五页，编辑于星期五：五点 六分。1ABC的内角的内角

5、A，B，C的对边分别为的对边分别为a，b，c.假设假设c ，b ，B120， 那么那么a等于等于()解析：解析：由正弦定理得由正弦定理得 又又C为锐角，那么为锐角，那么C30，A30，ABC为等腰三角形，为等腰三角形，ac . 答案：答案：D第六页，编辑于星期五：五点 六分。2(2021广东卷广东卷)ABC中，中，A，B，C的对边分别为的对边分别为a，b，c. 假设假设ac ，且，且A75，那么，那么b()解析：解析：ac，A75，B30，b2a2c22accos 30b2.答案：答案：A第七页，编辑于星期五：五点 六分。3锐角锐角ABC的面积为的面积为3 ，BC4，CA3，那么角，那么角C的

6、大小为的大小为() A75 B60 C45 D30答案：答案：B第八页，编辑于星期五：五点 六分。4在在200m高的山顶上，测得山下一塔的塔顶和塔底的俯角分别是高的山顶上，测得山下一塔的塔顶和塔底的俯角分别是 30、60，那么塔高为，那么塔高为_m.在在ACD中，由余弦定理得，中，由余弦定理得，解析：如图，由可得解析：如图，由可得BAC=30，CAD=30， BCA=60，ACD=30，ADC=120，第九页，编辑于星期五：五点 六分。判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行思考，主要看其是否是判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行思考，主要看其是否是正三角形、等腰三角形、直角三角形

7、、钝角三角形或锐角三角形，要特别正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形，要特别注意注意“等腰直角三角形与等腰直角三角形与“等腰三角形或直角三角形的区别依据条件中等腰三角形或直角三角形的区别依据条件中的边角关系判断时，主要有如下两条途径：的边角关系判断时，主要有如下两条途径：(1)利用正、余弦定理把条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出利用正、余弦定理把条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；边的相应关系，从而判断三角形的形状；(2)利用正、余弦定理把条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函利用正、余弦定理把条件转化为内角的三角

8、函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用ABC这个结论这个结论第十页，编辑于星期五：五点 六分。 在在 中，中， 分别表示三个内角分别表示三个内角 的对边，如果的对边，如果 ，判断三角形的形状，判断三角形的形状思维点拨：利用正弦定理、余弦定理进行边角互化，转化为边边关系或角角关系思维点拨：利用正弦定理、余弦定理进行边角互化，转化为边边关系或角角关系【例例1】解：解法一：等式可化为解：解法一：等式可化为a2sin(AB)sin(AB)b2sin(AB)sin(AB)2a2cos A

9、sin B2b2cos Bsin A由正弦定理可知上式可化为：由正弦定理可知上式可化为：sin2Acos Asin Bsin2Bcos Bsin Asin Asin B(sin Acos Asin Bcos B)0sin 2Asin 2B，由，由02A,2B2，得得2A2B或或2A2B，即，即AB或或A B，ABC为等腰或直角三角形为等腰或直角三角形第十一页，编辑于星期五：五点 六分。解法二：解法二：同解法一可得同解法一可得2a2cos Asin B2b2sin Acos B，由正、余弦定理，可得由正、余弦定理，可得a2(b2c2a2)b2(a2c2b2)即即(a2b2)(a2b2c2)0ab

10、或或a2b2c2，ABC为等腰或直角三角形为等腰或直角三角形.第十二页，编辑于星期五：五点 六分。三角形一般由三个条件确定，比方三边三角形一般由三个条件确定，比方三边a，b，c，或两边，或两边a，b及夹角及夹角C，可以将，可以将a，b，c或或a，b，C作为解三角形的根本要素，根据条件，通过正弦定理、余弦作为解三角形的根本要素，根据条件，通过正弦定理、余弦定理、面积公式等利用解方程组等手段进行求解，必要时可考虑作辅助线，将定理、面积公式等利用解方程组等手段进行求解，必要时可考虑作辅助线，将所给条件置于同一三角形中所给条件置于同一三角形中第十三页，编辑于星期五：五点 六分。(1)求求ABC的面积；

11、的面积；(2)假设假设c1，求，求a的值的值形面积公式求解即可；形面积公式求解即可；(2)(2)根据第根据第(1)(1)问求出的问求出的bcbc，结合，结合b bc c就可以求出就可以求出b b， c c的值，根据余弦定理求解的值，根据余弦定理求解第十四页，编辑于星期五：五点 六分。解：解：(1)因为因为得得bccos A3，所以，所以bc5.因此因此SABC bcsin A2.(2)由由(1)知，知，bc5.又又c1，所以，所以b5，由余弦定理，得由余弦定理，得a2b2c22bccos A20，所以所以a2 . 第十五页，编辑于星期五：五点 六分。 ABC顶点的坐标分别为顶点的坐标分别为A(

12、3,4)，B(0,0)，C(c,0)(1)假设假设c5，求，求sin A的值；的值；(2)假设假设A为钝角，求为钝角，求c的取值范围的取值范围解：解：(1)解法一：解法一：A(3,4)，B(0,0)，|AB|5.又又C(c,0)，sin B .当当c5时，时，|BC|5，由正弦定理得由正弦定理得变式变式2：第十六页，编辑于星期五：五点 六分。解法二：解法二：A(3,4)，B(0,0)，|AB|5.当当c5时时，|BC|5.由余弦定理得由余弦定理得(2)A(3,4)，B(0,0)，C(c,0)，|AC|2(c3)242，|BC|2c2.A为钝角，为钝角，cos A0，即，即|AB|2|AC|2|

13、BC|20.52(c3)242c2506c .第十七页，编辑于星期五：五点 六分。三角函数作为联系代数与几何问题的纽带和桥梁，往往出现在综合题中三角函数作为联系代数与几何问题的纽带和桥梁，往往出现在综合题中解三角解三角形就是这样一种常见而又典型的问题，在三角形的三角变换中，正、余弦定理是解形就是这样一种常见而又典型的问题，在三角形的三角变换中，正、余弦定理是解题的根底题的根底【例【例3】 ABC中，中，A，B，C所对的边分别为所对的边分别为a，b，c，tan C ， sin(BA)cos C. (1)求求A，C； (2)假设假设SABC3 ，求，求a，c. 第十八页，编辑于星期五：五点 六分。

14、思维点拨：思维点拨：(1)变换变换tan C ，寻找，寻找A，B，C的三角函数之间的关系的三角函数之间的关系；(2)在解决了第在解决了第(1)问的情况下，那么相当于知道了三角形的三个内角，根据三角问的情况下，那么相当于知道了三角形的三个内角，根据三角形面积公式和正弦定理就可以得到一个关于形面积公式和正弦定理就可以得到一个关于a，c的方程组，解这个方程组即可的方程组，解这个方程组即可第十九页，编辑于星期五：五点 六分。解：解：(1)因为因为tan C所以所以sin Ccos Asin Ccos Bcos Csin Acos Csin B，即即sin Ccos Acos Csin Acos Csi

15、n Bsin Ccos B，得得sin(CA)sin(BC)所以所以CABC，或，或CA(BC)(不成立不成立)， 即即2CAB，又因为又因为sin(BA)cos C ，第二十页，编辑于星期五：五点 六分。由正弦定理，得由正弦定理，得由由、得得第二十一页，编辑于星期五：五点 六分。变式变式3： (2021山东卷山东卷)函数函数f(x)2sin xcos2 cos xsin sin x(0)在在x处取最小值处取最小值(1)求求的值；的值；(2)在在ABC中，中，a，b，c分别是角分别是角A，B，C的对边的对边a1，b ，f(A) ，求角，求角C.解：解：(1)f(x)2sin x cos xsi

16、n sin xsin xsin xcos cos xsin sin xsin xcos cos xsin sin(x)因为因为f(x)在在x处取最小值，所以处取最小值，所以sin()1，故故sin 1.又又0，所以所以 .第二十二页，编辑于星期五：五点 六分。(2)由由(1)知知因为因为且且A为为ABC的内角，所以的内角，所以由正弦定理得由正弦定理得第二十三页，编辑于星期五：五点 六分。解斜三角形有着广泛的应用，如测量、航海、几何、物理诸方面都要用到解斜三角形的解斜三角形有着广泛的应用，如测量、航海、几何、物理诸方面都要用到解斜三角形的知识，解此类问题一般步骤是：知识，解此类问题一般步骤是：(

17、1)阅读理解，画出示意图，分清和所求，尤其要理解应阅读理解，画出示意图，分清和所求，尤其要理解应用题中有关名词和术语，如坡度、仰角、俯角、象限角、方位角等；用题中有关名词和术语，如坡度、仰角、俯角、象限角、方位角等；(2)分析与所研究的分析与所研究的问题有关的一个或几个三角形；问题有关的一个或几个三角形；(3)解这些三角形，求出答案解这些三角形，求出答案第二十四页，编辑于星期五：五点 六分。 (2021 (2021辽宁卷辽宁卷) )如图，如图，A A，B B，C C，D D都在同一个与水平面垂直的平面内，都在同一个与水平面垂直的平面内，B B，D D为两岛上为两岛上的两座灯塔的塔顶测量船于水面

18、的两座灯塔的塔顶测量船于水面A A处测得处测得B B点和点和D D点的仰角分别为点的仰角分别为7575，3030，于水面，于水面C C处测得处测得B B点和点和D D点的仰角均为点的仰角均为6060，ACAC0.1 km.0.1 km.试探究图中试探究图中B B，D D间距离与另外哪两点间距离相等，然后间距离与另外哪两点间距离相等，然后求求B B，D D的距离的距离( (计算结果精确到计算结果精确到0.01 km0.01 km， 1.414 1.414， 2.449) 2.449)【例例4】第二十五页，编辑于星期五：五点 六分。解：解：在在ACD中中，DAC30，ADC60DAC30，所以所以

19、CDAC0.1.又又BCD180606060，故故CB是是CAD底边底边AD的中垂线，所以的中垂线，所以BDBA.故故B，D的距离约为的距离约为0.33 km.第二十六页，编辑于星期五：五点 六分。【方法规律方法规律】1正、余弦定理和三角形面积公式是本讲课的重点，能利用三角形内角正、余弦定理和三角形面积公式是本讲课的重点，能利用三角形内角和、边、角之间的关系，三角函数的变形公式去判断三角形的形状，求解三和、边、角之间的关系，三角函数的变形公式去判断三角形的形状，求解三角形，以及利用它们解决一些实际问题角形，以及利用它们解决一些实际问题2应熟练掌握和运用内角和定理：应熟练掌握和运用内角和定理：A

20、BC， 中互补和互余的情况，结合诱导公式可以减少角的种数中互补和互余的情况，结合诱导公式可以减少角的种数3正、余弦定理的公式应注意灵活运用，如由正、余弦定理结合得正、余弦定理的公式应注意灵活运用，如由正、余弦定理结合得sin2Asin2Bsin2C2sin Bsin Ccos A，可以进行化简或证明，可以进行化简或证明4根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；化边为角；(2)化角为边，并常用正弦化角为边，并常用正弦(余弦余弦)定理实施边、角转换定理实施边、角转换.第二十七页，编辑于星期五：五点 六分。【高考真题高考真题】(20

21、21安徽安徽)在在ABC中，中，sin(CA)1，sin B .(1)求求sin A的值；的值；(2)设设AC ，求，求ABC的面积的面积第二十八页，编辑于星期五：五点 六分。【标准解答】【标准解答】解：解：(1)由由sin(CA)1，CA，知知又又ABC，所以，所以2AB ，故故cos 2Asin B，第二十九页，编辑于星期五：五点 六分。 此题的关键是关系式此题的关键是关系式2AB ，命题者把这个关系用，命题者把这个关系用sin(CA)1表达出来，表达出来，然后在条件然后在条件sin B 下求解下求解sin A(实际上也可给出实际上也可给出sin A或或cos A的值求解的值求解sin B

22、、cos B等等)，重在考查方程思想在解题中的应用，重在考查方程思想在解题中的应用【探究与研究探究与研究】第三十页，编辑于星期五：五点 六分。 确定三角形的条件之一就是知道三角形的两个内角的大小确定三角形的条件之一就是知道三角形的两个内角的大小(实际上就是知道实际上就是知道了三个内角的大小了三个内角的大小)及一个边长，在解题中要善于利用确定三角形的条件分及一个边长，在解题中要善于利用确定三角形的条件分析解决问题，如此题中由第析解决问题，如此题中由第(1)问的结果，实际上就是知道了该三角形的三问的结果，实际上就是知道了该三角形的三个内角的大小，第个内角的大小，第(2)问中又给出了一个边长，根据正

23、弦定理可以求出另外问中又给出了一个边长，根据正弦定理可以求出另外两边的长，这样使用三角形的面积公式两边的长，这样使用三角形的面积公式S absin C bcsin A acsin B中的任何一个都可以解决问题中的任何一个都可以解决问题第三十一页，编辑于星期五：五点 六分。 三角形中的三角恒等变换的关键是三角形内角和定理，离开了三角形三角形中的三角恒等变换的关键是三角形内角和定理，离开了三角形内角和定理就无法解决三角形中的三角恒等变换，在解题时要充分考虑到内角和定理就无法解决三角形中的三角恒等变换，在解题时要充分考虑到这点，如在必要时用这点，如在必要时用sin(AB)代换代换sin C，用，用第

24、三十二页，编辑于星期五：五点 六分。【发散思维发散思维】 此题给出的条件可以归结为此题给出的条件可以归结为sin(CA)1，sin(CA) ，按照正弦的和、差，按照正弦的和、差角公式展开后就是角公式展开后就是sin Ccos Acos Csin A1，sin Ccos Acos Csin A ，两个，两个式子相加，得式子相加，得sin Ccos 再把交换再把交换后的两个式子相除，得后的两个式子相除，得即即tan C2tan A又在又在ABC中，中，可以计算出可以计算出故有故有2tan A第三十三页，编辑于星期五：五点 六分。解这个方程可以求出解这个方程可以求出tan A值，也就可以求出值，也就可以求出sin A的值这里的解法看似复杂，实际上这是解决的值这里的解法看似复杂，实际上这是解决这类问题的一般方法，此题中的条件这类问题的一般方法，此题中的条件sin(CA)1具有特殊性，如果这个条件改成具有特殊性，如果这个条件改成sin(CA) 之类的，此题给出的解答中的方法就失去了一般性之类的，此题给出的解答中的方法就失去了一般性点击此处进入点击此处进入 作业手册作业手册第三十四页，编辑于星期五：五点 六分。