《学案与测评》2011年高考数学总复习-第十三单元第六节-几何概型.ppt

《《学案与测评》2011年高考数学总复习-第十三单元第六节-几何概型.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《学案与测评》2011年高考数学总复习-第十三单元第六节-几何概型.ppt（18页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、第十三单元第十三单元 统计统计、 概率概率知识体系知识体系第一页，编辑于星期五：四点 三十八分。第六节第六节 几何概型几何概型根底梳理根底梳理1. 几何概型的概念对于一个随机试验，我们将每个根本领件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的时机都一样;而一个随机事件的发生那么理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点，这里的区域可以是 、 、 等.用这种方法处理随机试验，称为几何概型.2. 几何概型的特点1无限性：即在一次试验中，根本领件的个数可以是 .2等可能性：即每个根本领件发生的可能性是 .线段平面图形立体图形无限的均等的第二页，编辑于星期五：四点 三十八分。因此

2、，用几何概型求解的概率问题和古典概型的思路是相同的，同属于“比例解法.即随机事件A的概率可以用“事件A包含的根本领件所占的图形面积体积、长度与“试验的根本领件所占的总面积体积、长度之比来表示.3. 几何概型的计算公式一般地，在几何区域D中随机取一点，记事件“该点落在其内部一个区域d内为事件A，那么事件A发生的概率P(A)= .4. 几何概型与古典概型的区别与联系1共同点： .2不同点：根本领件的个数一个是无限的，一个是有限的.根本领件可以抽象为点，对于几何概型，这些点尽管是无限的，但它们所占据的区域却是有限的，根据等可能性，这个点落在区域的概率与该区域的度量成正比，而与该区域的位置和形状无关.

3、D的测度d的测度根本领件都是等可能的第三页，编辑于星期五：四点 三十八分。典例分析典例分析题型一题型一 与长度有关的几何概型与长度有关的几何概型【例【例1 1】20212021盐城模拟某公共汽车站每隔盐城模拟某公共汽车站每隔1010分钟有一辆汽车到达，乘分钟有一辆汽车到达，乘客到达车站的时刻是任意的，求一个乘客候车时间不超过客到达车站的时刻是任意的，求一个乘客候车时间不超过7 7分钟的概率分钟的概率. .分析 因为乘客在两车间隔的10分钟内任何时刻都可能到，所以该事件包含的根本领件是无限多个，并且每个事件发生的可能性都是一样的，故是几何概型问题.解 每个乘客可在相邻两班车之间的任何一个时刻到达

4、车站，因此每个乘客到达车站的时刻t可以看成是均匀落在长为10分钟的时间区间(0,10上的一个随机点，等待时间不超过7分钟那么是指点落在区间3,10上.第四页，编辑于星期五：四点 三十八分。如以以下图.设第一辆车于时刻T1到达，而第二辆车于时刻T2到达，线段T1T2的长度为10，设T是线段T1T2上的点，且TT2的长度等于7.记“等车时间不超过7分钟为事件A，事件A发生即点t落在线段TT2上，那么D的长度=T1T2=10,A的长度=TT2=7,所以PA= .故等车时间不超过7分钟的概率是 .学后反思 我们将每一个事件理解为从某个特定的区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的时机都一样;而一个事

5、件的发生那么理解为恰好取到上述区域内的某个指定的区域内的点.这样的概率模型就可以用几何概型求解.107D的长度A的长度107第五页，编辑于星期五：四点 三十八分。举一反三举一反三1. 两根相距6 m的木杆上系一根绳子,并在绳子上挂一盏灯,求灯与两端距离都大于2 m的概率.解析： 记“灯与两端距离都大于2 m”为事件A,则P(A)= .2163题型二题型二 与面积体积有关的几何概型与面积体积有关的几何概型【例【例2 2】在】在5 5升高产小麦种子中混入了一种带白粉病种子，从中随机取出升高产小麦种子中混入了一种带白粉病种子，从中随机取出1010毫升，那么取出的种子中含有白粉病的种子的概率是多少？毫

6、升，那么取出的种子中含有白粉病的种子的概率是多少？分析 因为带病种子的位置是随机的，所以取到这种带病种子只与取得种子的体积有关.第六页，编辑于星期五：四点 三十八分。解 病种子在这5升中的分布可以看作是随机的，取得的10毫升种子可视作构成事件的区域，5升种子可视作试验的所有结果构成的区域，可用“体积比公式计算其概率.“取出10毫升种子中含有病种子这一事件记为A，所以取出的种子中含有麦锈病种子的概率是0.002.学后反思 解决此类问题，应先根据题意确定该试验为几何概型，然后求出事件A和根本领件的几何度量，借助几何概型的概率计算公式求出.0.002500010所有种子的体积取出的种子的体积则P(A

7、)第七页，编辑于星期五：四点 三十八分。2. 如图，射箭比赛的箭靶上涂有5个彩色的分环，从外向内分别为白色、黑色、蓝色、红色，靶心为金色.金色靶心叫做“黄心.奥运会的比赛靶面直径是122 cm,靶心直径是12.2 cm,运发动在70 m外射箭.假设都能中靶，且射中靶面内任一点是等可能的，那么射中“黄心的概率是多少？举一反三举一反三解析： 记“射中黄心为事件B，由于中靶点随机地落在面积为 1222 cm2的大圆内，而当中靶点落在面积为 12.22cm2的黄心时，事件B发生.于是事件B发生的概率为41410.011224112.241P(B)22第八页，编辑于星期五：四点 三十八分。题型三题型三

8、会面问题中的概率会面问题中的概率【例3】(14分)两人约定在20:00到21:00之间相见，并且先到者必须等迟到者40分钟方可离去.如果两人出发是各自独立的，在20:00至21:00各时刻相见的可能性是相等的，求两人在约定时间内相见的概率.分析 两人不管谁先到最多只等40分钟，即 小时,设两人到的时间分别为x、y,那么当且仅当|x-y| 时，两人才能见面，所以此问题转化为面积性几何概型.解 设两人分别于x时和y时到达约见地点，要使两人能在约定的时间范围内相见，当且仅当|x-y| .3如图，两人到达约见地点的所有时刻x,y的可能结果可用图中的单位正方形内包括边界的点来表示；6323232第九页，

9、编辑于星期五：四点 三十八分。两人能在约定的时间范围内相见的所有时刻x,y的各种可能结果可用图中的阴影局部包括边界的点来表示.9因此阴影局部与单位正方形的面积比就反映了两人在约定时间范围内相遇的可能性的大小，也就是所求的概率，12即P=S阴影局部S单位正方形=12-13212=89.14学后反思 对于几何概型的应用题，关键是构造出随机事件A对应的几何图形，利用几何图形的度量来求随机事件的概率.根据实际问题的具体情况，合理设置参数，建立适当的坐标系;在此根底上将试验的每一个结果一一对应于该坐标系的一点，便可构造出度量区域.解决此题的关键是将的两个条件转化为线性约束条件，从而转化成平面区域中的面积

10、型几何概型问题.第十页，编辑于星期五：四点 三十八分。3. 甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6小时，假定它们在一昼夜的时段中随机地到达，试求这两艘轮船至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率.举一反三举一反三解析： 如图，设甲到达时间为x，乙到达时间为y,那么0 x24,0y24.设“至少有一艘轮船在停靠泊位时必须等待为事件A,那么0y-x6或0 x-y6.所以PA= .1672418122第十一页，编辑于星期五：四点 三十八分。【例】向面积为S的矩形ABCD内任投一点P，试求PBC的面积小于 的概率.易错警示易错警示错解 如图甲所示，设PBC的边BC上的高为PF，线段PF所在的直线交AD于E,那

11、么当P点到底边BC的距离小于 EF，即0PF EF时,有0 BCPF BCEF,即0SPBC .设“PBC的面积小于 为事件A，那么A表示的范围是(0, ),即A= ,而=S，所以由几何概型求概率的公式得 .所以PBC的面积小于 的概率是 .4S4S4S4S4S4S412121214141S4SP(A)A第十二页，编辑于星期五：四点 三十八分。易错分析 如图乙所示，P为矩形ABCD内任意点，PBC的边BC上的高PF为矩形ABCD内任意线段，但应满足PBC的面积小于 .当PBC的面积等于 时，即 BCPF= BCEF,所以PF= EF.过点P作GH平行于BC交AB于G、交CD于H,点P的轨迹是线

12、段GH.满足条件“PBC的面积小于 的点P应落在矩形区域GBCH内，而不是三角形区域PBC内.错解的原因是不能正确构造出随机事件对应的几何图形.正解 如图乙所示，设PBC的边BC上的高为PF，线段PF所在的直线交AD于E，当PBC的面积等于 时，即 BCPF= BCEF,有PF= EF.过点P作GH平行于BC交AB于G,交CD于H.所以满足 SPBC= 的点P的轨迹是线段GH.4S41214S4S4S4S21212141第十三页，编辑于星期五：四点 三十八分。所以满足条件“PBC的面积小于 的点P应落在矩形区域GBCH内 ，设“PBC的面积小于 为事件A，那么A表示的范围是0, 即A= ,而=

13、S.所以由几何概型求概率的公式得 ,所以PBC的面积小于 的概率是 .4S4S212S4S2S21S2SP(A)A考点演练考点演练10.(2021济宁模拟)甲、乙两人约定上午7:00至8：00之间到某站乘公共汽车，在这段时间内有3班公共汽车，它们开车时刻分别为7:20,7：40,8：00.如果他们约定，见车就乘，求甲、乙同乘一车的概率.第十四页，编辑于星期五：四点 三十八分。解析： 如图，设甲到达汽车站的时刻为x,乙到达汽车站的时刻为y,那么7x8,7y8，即甲乙两人到达汽车站的时刻x,y所对应的区域在平面直角坐标系中画出如以以下图是大正方形.将三班车到站的时刻在图形中画出，那么甲乙两人要想乘

14、同一班车，必须满足7x ,7y ; x , y ; x8, y8.即x,y必须落在图形中的三个带阴影的小正方形内，所以由几何概型的计算公式得，所求概率 .3173173173173273273273273113)31(P22第十五页，编辑于星期五：四点 三十八分。11. 设关于x的一元二次方程 .假设a是从区间0,3任取的一个数,b是从区间0,2任取的一个数，求上述方程有实根的概率.解析： 设事件A为“方程 有实根”,当a0,b0时，方程 有实根的充要条件为ab.试验的全部结果所构成的区域为(a,b)|0a3,0b2,构成事件A的区域为(a,b)|0a3,0b2,ab,如图.由几何概型的定义得

15、 213 22223 23P A 第十六页，编辑于星期五：四点 三十八分。12. 街道旁边有一游戏：在铺满边长为9 cm的正方形塑料板的地面上，掷一枚半径为1 cm的小圆板，规那么如下：每掷一次交5角钱,假设小圆板压在边上，可重掷一次；假设掷在正方形内，需再交5角钱可玩一次；假设压在塑料板的顶点上，可获得1元钱.试问：1小圆板压在塑料板的边上包含压在顶点上的概率是多少？2小圆板压在塑料板顶点上的概率是多少？解析： 小圆板中心用O表示，考虑O落在正方形ABCD的哪个范围时，能使小圆板与塑料板ABCD的边相交，以及O落在哪个范围时能使小圆板压在塑料板ABCD的顶点上.第十七页，编辑于星期五：四点

16、三十八分。(1)因为O落在正方形ABCD内任何位置是等可能的，小圆板与正方形塑料板ABCD的边相交是在小圆板的中心O到与它靠近的边的距离不超过1时，所以O落在图1中的阴影部分时，小圆板就能与塑料板ABCD的边相交.因此，区域是边长为9 cm的正方形，图中阴影部分表示事件A：“小圆板压在塑料板的边上.”于是 =99=81, =99-77=32.故所求概率P（A）= .(2) 小圆板与正方形的顶点相交是在中心O到正方形的顶点的距离不超过小圆板的半径1时，如图2所示阴影部分，图中阴影部分表示事件B：“小圆板压在塑料板顶点上”.于是 =99=81, .故所求的概率P（B）= . S正S阴3281SS阴正S正21S阴81SS阴正第十八页，编辑于星期五：四点 三十八分。