余弦定理、正弦定理课件（一）--高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册.pptx

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1、高一年级人教A版数学必修第二册第六章6.4.3 余弦定理、正弦定理（一）余弦定理学习目标：学习目标：1.能借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系.2.能用向量方法发现和证明余弦定理，并感受向量运算的力量.3.知道余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例.4.会用余弦定理求解已知两边及其夹角和已知三边的解三角形问题.情境引入情境引入 一个三角形含有各种各样的几何量，例如三边边长、三个内角的度数、面积等，它们之间存在着确定的关系. 例如：在初中，我们得到过勾股定理、锐角三角函数，这是直角三角形中的边、角定量关系.222abcsinbBa ，coscBatanbBc 对于一般三角形，我

2、们已经定性地研究过三角形的边、角关系，得到了SSS、SAS、ASA、AAS 等判定三角形全等的方法. 这些判定方法表明，给定三角形的三个角、三条边这六个元素中的某些元素，这个三角形就是唯一确定的.情境引入情境引入 这说明，给定两边及其夹角的三角形是唯一确定的. 也就是说，三角形的其他边、角都可以用这两边及其夹角来表示. 那么，表示的公式是什么？ 下面我们利用向量方法研究这个问题. 那么三角形的其他元素与给定的某些元素有怎样的数量关系？情境引入情境引入 我们知道，两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等. ABC , , , , , , CBCAABCBCACBCAAB 思路：取共起点的 为一组

3、基底将 用 表示使问题转化为： 已知 的模长和夹角大小求的模长 .探究新知探究新知向量到几何关系几何图形到向量恰当的向量运算 , , , , , ABCabcaAbCCcB三个角所对的边分别是 怎样用和表示？在中探究：ABC向量方法解决几何问题的步骤:ab?c ABC,CBCAAB 解：如图设则 a b c cab.2() ()得 2ccc cabab222aba b2| |cosC22abab于是，我们得到了三角形中边角关系的一个重要定理余弦定理余弦定理. .2222cos. cababC所以2222222cos,2cos .abcbcAbcacaB同理可得： 探究新知探究新知abc 余弦定

4、理: :三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍.即 2222222222cos2cos2cosabcbcAbcacaBcababC思考:你能用其他方法证明余弦定理吗？探究新知探究新知222 , , , cosc2cos .os , BCaACbABcRt ADBADcABAcbAabcA因为在中所以,ABC,证如图当是锐角三角形时明： 222222222222= = =BCCDBDACADBDACAC ADADBDACABAC AD思考：试试使用几何法证明余弦定理.BBDAC ,D ,过点作垂足为则 探究新知探究新知2222cos .c , , ,

5、cos=cos 180os , BCaACbABcRt ADBADABBAbD AaBAAcbccA因为在中所以,ABC,ABAC,CAD ,如图当是钝角三角形时不妨设为钝角过点作的垂线与的延长线相交于点则 . 222222222222=+ =+ =+BCCDBDAC ADBDACAC ADADBDACABAC AD探究新知探究新知2222222222cos.2cos2cosabcbcAbcacaBcababCABCA 如图 ,当是直角三角形时 ,不妨设为直角 .此时也满足同理可得余弦定理的另外两个等式： 对比推导余弦定理的向量法和几何法，你感受到向量运算的力量了吗？探究新知探究新知小试牛刀小

6、试牛刀, 5 , 2 , , .3 441 ABCabCc例（教材页练习第 题第2问）在求中已如知2222coscababC解：由余弦定理，得22522 5 2 cos19.3 19c 所以 利用余弦定理，我们可以从三角形已知的两边及其夹角直接求出第三边. 思考:余弦定理指出了三角形的三条边与其中的一个角的关系.应用余弦定理，我们可以解决已知三角形的三边确定三角形的角的问题，怎么确定呢？2222cosabcbcA2222cosbcAbca222cos2bcaAbc知识知识深化深化2222cosabcbcA2222cosbcacaB2222coscababC余弦余弦定理定理余弦余弦定理定理的的推

7、论推论222222222cos2cos2cos2bcaAbccabBcaabcCab知识知识深化深化.442 , 2 , 2 , 31 , ABCAabc例（教材页练习第 题）在求中已知如22222( 31)42cos 222 2( 31)bcaAbc，解：由余弦定理的推论，得0, , .4AA因为 （） 所以利用余弦定理的推论，可以由三角形的三边直接计算出三角形的三个角.小试牛刀小试牛刀 余弦定理及其推论把用“SAS”和“SSS”判定三角形全等的方法从数量化的角度进行了刻画. 从余弦定理及其推论可以看出，三角函数把几何中关于三角形的定性结论变成了可定量计算的公式.2222222222cos2

8、cos2cosabcbcAbcacaBcababC222222222cos2cos2cos2bcaAbccabBcaabcCab知识知识深化深化思考： 勾股定理指出了直角三角形中三边之间的关系. 余弦定理指出了三角形的三条边与其中的一个角的关系. 你能说说这两个定理之间的关系吗？ 由此可见，余弦定理是勾股定理的推广，而勾股定理是余弦定理的特例.余弦定理与勾股定理的关系：,90,cos0 .ABCCC 如果中有一个角是直角例如这时2222222cos,.cababCcab由可得这就是勾股定理 知识知识深化深化 一般地，三角形的三个角 A, B, C 和它们的对边 a, b, c 叫做三角形的元素

9、.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.利用余弦定理及其推论可以解决如下两类解三角形的问题：（1）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角；（2）已知三边，求三个角.知识知识应用应用,由余弦定理得解： 222222cos 603426034cos41abcbcA1676.78 ,41 ().acm所以 222s o, c2cabBca由余弦定理的推论得 222344160763 ,234412788 0180106 . , , BB因为 利用计算器可得 180()180(41106 )33 .CAB 所以,60,34,41 ,ABCbcmccmAcm 在中已知解这个三角形（角度

10、精确到 1边长精确到 1）.例5 知识知识应用应用 3 3sin14 , ,CC解：因为且为锐角223 313cos1sin1().14 14CC所以22213 2co,s497 642891, 4 cababC 由余弦定理 得 . 3c 所以222949641cos.22377 cabBca 进而018098 . , ,BB因为 利用计算器可得 3 3,7 ,8 ,sin,() .14ABCabCCB例 在中锐角满足求精确到61 = 知识知识应用应用知识拓展知识拓展提示：余弦定理的每个等式都含有三角形的4个元素，应用方程思想，已知其中3个元素可以求出第4个元素.,7 ,3 ,.6ABCabA

11、c考 思在中已知求 = 解：由余弦定理，得222 2cos ,abcbcA2 732 3cos ,6cc 所以 2 , 340 .cc整理得 4 1() , cc 解得 或舍去4 .c 所以 小结：余弦定理可以用来解决“已知两边和其中一边的对角求第三边”的问题.知识拓展知识拓展,.ABCabA归 在中已知如何解三角纳形步骤 222 , 2cos ;abcbcA第一步：由余弦定理得 , ;cc第三步：解关于的一元二次方程得 小结：利用余弦定理及其推论可以解决“已知两边和其中一边的对角解三角形”的问题.2222 cos0 ; ccbA cba第二步：列出关于的一元二次方程 , .BC第四步：利用余

12、弦定理的推论及三角形内角和定理求出 变式变式训练训练1,1 ,2 ,2 ,cos. ABC a b c B 在中已知求.2,: :1:2:2 ,cos. ABC a b c B 在中已知求.2224141cos .222 14cabBca 解：由余弦定理的推论，得 , 2 , 2 , 0 .akbkckk解：不妨设 其中 22222222441 , cos .22 244cabkkkkBcak kk由余弦定理的推论得 变式变式训练训练2223.,2,. ABC ababc C 在中已知求222,cos,2abc C ab解：由余弦定理的推论得2222, abcab 根据题意22cos,22ab

13、 C ab 得30,4C C因为 （） 所以 .4,2 ,coscos. ABC a bCcB .中已知求变式变式训练训练222222coscos,22 abccab bCcBbc abca 解：由余弦定理的推论，得222222222 .222abccabaa aaa课堂小结1.1.余弦定理：余弦定理：2222222222cos2cos2cosabcbcAbcacaBcababC2 2. .余弦余弦定理的推论：定理的推论：222222222cos2cos2cos2bcaAbccabBcaabcCab3.利用余弦定理及其推论可以解决如下三类解三角形的问题：（1）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角；（2）已知三边，求三个角；（3）已知两边和其中一边的对角，求第三边和其他两个角. .课后作业：教材44页第1，2，3题.