数系的扩充和复数的概念课件--高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册 (1).pptx

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1、高一 人教A版数学必修第二册第七章7.1.1 7.1.1 数系的扩充和复数的概念数系的扩充和复数的概念学习目标：学习目标：1.1.了解引进虚数单位的必要性，了解数系的扩充过程；了解引进虚数单位的必要性，了解数系的扩充过程；2.2.理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念；理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念；3.3.掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件。掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件。学习重点：学习重点：复数的概念，实数、虚数、纯虚数之间的关系，复数相等的含义。复数的概念，实数、虚数、纯虚数之间的关系，复数相等的含义。问题情

2、境问题情境试求解方程：试求解方程： . .1= 0 xx2R， 从方程的角度看，在实数集中，负数不能开平方，从方程的角度看，在实数集中，负数不能开平方，就是这个方程在实数集中没有解就是这个方程在实数集中没有解. . 例如：例如： 在自然数集中求方程在自然数集中求方程 的解；的解； 在整数集中求方程在整数集中求方程 的解；的解； 在有理数集中求方程在有理数集中求方程 的解的解. .02 x012x022x回忆之前的学习，当我们遇到给定数集内方程无解时是怎样处理的？回忆之前的学习，当我们遇到给定数集内方程无解时是怎样处理的？问题情境问题情境在已知数集内方程无解时，可以对数系进行合理扩充在已知数集内

3、方程无解时，可以对数系进行合理扩充. .例如，为了解决例如，为了解决正方形对角线的度量和方程正方形对角线的度量和方程 在有理数集中无解的问题，人们在有理数集中无解的问题，人们把有理数集扩充到了实数集把有理数集扩充到了实数集. .数集扩充后，在实数集中规定的加法运算、数集扩充后，在实数集中规定的加法运算、乘法运算，与原来在有理数集中规定的加法、乘法运算协调一致，并且乘法运算，与原来在有理数集中规定的加法、乘法运算协调一致，并且加法和乘法都满足交换律和结合律，乘法对加法满足分配率加法和乘法都满足交换律和结合律，乘法对加法满足分配率. .从自然数从自然数系扩充到实数系的过程中，数系的每一次扩充都与实

4、际需求密切相关系扩充到实数系的过程中，数系的每一次扩充都与实际需求密切相关. .220 x 实数集经过扩充后，我们希望加法和乘法满足交换律、结合律，以实数集经过扩充后，我们希望加法和乘法满足交换律、结合律，以及乘法对加法的分配律，及乘法对加法的分配律，依此设想：依此设想：概念形成概念形成 为了解决像为了解决像 这样的方程在实数集中无解的问题这样的方程在实数集中无解的问题, ,我们设想引入我们设想引入一个新数一个新数 , , 使得使得 ， 是方程是方程 的解的解, , 即使得即使得 成立成立. .012xix i21i 012x21 0i 1.1.新数新数i的引入与性质的引入与性质: : 把实数

5、把实数 与与 相加，结果记作：相加，结果记作： . .aabi 把实数把实数 与与 相乘，结果记作：相乘，结果记作： ；bibibi 所有实数以及所有实数以及 都可写成都可写成 的形式，从而这些数的形式，从而这些数都在都在扩充后的新数集中，我们把形如扩充后的新数集中，我们把形如 的数叫做的数叫做复数复数. .i ,abia b R , Rabia b形如形如 的数叫做的数叫做复数复数. .,abi a b R 叫做虚数单位叫做虚数单位. .i 叫做复数的叫做复数的实部实部a 叫做复数的叫做复数的虚部虚部b2.2.复数的概念复数的概念: :3.3.复数的代数形式复数的代数形式: :概念形成概念形

6、成复数复数通通常用字母常用字母 表示，即表示，即z,zabi a b R全体复数所构成的集合全体复数所构成的集合 叫做叫做复数集复数集. .C|,abi a b R 在复数集在复数集 中任取两个数中任取两个数 和和 我们规定：我们规定： 相等，相等， 当且仅当当且仅当 且且 .C|,abi a b Rabicdica db , , ,abicdi a b c d R4.4.复数相等复数相等: :概念形成概念形成当且仅当当且仅当 时，它叫做时，它叫做实数实数；当且仅当当且仅当 时，它是实数时，它是实数 ; ;0b0 ba00b当且仅当当且仅当 时，它叫做时，它叫做虚数虚数；当且仅当当且仅当 时，

7、它叫做时，它叫做纯虚数纯虚数. .00ba，5 5. .复数的分类复数的分类: :概念形成概念形成例如， ， ， ， 都是虚数，它们的实部分别是2+3i153i122i0.6i2132 ， ， ，0 ，虚部分别是 ， ， ， ，并且其 中只有 是纯虚数.0.6i120.653,abi a b R对于复数概念形成概念形成思考：复数集思考：复数集C与与实数集实数集R之间有什么关系？之间有什么关系？实数实数( (b=0) )虚数虚数( (b0) )纯虚数纯虚数( (a=0,b0) )非纯虚数非纯虚数( (a0,b0) )复数复数实数集实数集R是复数集是复数集C的真子集的真子集. .复数复数 可以可以

8、分类如下：分类如下：,zabi a b R复数集、实数集、虚数集、复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系图：纯虚数集之间的关系图：虚数集虚数集实数集实数集纯虚纯虚数集数集复数集复数集例题讲解例题讲解注意：注意：0 0是复数，因为是复数，因为0 0是实数，所以是实数，所以0 0也是复数，将也是复数，将0 0写成写成 的形式为的形式为 ，它的实部和虚部都是，它的实部和虚部都是0.0.,abi a b R0 0i例例1. 下列各数中，哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数，哪些是复数？下列各数中，哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数，哪些是复数？ ， ， ， ， ， ， ， ， ， , .(课本P

9、70练习改编)213i 2+ 70.618i5 8i3 9 2 i32 i3.14027i27i解：解：实数： ， ， ， ; 虚数： ， ， ， ， ， . 纯虚数： ， ， ； 以上全体数都是复数22+ 7 0.618 03.1413i i5 8i3 9 2 i32 i13i i27i 当实数当实数 分别取什么数值时，复数分别取什么数值时，复数 是：是：(1)(1)实数；实数；(2)(2)虚数；虚数；(3)(3)纯虚数纯虚数. .222451mmzmmimm课堂练习课堂练习mz 解：解：(1)(1)要使要使 是实数，则实数是实数，则实数 满足：满足： 解得解得 ， 所以当所以当 时，时，

10、是实数是实数. .z. 054, 012mmm5m5mmz (2)(2)要使要使 是虚数，是虚数，则则实数实数 满足：满足： 解得解得 且且 ， 所以当所以当 且且 时，时， 是虚数是虚数. .1m5m. 054, 012mmmz1m5m课堂练习课堂练习 (3)(3)要使要使 是纯虚数，则实数是纯虚数，则实数 满足：满足： 解得解得 ， 所以当所以当 时，时， 是纯虚数是纯虚数. .2mz. 054, 01, 01222mmmmmmz2mm 当实数当实数 分别取什么数值时，复数分别取什么数值时，复数 是：是：(1)(1)实数；实数；(2)(2)虚数；虚数；(3)(3)纯虚数纯虚数. .2224

11、51mmzmmimm方法点拨方法点拨：(1)(1)要判断一个复数是什么类型的数，首先要分清这个复数的实部和虚部以及它们对复要判断一个复数是什么类型的数，首先要分清这个复数的实部和虚部以及它们对复数分类的影响，因此要把复数化为代数形式数分类的影响，因此要把复数化为代数形式 ，列出实部和虚部满足，列出实部和虚部满足的方程的方程( (不等式不等式) )组即可组即可(2)(2)根据复数的类型求参数时根据复数的类型求参数时，要先确定参数的取值使代数式有意义要先确定参数的取值使代数式有意义. .,abi a b R (2) (2) 因为复数表示0，所以只需把0看作 即可转化为复数相等的 问题，故可求得当

12、且 时复数 表示0. 3y1xz00ixy例例2.2.求满足下列条件的实数求满足下列条件的实数 ， 的值：的值：（1 1）12321xyyixyyi210 xyxi（2 2） (课本P70练习改编) 解：解：(1) (1) 由两个复数相等的充要条件得： 解得：解得： =23121.xyxyyy ，8 2xy ，例题讲解例题讲解若若 ， ，则则“ ”是是“ ”“ ”的的( ().). A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件 221z14mmmmi232zi21zz 1mRm当当 时时，当且仅当，当且仅当 且且 即即 所以所以 或或 ，故，故“ ” ”是是“ ”“

13、”的充分不必要条的充分不必要条件因此选件因此选A.A.312 mm242 mm21zz 1m21zz 022 mm2m1m课堂练习课堂练习12zz1m132zi分析：当分析：当 时时 ，所以，所以 . .方法点拨：方法点拨：(1)(1)解决复数相等问题解决复数相等问题是在复数的代数形式下根据实部与实部相等，虚部是在复数的代数形式下根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程（组）求解与虚部相等列方程（组）求解(2)(2)复数相等的充要条件是复数相等的充要条件是“化虚为实化虚为实”的主要依据，的主要依据，是复数问题实数化是复数问题实数化思想的体现思想的体现易错分析：易错分析：没有正确理解复数的概念，

14、复数与实数混淆了.1.1.下列说法中，正确的有下列说法中，正确的有_ 若若 ，则，则 ； 是纯虚数是纯虚数； 方程方程 无实根无实根Cm02m21 0 xx ai课堂练习课堂练习解：错，如 , ； 错，当 ， 是实数； 正确判别式 ，所以方程无实根.mi012m0a0ai 0 2.2.若若复数复数 为纯虚数，求实数为纯虚数，求实数 的值的值211zmmim解解: :为纯虚数，则需满足为纯虚数，则需满足 且且 ，解得解得 . .z01m012m1m易错分析：纯易错分析：纯虚数与虚数的概念不清虚数与虚数的概念不清, ,此题易忽视虚部此题易忽视虚部 的取值，的取值，只由只由 得得 ，而当，而当 时，

15、时， 不不是纯虚数是纯虚数1m1m012m1m0z课堂练习课堂练习易错分析：易错分析： 对复数的分类不清对复数的分类不清, ,忽视条件中忽视条件中“ ”“ ”的意义，错误认为的意义，错误认为 且且 . .实际上实际上两个复数都是实数，才可以比较大小，否则是不能比较大小两个复数都是实数，才可以比较大小，否则是不能比较大小的的 012m022mm03.3.已知已知 ，若，若 ，求实数求实数 的值的值 12zmmm i22m0z解：能比较大小的两个数一定是实数，故解：能比较大小的两个数一定是实数，故 ，解得，解得 或或 因因 ，所以，所以 ，解得解得 ，故实数，故实数 . . 022 mm0z012

16、m0m2m11m0m课堂练习课堂练习解:设 是原方程的实数根,则原方程可以变为：m2231102 2ammmmi 因此. 0210012322mmmam，解得 .57111aa或 若关于若关于 的方程的方程 有实数根，有实数根， 求实数求实数 的值的值. . 23+2+1 10 =02ai xixi xa问题探究问题探究分析：将方程转化为等号两边均为复数 的形式，确定两边的复数的实部和虚部，利用复数相等的充要条件，列方程组求解.abi当 时，方程的实数根： ;11a 2m 715a 52m 当 时，方程的实数根： . 对于虚系数的一元二次方程 ，根与系数的关系依然适用，并可用求根公式 求出方程

17、的根，但是不能用“判别式 ”判断方程有无实数根.因此对于含虚系数的一元二次方程有实数根求参数问题，由于虚数单位的特殊性,并且“判别式 ”是只适用于实系数的一元二次方程，因此不能用判别式求参数的取值.200axbxca2bza 方法点拨：方法点拨： 解决此题关键是把含虚系数方程有实数根问题转化为两个复数相等的问题，复数问题的“实数化”是解决复数问题的重要方法.课堂小结课堂小结1.1.通过方程的解，认识了通过方程的解，认识了复数复数，了解数集的扩充过程，了解数集的扩充过程2.2.理解复数的代数形式及分类，认清复数集、实数集、虚数集、理解复数的代数形式及分类，认清复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的包含关系，理解复数相等的含义纯虚数集之间的包含关系，理解复数相等的含义课本课本P70P70页练习第页练习第1 1、2 2、3 3题题和和P73P73页习题页习题7.17.1第第1 1、2 2题题布置作业布置作业谢谢观看！谢谢观看！