最新一阶微分方程通解公式 [一阶微分方程的通解] .doc

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1、最新一阶微分方程通解公式 一阶微分方程的通解 2一阶微分方程的初等解法第二章 一阶微分方程的初等解法2.1 变量分离方程与变量替换 2.2 线性微分方程与常数变易法 2.3 恰当微分方程与积分因子 一阶微分方程的初等解法： 将微分方程的求解问题化为积分问题。2.1 变量分离方程与变量替换 dN = rN dy N ( P 5人口模型) dt 求解 d dt = rN即 dx = ay . N ( t0 ) = N 0 (1)当y = 0 : 是一个解. dy (2)当y 0: y = adx , 两边积分得 ln y = ax + c 故 y = Ceax一、变量分离方程dy 1.变量分离方程

2、的形式 d x = f ( x )j ( y ).f ( x)是 x的连续函数,j( y)是 y的连续函数.dy 2. 变量分离方程的解法 先分离变量, j ( y ) = f ( x )dx . 当j ( y ) 0再两边积分, j ( y ) = f ( x )dxdyG( y)F ( x) + C(P31例1) 例1 求解方程 dx = 3 x 2 yy 解: 先分离变量, dy = 3 x 2 dxdy再两边积分,y dy = 3 x dx 12说明: 在求解过程中每 一步不一定是同解变形, 因此可能增、减解. 或ln y = x 3 + ln C例2 求解方程 dx = - x y.

3、 解: 先分离变量, ydy = - xdx再两边积分,2dy ydy = - xdx2解得 1 y2 = - 1 x2 + 1 c 2 2 2故通解为x + y = c , 其中c为任意正常数.dy y ( - c + dx ) 例3 求解方程 dx = x (a - by ) , x 0 y 0. (P31例2)解得 ln y = x + c13即 y = e x + c1 3 = e c1 e x 即 y = c ex333解: (1)当y = 0 : 是一个解. (a -by )dy (- c +dx ) = dx (2)当y 0 : 先分离变量, y xdx 再两边积分, y dy

4、= - c + x dx 解得 a ln y - by = -c ln x + dx + k 即 y a e - by x c e - dx = k ( k为任意正常数) 综上, 通解为 y a e - by x c e - dx = k (k 0为任意常数) a - by故通解为 y = c e x , 其中c为任意常数. ( 此式含分离变量时丢失的解 y = 0 )(P33例4) 例4 求解方程 dx = P ( x ) y, 其中P ( x )是 x 的连续函数. 解: (1)当y = 0 : 是一个解. dy (2)当y 0 : 先分离变量, y = P ( x )dx再两边积分,y

5、dy = P ( x )dx 1 解得 ln y = P ( x )dxdy(P42习题1(2) 练习 解方程 y2dx + ( x + 1)dy = 0, 并求满足初值条件 x = 0, y = 1的特解. 解(1): 1o 当y = 0 : 是一个解.dy = - 1 dx y 2 x +1 dy -1 dx 再两边积分, = x +1 y2 1 解得 - y = - ln x + 1 + c 1 即 y = c +ln|1 + x| (c为任意常数) 1 综上, 通解为 y = c +ln|1 ( c 为任意常数 ), 另有解 y = 0. + x|2o 当y 0 : 先分离变量,P (

6、 x )dx 即 y = ce ( c为任意非零常数) P ( x )dx 综上, 通解为 y = ce ( c为任意常数): 是P44页2.2节中的一阶齐次线性微分方程.解(2): 将x = 0, y = 1代入上述通解, 可确定c = 1.1 故特解为 y = 1+ ln|1 + x| .1(P34例5) 二、可化为变量分离方程的类型y 1. 齐次微分方程 dy = g( x ). dxy例5 求解方程 dx = x + tan x .y dy u 解 : 令u = x , 则y = ux ,dy = xdu + udx, 故 dx = x d dx + uu du 是变量分离方程. 原方

7、程化为 x d dx + u = u + tan u, 即 x dx = tan udyyy解法 : 通过变量替换(令u = x ), 化为变量分离方程.:方程中不含未知函数及其导数的项称为自由项.1o 当 tan u = 0 : 即sin u = 0, 是一个解.x 2o 当 tan u 0 : 先分离变量, cos u du = d x sin u cos u du = 1 dx x sin u自由项0时：齐次 自由项0时：非齐次再两边积分,解得 ln sin u = ln x + ln c即 sin u = cx ,(c为非零任意常数)y 综上, 通解为 sin x = cx ( c为任

8、意常数)(P35例6) 例6 求解方程 x dx + 2 xy = y ( x 0)(P38例7) dy x - y +1 例7 求解方程 d x = x + y -3 . 解: 解方程组 x - y + 1 = 0 , 可得 x = 1 x+ y-3=0 y=2dY , 则 dx = d X dy X = x -1 令 Y = y-2dY = X -Y 化为 X du = 1- 2u- u 则 (*)式 d X X +Y dX 1+ u o 1 当1 - 2u - u2 = 0 : 2 2 Y 因u = X , 则X - 2 XY - Y = 02是变量分离方程.dY = X -Y 原方程化

9、为 d X X +Y(*)两边取微分, 得 2 XdX - 2 XdY - 2YdX - 2YdY = 0 即( X - Y )dX =( X + Y )dY 故X 2 - 2 XY - Y 2 = 0为(*)式的解. 2 故( x - 1) - 2( x - 1)( y - 2) - ( y - 2)2 = 0为原方程的解. 2o 当1 - 2u - u2 0 : 2(1+u) + u du = dX 先分离变量, 1-1 du = - 2 dX X 即 2 2u-u2再两边积分,1 dX u 2+u2+u2-1 du = - 2 X2u +2u-1X再令u = Y X , 则Y = uX

10、, dY = udX + Xdu,dY du dX = u + X dX ,X -Y = 1- u X +Y 1+ u是变量分离方程.解得 ln u2 + 2u - 1 = -2 ln X + ln c 即 X 2 (u2 + 2u - 1) = c(c为非零任意常数 ) 代回u = Y = , 可得 X x -1 ( y - 2)2 + 2( x - 1)( y - 2) - ( x - 1)2 = c(c为非零任意常数)y -2du = 1- u 即X du = 1- 2u- u2 则(*)式化为 u + X d X 1+ u dX 1+ u2思考与练习作 业习题2.1 P42 1.(2)

11、(4)(7)变量分离方程1.(5) 2.(1)(3) 可化为变量分离方程2.2 线性微分方程与常数变易法一、一阶线性微分方程 1. 一般形式dy dx = P ( x ) y + Q( x )y与y 之间是线性关系.自由项 (与 y,y 无关的项)3.一阶非齐次线性微分方程 (1)形式 dx = P ( x ) y + Q( x ), Q( x ) 0 (2)解法第一步 : 先求对应齐次微分方程的通解. P ( x )dx y = ce (c为任意常数) 第二步 : 将常数c变易为函数c( x ), 代入原方程确定c( x )即可得到原非齐次方程的通解.令y = c( x )e P ( x )

12、 dxdy2. 一阶齐次线性微分方程 (1)形式dy dx = f ( x ) y为原方程的解,(2)解法 分离变量法.见P33例4.通解为 y = ce P ( x )dxP ( x )dx dy dc( x ) P ( x )dx 则 dx = dx e + P ( x )c( x )e y - p ( x )dx dc ( x ) 代入原方程可得 dx = Q( x )e - P ( x )dx % 积分得c( x ) = Q( x )e dx + c(c为任意常数)(P45例1) dy 例1 求方程 ( x + 1) dx - ny = e x ( x + 1)n +1的通解. 解:

13、第一步 : 先求对应齐次微分方程的通解.求解方程 ( x + 1) dx = ny :当 y 0且x + 1 0, 先分离变量, y = ( xn dx +1) dy 再两边积分, y = ( xn d x +1)ln y = n ln x + 1 + ln cy = c x +1 得对应齐次方程的通解为 y = c( x + 1)nn得对应齐次方程的通解为 y = c( x + 1)ndy第二步 : 将常数c变易为函数c( x ), 代入原方程确定c( x )即可得到原非齐次方程的通解.dy令y = c( x )( x + 1)n 为原方程( x + 1) dx - ny = e x ( x

14、 + 1)n+1的解,dy dc( x ) 则 dx = dx ( x + 1)n + nc( x )( x + 1)n-1 dy dc( x ) ( x + 1) dx = dx ( x + 1)n+1 + nc( x )( x + 1)n dc( x ) 于是有 dx = e xdy积分得c( x ) = e x + c故所求通解为 y = ( x + 1)n (e x + c), c为任意常数: 也可直接套公式,y = ceP ( x )dxn dx = ce x+1= c( x + 1)nQ( x)e : 也可直接套公式,y = - p( x )dx% e P ( x )dx dx +

15、 c 3练习解方程 dx = y + sin x. (P48习题1(1)当 y 0, 先分离变量, y = dx dy 再两边积分, y = dxdydy练习2t x 解方程 d dt + 3 x = e . (P48习题1(2)解: 第一步 : 求解方程 dy = y : dx解: 第一步 : 求解方程 dx = -3 x : dtx 当 x 0, 先分离变量, d x = -3dtx 再两边积分, d x = - 3 dt得对应齐次方程的通解为 y = ce x得对应齐次方程的通解为 x = ce -3 t第二步 : 令 y = c( x )e x 为原方程 dx = y + sin x的

16、解,dy dc( x ) dc( x ) 则 dx = dx e x + c( x )e x 于是有 dx = e - x sin x -x 积分得c( x ) = - 1 2 e (sin x + cos x ) + cdy第二步 : 令 x = c( t )e -3 t 为原方程 dx + 3 x = e 2 t 的解,dt-3 t -3 t x 则d dt = dt e - 3c( t )edc( t )于是有 dt = e 5 tdc( t )5t 积分得c(t ) = 1 5e +c故所求通解为 y = ce x - 1 (sin x + cos x ), c为任意常数 22t -3

17、 t 故所求通解为 x = 1 5 e + ce , c为任意常数(P46例2) dy 例2 求方程 dx =y 的通解. 2 x - y2 2 x- y2 2 x d x 注：方程变形为 dy = y = y - y,二、伯努利微分方程 1.形式 dx = P ( x ) y + Q( x ) y n , 常数n 0,1当n = 0, 为一阶齐次线性微分方程或变量分离方程. 当n = 1, 为一阶齐次线性微分方程或变量分离方程.dy关于 x为非齐次线性微分方程自变量为 . yx 2x 解: 第一步 : 求解方程 d dy = y :x 2 当 x 0, 先分离变量, d x = y dyx

18、2 再两边积分, d x = ydy2.解法 dy (1)方程两边除以 y n , 化为方程 : y - n dx = P ( x ) y1- n + Q( x )dz = y - n (2)考虑 y - n dx 是如何得到的 : 令z = y1- n , 则 d x dx . dy dy得对应齐次方程的通解为 x = cy 2 x 2x 第二步 : 令 x = c( y ) y 2 为原方程 d dy = y - y 的解,2 dc( y ) x 1 则d dy = dy y + 2c( y ) y 于是有 dy = - y 积分得 c( y ) = - ln y + cdz = P (

19、x ) y1- n + Q( x ) 方程可化为一阶线性微分方程 d xdc( y )(3)利用常数变易法求得通解之后再变量还原.做变量替换z = y1- n ,即可化为一阶线性微分方程求解.故所求通解为 x = y 2 (c - ln y ), c为任意常数例如 求 dy = y + x2 的通解 dx 2 x 2 y此为伯努利方程, n = -1.第一步(P48例3) dy y 例3 求方程 dx = 6 x - xy 2 的通解. 解: 当 y = 0 : 是一个解.dydz = 2 y 做变量替换z = y 2 , 则 d x dx2 y dx = x + x2dyy2当 y 0 :

20、第一步 : 做变量替换z = y -1 ,dz = - y -2 则d x dx dy dy 6 +x - y -2 dx = - xy d z d z 6 z 6 得 dx = - xy + x ,即 dx = - x + xdz = z + x 2 于是有 d x x第二步一阶线性微分方程常数变易法, 可得z = cx + 1 x3 2第三步dz = - 6 z + x 第二步 : 解一阶线性微分方程 d x xc + x2 常数变易法, 可得 z = x 6 8代回原变量, 得通解 y 2 = cx + 1 x3 2c x 第三步 : 变量代回, 得通解 1 y = x6 + 8 , 8

21、 6 即通解为 xy - x = c. 824思考与练习作 业习题2.2 P48 1.(2)(3)(4)常数变易法 1.(11)(15) 伯努利方程2.3 恰当微分方程与积分因子一、恰当微分方程 1. 预备知识(1)设u( x , y )是连续可微的函数, 则 u( x , y )的全微分为u dx + u dy du( x , y ) = x y2.恰当微分方程 (1)定义若有函数u( x , y ), 使得du( x, y ) = M ( x, y )dx + N ( x, y )dy 则称 M ( x, y )dx + N ( x, y )dy = 0为恰当微分方程. 通解为 u( x

22、, y ) = c .(2)若du( x, y ) = 0, 则 u( x, y ) = c .ydx + xdy = 0 = d( xy ) (3 x 2 y + y 2 )dx + ( x 3 + 2 xy )dy = 0 = d( x 3 y + xy 2 ) f ( x )dx + g( y )dy = 0 = d( f ( x)dx + g( y)d y )u dx + u dy = 0 x y 通解为 u( x , y ) = c.(2)需要考虑的问题 如何判别M ( x , y )dx + N ( x , y )dy = 0是恰当微分方程 ? 若M ( x , y )dx + N

23、 ( x , y )dy = 0是恰当微分方程, 如何求u( x , y )?若M ( x , y )dx + N ( x , y)dy = 0不是恰当微分方程, 能否转化 ?3.方程为恰当微分方程的充要条件 设M ( x , y ), N ( x, y )在某矩形域内是 x, y的连续函数, 且具有连续的一阶偏导数, 则方程M ( x , y )dx + N ( x , y )dy = 0为恰当微分方程的 M ( x , y ) N ( x , y ) 充要条件为 y = x .已知M ( x, y )dx + N ( x , y )dy = 0为恰当微分方程, 则存在二元函数u( x, y

24、 ), 使 u dx + u dy M ( x , y )dx + N ( x , y )dy = du( x, y ) = x yu u 于是有 M ( x, y ) = x , N ( x, y ) = yM ( x , y ) 2u N ( x , y ) 2u = yx , x = xy y已知M ( x , y ) N ( x , y ) = x , yu = M ( x , y ), u = N ( x, y ) 于是有 x y需要构造二元函数u( x , y ), 使 u dx + u dy du( x , y ) = M ( x , y )dx + N ( x , y )dy

25、= x y于是有 u( x , y ) = M ( x , y )dx + j ( y ). 这里j ( y)是 y的任意可微函数. u = N ( x, y ) : 下面选择j ( y ), 使 y u = M ( x , y )dx + dj ( y ) = N ( x, y ), 解 dy y y 于是有于是有M ( x , y ) N ( x , y ) = x y与x无关. M ( x , y)dx dy, 故j ( y ) = N - y M ( x, y )dxdy . 于是有 u( x , y ) = M ( x, y )dx + N - ydj ( y ) M ( x , y

26、 )dx . 可得 dy = N - y即u( x , y )存在, 从而M ( x, y)dx + N ( x, y )dy = 0为恰当微分方程.5注 : 恰当微分方程通解为(P53例1) 例1 求方程 (3 x 2 + 6 xy 2 )dx + (6 x 2 y + 4 y 3 )dy = 0的通解. 解: (1) M = 3 x 2 + 6 xy 2 , N = 6 x 2 y + 4 y 3 ,M = 12 xy , y M ( x, y)dx + N - y M ( x, y)dxdy = c.4. 恰当微分方程的解法 (1)不定积分法第一步 : 判断方程是否为恰当方程.(若是则下

27、一步)N = 12 xy, xM = N , 故为恰当微分方程. y x第二步 : 求u( x , y ) = M ( x , y )dx + j ( y )u = N ( x , y )求j ( y ). 第三步 :由 y(2)方法1 : 不定积分法 u( x, y ) = M ( x , y ) dx + j ( y ) = x 3 + 3 x 2 y 2 + j ( y )3 x 2 + 6 xy 2 2 2 3 4 u 因 y = N ( x , y ),即 6 x y + j ( y ) = 6 x y + 4 y 故j ( y ) = y第四步 : 通解为u( x , y) = c

28、.于是有 u( x , y ) = x 3 + 3 x 2 y 2 + y 4 故通解为 x 3 + 3 x 2 y 2 + y 4 = c .练习 验证方程(e x + y)dx + ( x - 2sin y)dy = 0为恰当方程, 并求其通解. 解: (1) M = e x + y, N = x - 2sin y , M = 1, N = 1, x yM = N , 故为恰当微分方程. y x(2)分组凑微法 采用“分项组合”的方法,把本身已构成全微分的项 分出来,再把余的项凑成全微分.: 应熟记一些简单二元函数的全微分.(书P54)ydx + xdy = d ( xy )ydx - x

29、dy =d y2 - ydx + xdy =d x2(2) u( x, y ) = M ( x , y ) dx + j ( y ) = e x + xy + j ( y )ex + y(x y) y (x )u x + j ( y ) = x - 2sin y 故j ( y ) = 2cos y 因 y = N ( x , y ), 即于是有 u( x , y ) = e x + xy + 2cos y 故通解为e x + xy + 2cos y = c .ydx - xdy = d ln x y xy ydx - xdy = d arctan x y x2 + y2()()ydx - xd

30、y 1 x- y = d ln x +y x2 - y2 2()(P54例2) 例2 求方程 (3 x 2 + 6 xy 2 )dx + (6 x 2 y + 4 y 3 )dy = 0的通解. 解: 方法2 : 分组凑微法方程即 3 x 2dx + 6 xy 2dx + 6 x 2 ydy + 4 y 3dy = 0d( x 3 ) 3 y 2d( x 2 ) 3 x 2d( y 2 )d( y 4 ) d(3 x 2 y 2 )(P55例3) x 1 例3 求方程 (cos x + 1 y )dx + ( y - y 2 )dy = 0的通解.1 x 解: (1) M = cos x +

31、1 y , N = y - y2 , M = - 1 , N = - 1 , x y2 y y2M = N , 故为恰当微分方程. y x(2)方法1:不定积分法u( x, y ) = M ( x, y ) dx + j ( y ) = sin x + ln y + j ( y )cos x + 1 y方程即 d( x 3 + 3 x 2 y 2 + y 4 ) = 0 于是有 u( x , y ) = x 3 + 3 x 2 y 2 + y 4 故通解为 x + 3 x y + y = c .3 2 2 41 + j ( y ) = 1 - x , u 故j ( y ) = x 因 y y2

32、 y y = N ( x , y ),即 y x 于是有 u( x , y ) = sin x + ln y + y故通解为sin x + ln y + x y = c.6(P55例3) 1 x 例3 求方程 (cos x + 1 y )dx + ( y - y 2 )dy = 0的通解.1 x 解: (1) M = cos x + 1 y , N = y - y2 , M = - 1 , N = - 1 , x y2 y y2(P60习题1(1) 练习 验证方程( x2 + y)dx + ( x - 2 y)dy = 0为恰当方程, 并求其通解. 解: (1) M = x 2 + y, N

33、= x - 2 y,M = 1, yN = 1, xM = N , 故为恰当微分方程. y xM = N , 故为恰当微分方程. y x(2)方法2:分组凑微法x 1 方程即 cos x dx + 1 y dx + y dy - y2 dy = 0 d(sin x ) d(ln y ) ydx - xdy 即d x y y2 方程即 d(sin x + ln y + x y) = 0 x 于是有 u( x , y ) = sin x + ln y + y 故通解为sin x + ln y + x y = c.(2)方法1:不定积分法3 u( x, y ) = M ( x , y ) dx +

34、j ( y ) = 1 3 x + xy + j ( y ) 2( )x +yu x + j ( y ) = x - 2 y , 因 y = N ( x , y ), 即3 2 于是有 u( x, y ) = 1 3 x + xy - y 3 2 1 故通解为 3 x + xy - y = c .故j( y ) = - y 2(P60习题1(1) 练习 验证方程( x2 + y)dx + ( x - 2 y)dy = 0为恰当方程, 并求其通解. 解: (1) M = x 2 + y , N = x - 2 y ,M = 1, y(3)线积分法数学分析中曲线积分与路径无关:P 在单连通域G上连

35、续, 若函数P ( x , y ), Q( x, y )以及 x , y 则下列命题等价 : P 1o 对G内任意一点( x , y ), 有 y = x ; o 2 曲线积分 Pdx + Qdy与路线无关,C ( A, B )N = 1, xQM = N , 故为恰当微分方程. y xQ(2)方法2:分组凑微法方程即 x 2dx + ydx + xdy - 2 ydy = 03 d( 1 d(- y 2 ) d( xy ) 3x ) 3 2 1 方程即 d( 3 x + xy - y ) = 0 3 2 于是有 u( x, y ) = 1 3 x + xy - y 3 2 故通解为 1 3

36、x + xy - y = c .只与位于G中的始点A与终点B有关; 3o 在G内存在一个函数u( x , y ), 使du = Pdx + Qdy;: 判别恰当微分方程的充要条件, 其充分性也可使用线积分证明 :已知M ( x , y ) N ( x , y ) = x , y(P53例1) 例4 求方程 (3 x 2 + 6 xy 2 )dx + (6 x 2 y + 4 y 3 )dy = 0的通解. 解: 方法3 : 线积分法首先该方程为恰当微分方程.M N 由于M ( x, y), N ( x, y)以及 x , y 在全平面上连续,则存在函数u( x, y ), 使du = M (

37、x, y )dx + N ( x , y )dy, 故 M ( x , y )dx + N ( x , y)dy = 0为恰当方程. y 这时, 取( x0 , y0 ) R, 则 ( x , y) ( x, y) u( x , y) = M ( x, y )dx + N ( x, y )dy (x , y )= M ( x, y0 )dx + N ( x, y )dy,x0 y0x x0( x0 , y0 ) x00y故取( x0 , y0 ) = (0,0), 则Oy y0xu( x, y ) = ( x, y)故恰当微分方程的通解为 M ( x , y0 )dx + N ( x , y

38、)dy = c .线积分法步骤: 第一步 : 判断方程是否为恰当方程.(若是则下一步)第二步 : 取( x0 , y0 ) R, 如原点(0, 0), ( x, y) 求u( x , y ) = M ( x , y )dx + N ( x, y )dy ( x0 , y0 ) 第三步 : 通解为u( x , y ) = c .= M ( x ,0)dx + N ( x, y)dy,0(0,0) xM ( x, y )dx + N ( x , y )dyy 0y( x, y)= x 3 + 3 x 2 y 2 + y43 2 2 43 x26 x2 y + 4 y3Ox故通解为 x + 3 x

39、y + y = c .7(P55例3) 1 x 例5 求方程 (cos x + 1 y )dx + ( y - y 2 )dy = 0的通解. 解: 方法3 : 线积分法首先该方程为恰当微分方程.M N 由于M ( x, y), N ( x, y)以及 x , y 在除去y = 0的平面上连续,二、积分因子1. 需要考虑的问题 如何判别M ( x , y )dx + N ( x , y )dy = 0是恰当微分方程 ?已经解决, 利用充要条件M ( x , y ) N ( x , y ) = x . y故取( x0 , y0 ) = (0,1), 则u( x, y ) = ( x, y)若M

40、( x, y )dx + N ( x , y )dy = 0是恰当微分方程, 如何求u( x , y )? 已经解决, 三种方法(不定积分法, 分组凑微法, 线积分法). 若M ( x, y )dx + N ( x , y )dy = 0不是恰当微分方程, 能否转化 ?对一些非恰当方程, 乘上一个因子后, 可变为恰当方程.= M ( x,1)dx + N ( x, y)dy,0(0,1) xM ( x, y )dx + N ( x , y )dyy 1y 1O( x, y )cos x + 1= (sin x + x ) + (ln y + x y - x) 故通解为sin x + ln y

41、+ x = c . y1- x y y2xdy - f ( x )j ( y )dx = 02.积分因子的定义如果存在连续可微函数m ( x , y ) 0, 使得m ( x , y ) M ( x, y )dx + m ( x , y ) N ( x , y )dy = 0为恰当方程, 则称m ( x , y )为方程M ( x , y)dx + N ( x, y )dy = 0的一个积分因子.1 , 1 均为方程 ydx - xdy = 0的积分因子. 例6 验证 12 , 12 , xy x y x2 y2 (P55书例) y 证明(1)方程两边乘以验证 12 , 得 x2 dx - 1

42、 x dy = 0x M = N = 1 ,已化为恰当方程. y x x2 x 证明(2)方程两边乘以验证 12 , 得 1 y dx - y 2 dy = 0 y M = N = -1 ,已化为恰当方程. y x y2 1 , 得 xdx - ydy = 0 证明(3)方程两边乘以验证 xy M = N = 0,已化为恰当方程. y x方程两边同乘 1 , 得 j ( y) - f ( x )dx + 1 dy = 0 j ( y)M = N = 0,已化为恰当方程. y xdy - ( P ( x ) y + Q( x )dx = 0 - P ( x ) dx 方程两边同乘e ,得- P

43、( x ) dx - P ( x ) dx -e ( P ( x ) y + Q( x )dx + e dy = 0M = N = - P ( x )e - P ( x ) dx ,已化为恰当方程. y x3.积分因子的确定(1)m( x, y)是方程M ( x, y)dx + N ( x, y)dy = 0的积分因子的充要条件是 : m ( x, y ) M ( x , y ) m ( x , y ) N ( x , y ) = y x由求导的乘法法则, 得 m m M N m y + M y = m x + N x(2)m( x, y)是方程M ( x, y)dx + N ( x, y)d

44、y = 0的积分因子的充要条件是 : m m M - N ) m N x - M y = ( y x 若存在仅与x有关的积分因子m ( x, y ) = m ( x) : dm M - N )m 上式即 N dx = ( y xy x dm 可变形为 m = dx N仅与x有关 仅与x有关M - N(2)m( x, y)是方程M ( x, y)dx + N ( x, y)dy = 0的积分因子的充要条件是 : m m M - N )m N x - M y = ( y x(3)方程M( x, y)dx + N ( x, y)dy = 0有仅与 x 有关的积分因子的充要条件是 :M - N M -

45、 N y x y x 仅与x有关, 即 N = y ( x) N其积分因子为m ( x ) = e y ( x )dx.8(4)方程M( x, y)dx + N ( x, y)dy = 0有仅与 y 有关的积分因子的充要条件是 :M - N M - N y x y x - M 仅与y有关, 即 - M = j ( y )例6 求方程 ( y + 2 ye x )dx + ( y + e x )dy = 0的通解. 22解: 首先该方程不是恰当微分方程.M = 2 + 2 ye x , N = y + e x ,M = y + 2e x yy2其积分因子为m ( y ) = e j ( y )dy.N = e x x然后寻找积分因子.因为M - N y x = 1 = y ( x) Nx故积分因子为m ( x ) = e y ( x )dx= exy2 原方程两边乘e , 可得 ( 2 e x + 2 ye 2 x )dx + ( ye x + e 2 x )dy = 0 y2 利用恰当方程求解方法可得 2 e x + ye2 x = c, c为任意常数.(P58例5) dy x 2 例7 求解方程 dx = - x y + 1 + ( y ) ,( y 0).dy 2 2 x 1 解: