2011高考数学一轮 第九章直线与平面所成的角和二面角学案课件5 新人教A版.ppt

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1、学案学案5 5 直线和平面所成的角与二面角直线和平面所成的角与二面角考点一考点一考点二考点二考点三考点三 1.直线和平面所成角及其范围直线和平面所成角及其范围 平面的一条斜线，与它在平面内的射影所成平面的一条斜线，与它在平面内的射影所成的的 ，叫这条直线与平面所成的角，叫这条直线与平面所成的角.一条直线一条直线垂直于平面，我们就说这条直线与平面所成的角垂直于平面，我们就说这条直线与平面所成的角是是 .一直线与平面平行或在平面内，我们说这一直线与平面平行或在平面内，我们说这条直线与平面所成的角是条直线与平面所成的角是 .若若表示直线与平面表示直线与平面所成的角，则线面角的范围是所成的角，则线面角

2、的范围是 .锐角锐角 直角直角 0角角 090 2.直线与平面所成角的性质及公式直线与平面所成角的性质及公式 斜线与平面所成的角是这条直线与平面内的一切直斜线与平面所成的角是这条直线与平面内的一切直线所成的角中线所成的角中 . 公式：公式：cos=cos1cos2. 斜线斜线AB与平面与平面所成的角为所成的角为1,A为斜足为斜足,AC在在内，内，且与且与AB的射影成的射影成2角，角，BAC=，则有，则有cos=cos1cos2.最小的角最小的角 3.二面角及其平面角二面角及其平面角 从一条直线出发的两个从一条直线出发的两个 所组成的图形叫做二所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个

3、半平面叫做二面角面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面的面.一个平面垂直于二面角一个平面垂直于二面角-l-的棱的棱l，且与两个半平面，且与两个半平面的交线分别是射线的交线分别是射线OA,OB，O为垂足，则为垂足，则AOB叫做二面叫做二面角角-l-的的 .平面角的范围是平面角的范围是(0,180. 4.两个平面互相垂直的判定定理及性质定理两个平面互相垂直的判定定理及性质定理 如果一个平面过另一个平面的如果一个平面过另一个平面的 ，那么这两，那么这两个平面互相垂直个平面互相垂直. 如果两个平面互相垂直，那么如果两个平面互相垂直，那么 垂直于垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面它们交

4、线的直线垂直于另一个平面.在一个平面内在一个平面内 半平面半平面 平面角平面角 一条垂线一条垂线 考点一考点一 求线面角求线面角【例【例1】如图，在正方体如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，求中，求A1B与平面与平面A1B1CD所成的角所成的角.【分析】【分析】求线、面所成角的求线、面所成角的基本方法就是作出斜线在平基本方法就是作出斜线在平面内的射影，得到直线和平面内的射影，得到直线和平面所成的角，通过解三角形面所成的角，通过解三角形或求出该角或求出该角.【解析】解法一【解析】解法一：如上图：如上图,连接连接BC1交交B1C于于O.ABCDA1B1C1D1为正方体，为正方体，BOB1C.

5、又又A1B1面面B1BCC1，则，则A1B1BO，BO面面A1B1CD，A1O是是A1B在面在面A1B1CD上的射影上的射影.且且BA1O是直线是直线BA1与平面与平面A1B1CD所成的角所成的角.设正方体棱长为设正方体棱长为a，则，则A1B= a,BO= a.sinBA1O= ，BA1O=30.因此，因此，A1B与平面与平面A1B1CD所成的角为所成的角为30.2 22 22 22 21 1B BA AB BO O1 1 【评析】【评析】求线面角的关键是找射影，而由斜线上一求线面角的关键是找射影，而由斜线上一点作面的垂线时，需明确垂足的位置，这样便于计算点作面的垂线时，需明确垂足的位置，这样

6、便于计算.对应演练对应演练如图所示，四面体如图所示，四面体ABCS中，中，SA，SB，SC两两垂两两垂直，直，SBA=45,SBC=60,M为为AB的中点的中点.求：求：（1）BC与平面与平面SAB所成的角；所成的角；（2）SC与平面与平面ABC所成角的正切值所成角的正切值.（1）CSSB,CSSA,SC平面平面SAB，BC在平面在平面SAB上的射影为上的射影为SB,SBC为为SB与平面与平面SAB所成的角所成的角.又又SBC=60,故故BC与平面与平面SAB所成的角为所成的角为60.（2）连结）连结MC，在，在RtASB中，中，SBA=45,SMAB.又又ABSC，AB面面SMC.面面SMC

7、面面ABC.过点过点S作作SOMC于点于点O，SO面面ABC，SCM为为SC与平面与平面ABC所成的角所成的角.设设SB=a,则则SM= a,在在SBC中，中，SC=SBtan60= a,tanSCM= = .2 22 23 36 66 6S SC CS SM M考点二考点二 求二面角求二面角 【例【例2】如图，在长方体如图，在长方体中，中，已知，已知，.，分别是线，分别是线段，上的点，且段，上的点，且.求：求：（）二面角（）二面角的正切值；的正切值；（）直线（）直线与与所成角的余所成角的余弦值弦值. 【分析】【分析】（1）利用三垂线定理作出二面角）利用三垂线定理作出二面角CDEC1的平面角，

8、解三角形求得的平面角，解三角形求得. （2）将两条异面直线平移为相交直线得到夹角）将两条异面直线平移为相交直线得到夹角. 【解析】解法一【解析】解法一：如图：如图所示所示,（）过作（）过作，垂足为，连结，垂足为，连结.平面，平面，是是在平面在平面上的射影上的射影.由三垂线定理得由三垂线定理得.是二面角是二面角的平面角的平面角.在在中，中，ADE=45 CDG =90- 45=45.CGCDsinCDG4sin45= .tanCGC1= .2 22 22 22 22 22 22 2C CG GC CC C1 1 所以所以，于是，于是为为与与所成的角或其补角所成的角或其补角. 因为在因为在BEF中

9、，中， EF (2) (2)延长至点延长至点，使，使，连结，连结E EF,DEF,DE1 1, ,D DE E,DF.,DF. 有有D DC C， DC ，则四边形，则四边形是平行四边形是平行四边形. .2615222 22 2B BF FE EB B 在在RtRtD D中，中， 在在中，中， 所以在所以在中，由余弦定理得中，由余弦定理得 EED DF F1 14 42 23 31 1D DD DA AD DA AE ED DD DD DE E2 22 22 22 21 12 22 21 12 21 12 21 12 24 42 24 42 2D DD DC CD DC CF FD DD DF

10、 FD D2 22 22 22 21 12 22 22 21 12 2. .1 14 42 21 12 24 41 14 42 22 26 62 24 41 14 4F FD DE ED D2 2F FE EF FD DD DE E1 11 11 12 21 12 21 12 21 1 【评析】【评析】本题主要涉及求异面直线所成的角和二面本题主要涉及求异面直线所成的角和二面角角.一般方法要求根据定义作出角来，再计算大小一般方法要求根据定义作出角来，再计算大小.对应演练对应演练如图所示，已知四棱锥如图所示，已知四棱锥PABCD，底面，底面ABCD为菱形，为菱形，PA平面平面ABCD，ABC=60

11、,E,F分别是分别是BC,PC的中的中点点.(1)证明证明:AEPD;(2)若若H为为PD上的动点上的动点,EH与平面与平面PAD所成最所成最大角的正切值为大角的正切值为 ,求求二面角二面角EAFC的余的余弦值弦值.2 26 6(1)证明证明:由四边形由四边形ABCD为菱形为菱形,ABC=60,可得可得ABC为正三角形为正三角形.因为因为E为为BC的中点的中点,所以所以AEBC.又又BCAD,因此因此AEAD.因为因为PA平面平面ABCD,AE平面平面ABCD,所以所以PAAE.而而PA 平面平面PAD,AD 平面平面PAD且且PAAD=A,所以所以AE平面平面PAD.又又PD 平面平面PAD

12、，所以所以AEPD.(2)如图甲如图甲,设设AB=2,H为为PD上任意一点上任意一点,连结连结 AH,EH.由由(1)知知AE平面平面PAD,则则EHA为为EH与平面与平面PAD所成的角所成的角.在在RtEAH中中,AE= ,所以当所以当AH最短时最短时,EHA最大最大,即当即当AHPD时时,EHA最大最大.此时此时tanEHA= ,因此因此AH= .又又AD=2,所以所以ADH=45, 所以所以PA=2.因为因为PA平面平面ABCD,PA平面平面PAC,所以平面所以平面PAC平面平面ABCD.3 32 26 6A AH H3 3A AH HA AE E2 2过过E作作EOAC于于O,则则EO

13、平面平面PAC,过过O作作OSAF于于S,连结连结ES,则则ESO为二面角为二面角EAFC的平面角的平面角,在在RtAOE中中,EO=AEsin30= ,AO=AEcos30= ,又又F是是PC的中点的中点,在在RtASO中中,SO=AOsin45= ,又又 在在RtESO中中,cosESO= ,即所求二面角的余弦值为即所求二面角的余弦值为 .2 23 32 23 34 42 23 3, ,4 43 30 08 89 94 43 3S SO OE EO OS SE E2 22 25 51 15 54 43 30 04 42 23 3S SE ES SO O5 51 15 5考点三考点三 面面垂

14、直的判定和性质的应用面面垂直的判定和性质的应用 【例【例3】如图所示如图所示,ABC为正三角形，为正三角形，EC面面ABC，BDEC且且EC=CA=2BD，M为为EA中点中点.求证：（求证：（1）平面）平面BDM平面平面ACE；（2）平面）平面DEA平面平面ECA.【分析】【分析】要证面面垂直，首先要证面面垂直，首先想到判定定理，转为证线面垂想到判定定理，转为证线面垂直，再转换为证线线垂直直，再转换为证线线垂直.【证明】【证明】（1）取）取CA中点中点N，连结，连结MN，BN，在，在ACE中，中，M，N分别为分别为AE，AC中点，中点，MNEC，MN= EC.而而BDEC，BD= EC，BD

15、MN,B,D,M,N四点共面四点共面.EC面面ABC，BN面面ABC，ECBN.又又BNAC，BNEC，ACEC=C,BN面面ECA.又又BN面面BMD，面面BMD面面ACE.（2）DMBN，BN面面ACE，DM面面ACE.又又DM面面DEA，面面DEA面面ACE.2 21 12 21 1 【评析】【评析】证明线面垂直的方法：证明一个面过另一个证明线面垂直的方法：证明一个面过另一个面的垂线，将证明面面垂直转化为证明线面垂直面的垂线，将证明面面垂直转化为证明线面垂直.一般先一般先从现有直线中寻找，若图中不存在这样的直线，则借助中从现有直线中寻找，若图中不存在这样的直线，则借助中点、高线与添加辅助

16、线解决点、高线与添加辅助线解决.对应演练对应演练如图所示，四棱锥如图所示，四棱锥PABCD的底面的底面ABCD是边长为是边长为1的的菱形，菱形，BCD=60,E是是CD的中点，的中点，PA底面底面ABCD，PA=2.（1）证明：平面）证明：平面PBE平面平面PAB；（2）求平面）求平面PAD和平面和平面PBE所成二面角（锐角）所成二面角（锐角）的大小的大小.（1）证明：如图甲所示，连结）证明：如图甲所示，连结BD，由，由ABCD 是菱形且是菱形且BCD=60知，知，BCD是等边三角形是等边三角形.因为因为E是是CD的中点，所以的中点，所以BECD.又又ABCD，所以，所以BEAB.又因为又因为

17、PA平面平面ABCD，BE平面平面ABCD，所以所以PABE.而而PAAB=A,因此因此BE平面平面PAB.又又BE平面平面PBE，所以，所以平面平面PBE平面平面PAB.（2）如图乙所示，延长）如图乙所示，延长AD，BE相交于点相交于点F，连结，连结PF. 过过点点A作作AHPB于于H，由（，由（1）知平面）知平面PBE平面平面PAB，所以所以AH平面平面PBE.在在RtABF中，中，因为因为BAF=60,所以，所以，AF=2AB=2=AP.在等腰在等腰RtPAF中，中，取取PF的中点的中点G，连，连结结AG，则，则AGPF.连结连结HG，由三垂线定理的逆定理得，由三垂线定理的逆定理得PFH

18、G.所以所以AGH是平面是平面PAD和平面和平面PBE所成二面角的平面角所成二面角的平面角（锐角）（锐角）.在等腰在等腰RtPAF中，中，AG= PA= .故平面故平面PAD和平面和平面PBE所成二面角（锐角）的大小是所成二面角（锐角）的大小是arcsin .2 22 22 2.5 55 52 25 52 2A AB BA AP PA AP PA AB BP PB BA AP PA AB BA AH H2 22 2在在RtPAB中，中，. .5 51 10 02 25 55 52 2H HG GA AH H所以，在所以，在RtAHG中，中，sinAGH= 5 51 10 0 1.几何法求角的一般步骤是：几何法求角的一般步骤是： (1)找出或作出有关的平面角找出或作出有关的平面角. (2)证明它符合定义证明它符合定义. (3)归到某一三角形中进行计算，也就是说计算题归到某一三角形中进行计算，也就是说计算题要有推理过程要有推理过程.