平面向量四心问题doc.doc

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1、1三角形三角形“四心四心”向量形式的充要条件及其应用向量形式的充要条件及其应用1.1.三角形的三角形的“四心四心”定理的平面几何证明定理的平面几何证明三角形三边的中垂线交于一点，这一点为三角形外接圆的圆心，称外心。 证明: 设 AB、BC 的中垂线交于点 O， 则有 OA=OB=OC，故 O 也在 AC 的中垂线上，因为 O 到三顶点的距离相等，故点 O 是 ABC 外接圆的圆心 因而称为外心三角形三边上的高交于一点，这一点叫三角形的垂心。 证明: AD、BE、CF 为 ABC 三条高，过点 A、B、C 分别作对边的平行线， 相交成 ABC，AD 为 BC的中垂线；同理 BE、CF 也分别为

2、AC、AB的中垂线， 由外心定理，它们交于一点， 命题得证三角形三边中线交于一点，这一点叫三角形的重心。 设中线BE, C F交于点(G证明, 连同一法):结EF,则EF/ / BC , 且EF: BC =FG : G C =EG : G B=1: 2.同理中线AD , BE交于G, 连结D E, 则:D E/ / AB, 且EG: GB=D G: GA=D E: AB=1: 2, 故G , G重合.三角形三内角平分线交于一点，这一点为三角形内切圆的圆心，称内 心。 证证明 : 设A、C 的平分线相交于 I,过 I 作 IDBC，IEAC， IFAB，则有 IE=IF=ID 因此 I 也在C

3、的平分线上，即三角形三内角平分线交于一点2.2.三角形的三角形的“四心四心” 定理的平面向量表达式及其证明定理的平面向量表达式及其证明 是的重心(其中是三边)O123PP P1230OPOPOP, ,a b c123PP P证明：充分性是的重心1230OPOPOPO123PP P若，则，以，为邻边作1230OPOPOP123OPOPOP 1OP2OPP12PP3OP2平行四边形，设与交于点，则为的中点，有，得132OPP P/ 3OP12PPPP12PP 123OPOPOP，即四点共线，故为的中线，同理，亦为的中线， 33OPOP 33,O P P P3PP123PP P12,PO PO123

4、PP P所以，为的重心。O必要性：是的重心O123PP P1230OPOPOP如图，延长交于，则为的中点，由重心的性质得. 1PO23P PPP23P P12POOP 12323122()2 OPOPOPOPOPOP1230OPOPOP点是的垂心O123PP P122331OP OPOP OPOP OP 证明：是的垂心,O123PP P312OPPP 123OPP P 同理31232132310()0OP PPOPOPOPOP OPOP OP 123OPP P 3112OP OPOP OP 故当且仅当.122331OP OPOP OPOP OP 点是的外心O123PP P23OPOPOP 证明

5、：O 是是 ABC 的外心的外心|=|=|(或或2=2=2)(点点OA OB OCOA OB OCO 到三边距离相等到三边距离相等) (+)=(+)=(+)=0(O 为三为三OA OB AB OB OCBC OCOA CA 边垂直平分线的交点边垂直平分线的交点)是的内心。(其中是三边)O123PP P1230a OPbOPc OP , ,a b c123PP P证明：充分性： 是的内心1230 a OPbOPc OPO123PP P1231112113()()a OPb OPc OPa OPbOPPPcOPPP =11213()0 abcOPb PPc PP所以，而，分别是，1312 1()P

6、PPPbcPOabccb 12PP c 13PP b 12PP 方向上的单位向量，所以向量平分，即平分，同理平分13PP 1312PPPP cb 213P PP1PO213P PP2PO，得到点是的内心。123PP PO123PP PP12PP3OPABCDO3必要性：是的内心O123PP P1230 a OPbOPc OP若点 O 为的内心，延长交23P P于，由三角形内角平分线的性质定理，有123PP P1POP，于是1311223PPPOPPbc OPP PPPa1()0a OPbcOP再由，有（定比分点）代入前式中便得23P Pc PPb23bcOPOPOPbcbc.1230a OPb

7、 OPc OP 必要性证法二：设 O 是ABC 内任一点，以 O 为坐标原点，OA 所在直线为 x 轴，建立直角坐标系。并设 AOC,AOB).sinr,cosr (C),sinq,cosq(B),0 ,p(A中 中中 中显然OC,OB不共线，由平面向量基本定理，可设),Ry, x(OCyOBxOA 则 )sin(rsinpy)sin(qsinpxsinyrsinxq0cosyrcosxqp中 中中 中OCsinpqOBsinprOA)sin(qr 0OCSOBSOASOCSOBSOAS)sin(BOCsin),(2BOC,AOC,AOBAOBAOCBOCAOBAOCBOC 中 中（）若 O

8、是ABC 的内心，则cbaSSSAOBAOCBOC： 故 0OCCsinOBBsinOAAsin0OCcOBbOAa 或或必要性得证同时还可得到以下结论（）若 O 是ABC 的重心，则ABCAOBAOCBOCS31SSS 故0OCOBOA （）若 O 是ABC 的外心则C2sin:B2sin:A2sinAOBsinAOCsinBOCsinSSSAOBAOCBOC ：故0OCC2sinOBB2sinOAA2sin OF EDCBA4（）若 O 是ABC (非直角三角形)的垂心，则CtanBtanAtanSSSAOBAOCBOC： 故0OCCtanOBBtanOAAtan 证明：（A 、E、O 、

9、F 四点11sinsin22BOCSOB OCBOCOB OCAAAAAAA1tancos2OB OCAAAAAA共圆）同理 11sintancos22AOBSOA OBCOA OBCCAAAAAAA11sintancos22AOCSOA OCBOA OCBBAAAAAAA因此只需证coscoscosOB OCAOA OBCOA OCBAAAAAA先证第一个等式 coscosOB OCAOA OBCAAAA（E 、C、D、O 四点共圆,为的补角；E coscos coscosCAOEOEOEOC ACOEOAOCOA,CAOEDOE、O、F、A 四点共圆,为的补角）所以上式成立，即第一个等式成

10、立。同理可证：该,ACOEFOE连等式成立，原题得证。评注：一箭四雕，需要提醒的是，这里只探求了三角形内心向量形式的必要条件，充分性并未证明。与三角形的“四心”有关的一些常见的重要的向量关系式有： 设，则向量必平分BAC，该向量必通过ABC 的内心; , 0)( ACACABAB 设，则向量必平分BAC 的邻补角, 0)( ACACABAB 设，则向量必垂直于边 BC，该向量必通过ABC 的垂心, 0) coscos( CACACBABAB ABC 中一定过的中点，通过ABC 的重心ACAB BC 点是ABC 的外心 O222OCOBOA 点是ABC 的重心 O0OCOBOA 点是ABC 的垂心 OOAOCOCOBOBOA点是ABC 的内心 (其中 a、b、c 为ABC 三边)O0OCcOBbOAa ABC 的外心、重心、垂心共线，即OGHOGOH 设为ABC 所在平面内任意一点，G 为ABC 的重心，I 为ABC 的内心，O5则有 )(31OCOBOAOGcbaOCcOBbOAaOI并且重心 内心123123(,)33xxxyyyG123123(,)axbxcxaybycyIabcabc