浅谈估算法在函数、数列中的应用.doc

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1、1浅谈估算法在函数、数列中的应用吕 跃 （湖北省沙市中学 434100）胡耀宇 （ 湖北省监利一中 433300）估算，顾名思义，估摸着计算，它的基本特点是对数值作适当的扩大或缩小，对图象作粗略的观察，从而对运算结果确定出一个范围，或作出一个估计1.有人说：“估算，是在蜂拥而来的众多信息面前，迅速捕捉一批有用或关键信息的那种数学素质，它往往可以跳过繁冗的逻辑推理过程，直接给出结果，或将解题的关键一眼看穿 ”.高中数学课程标准明确提出要注重提高学生的数学思维能力，并作为数学教育的基本目标之一2.要提高学生空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理等基本能力，提高数学地提出、分析和解决问题的

2、能力.新教材调整后的内容添加了算法这一模块，就体现了这样理念，可见运算能力作为学生的一项基本能力成为学生必备素质.同样，近几年高考为体现新课程标准的要求，在函数、数列的运算能力中也特别注重了“估算”的考查，本文拟从四个方面谈谈肤浅的认识.1 特值引路，精打细算特值引路，精打细算例 1 (2007 年湖北卷理科)已知 p 和 q 是两个不相等的正整数，且 q2，则 1)n11 (1)n11 ( lim qpnA 0 B 1 C D qp 1q1p 法 1：取 p=1,q=2,，选 C.2n2n1n1lim 1)n11 (1n11 lim2n2n 法 2： 1n1Cn1Cn1CC1n1Cn1Cn1

3、CC lim 1)n11 (1)n11 ( limqq q22 q1 q0 qpp p22 p1 p0 pnqpn 2qpn1Cn1Cn1Cqn1Cn1Cn1Cp lim1qq q23 q2 q1pp p23 p2 pn 一般化、特殊化和类比被并列地称为“获得发现的伟大源泉”.可见特殊化思想的重要性，本题取 p=1，q=2，不仅“四两拨千斤” ，选出结果易如反掌，而且从中得到暗示3，可沿着二项式定理展开的方向进行一般化的探求.例 2 (2006 福建卷文科)已知二次函数 f(x)，不等式 f(x)1 时n 2)n11ln()n11ln(nn1 n1=nn n22 n1 n0 nn)n1(C)n

4、1(Cn1CC)n11 (2)n1(C)n1(C2nn n22 nn=1 时，故， (n=1 时，取“=”)2)111 (12)n11 (22ln)n11ln(n取，易知，g(x)递增；32xx2)x(g,x1 x1)x(g0)x(g,)2 , 1 (x时递减.)x(g, 0)x(g,), 2(x时问题得证. 2ln16lneln41)2(g)x(g41 41 本题参考解答是构造函数考查 h(x)在递增，且),1xln(xx)x(h23), 0 4h(0)=0.解法比上述别解更直接，但别解显示了掌握之后的另一种构3)n11 (2n造韵味.3 数形结合，胸有成竹数形结合，胸有成竹例 5 (200

5、7 年厦门双十期末测试)函数恒成1xk)x(f ,0x,x) 1xln(1)x(f时若立，求正整数 k 的最大值.法 1：当恒成立.0x)x(f ) 1x(k)x(f1xk,0x对即时设，只需.x) 1xln(1) 1x()x(f) 1x()x(g min)x(gk 令 ，即 )x(g2x1)1xln(1x0)x1ln(1x设方程对应解为 x=x0，则时，递减；，)x, 0(x0)x(g, 0)x(g),x(x0g(x)递增., 0)x(g其中，x0满足，1xx)1xln(1)1x()x(g)x(g0 000 0 min) 1xln(1x00下证 20, (2) (3)0故 2x03， ，由，

6、k 的最大值是 3.)4 , 3(1x)x(g0 min1x)x(gk0 min法 2：恒成立，只需0x0kx)1xln(1)(1x()x( t),0x(1xk)x(f对即即可.0)x( t min令递减；)x( t , 0)x(t),1e, 0(x, 1ex, 0k2) 1xln()x(t2k1k当得递增.)x( t , 0)x(t), 1e (x2k0ek) 1e ( t)x( t2k2kmin记 , 2k0e1)k(s ,ek)k( s2k2k知, 0e3)3( s , 0e2)2( s0又递减，)k( s4k, 0e4)4( s2时且 0)4( s)k( s5的最大值是 3.k又象魔术

7、师帽子中跑出来的两只兔子，无论是对中0) 1xln(1x)x(000的 x0的估计，还是的取值，似乎都如从天而降.k0ek)k( s2k中其实只要联想两个超越方程和所对应的图象(见图) 1xln(1x000ek2k1，图 2)，思路就顺理成章了.伟大数学家欧拉告诫我们：数学这门学科，需要观察，也需要实验.4 直觉估算，难题亦易直觉估算，难题亦易例 6：(2007 湖北卷理科)已知 m、n 为正整数.(1)用数学归纳法证明：当时，；1xmx1)x1 (m(2)对于n,.,2 , 1m,)21()3nm1 (,21)3n11 (, 6nmnn求证已知(3)求出满足的所有正整数 n.nnnn)3n(

8、)2n(43解：(1)(2)略.(3)当时，由(2)可知6n . n, 2 , 1m,)21()3nm1 (mn分别以1211)21()21(21)3nn1 ()3n21 ()3n11 (nn2nnn，即也就是1)3n3()3n1n()3n2n(nnn,)3n()2n(43nnnn方程无的解，故只需讨论 n=1,2,3,4,5,时的情形.6n 当 n=1 时，34；当 n=2 时，222543当 n=3 时，；当 n=4 时，333365434444476543当 n=5 时， 综上，所求 n=2 或者 n=3.555555876543图 1图 26其理能懂，其法太妙，妙难想到！其实，本题利用

9、直觉就可估算出结果，首先勾股数，就知道特殊222543值 n=2 可行，于是如法炮制求出 n=2,n=3，但不至于一直验证下去呀？回头重新审题，会看到第(2)问中条件 n6 在前面的证明中用处不大；而第(2)问与第(3)问中 n+3 这个代数式的相同就产生了方程两边同时除以(n+3)n的变形想法，后面的不等式就不难想到了.估算在上述问题的解决中的确发挥了重要作用，甚至成为解决问题的关键和灵感源泉.在现今高考中，不再用繁琐的计算、机械的重复来考查学生的运算能力，代之以基本数学思想指导下的一题多解，同时兼顾对算理和逻辑推理的考查4，这时“估算”往往成为“神来之笔”的推动力，成为不合情理中的合情推理手段.参考资料1杨品方 用估算法对几何命题作判断，数学通讯 2004.92中华人民共和国教育部 普通高中数学课程标准 人民教育出版社 2003.4 3G波利亚 怎样解题 科学出版社 19824田光利 如何提高学生的运算能力 数学通讯 2002.17作者简介吕跃，(1968-)，男，湖北监利人，湖北省沙市中学高级教师。