全国高中数学联赛分类汇编第08讲：解析几何doc.doc

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1、12009-2017 全国高中数学联赛分类汇编第08 讲：解析几何1、 （2009 一试 2）已知直线和圆，点在直线上，为:90L xy22:228810Mxyxy ALBC圆上两点，在中，过圆心，则点横坐标范围为MABC45BACABMA【答案】36，【解析】设，则圆心到直线的距离，由直线与圆相交，得9A aa，MACsin45dAMACM解得34 2d 36a2、 （2009 一试 5）椭圆上任意两点，若，则乘积的最小值22221xy ab0abPQOPOQOPOQ为【答案】22222a b ab【解析】设，cossinP OPOP，cossin22Q OQOQ，由，在椭圆上，有PQ 22

2、2221cossin abOP222221sincos abOQ得于是当时，达到最小值+22221111 abOPOQ22222a bOPOQabOP OQ22222a b ab3、 （2010 一试 3）双曲线的右半支与直线围成的区域内部（不含边界）整点（纵横坐122 yx100x标均为整数的点）的个数是.【答案】98004、 （2011 一试 7）直线与抛物线交于两点，为抛物线上的一点，012 yxxy42BA,C90ACB则点的坐标为C2【答案】或)2, 1 ( )6, 9( 即，0)(24)(21212 212 214yytyytxxtxxt即，即03161424ttt0) 14)(3

3、4(22tttt显然，否则，则点在直线上，从而点与点或点重合所0142 tt01222ttC012 yxCAB以，解得故所求点的坐标为或0342 tt3, 121ttC)2, 1 ( )6, 9( 5、 （2012一试4）抛物线的焦点为，准线为，是抛物线上的两个动点，且满足22(0)ypx pF,A B设线段的中点在上的投影为，则的最大值是.3AFBMN| |MN AB【答案】1【解析】由抛物线的定义及梯形的中位线定理得.2AFBFMN在中,由余弦定理得AFB2222cos3ABAFBFAFBF2()3AFBFAFBF22()3()2AFBFAFBF22().2AFBFMN当且仅当时等号成立.

4、故的最大值为1.AFBFMN AB6、 （2013 一试 2）在平面直角坐标系中，点在抛物线上，满足，是抛物xOyAB、24yx4OA OB F线的焦点.则.OFAOFBSs【答案】2.【解析】点坐标为.设，则，故F1,011,A x y22,B xy2 1 14yx 2 2 24yx 3，即，故.2 121212121416OA OBx xy yy yy y 2 1218016y y 128y y .2 12121112224OFAOFBSSOFyOFyOFy y 7、 （2013 一试 7）若实数满足，则的取值范围是., x y42xyxyx【答案】. 04,201A42baOCB如图所示

5、，在平面内，点的轨迹是以为圆心，aOb, a b1,2为半径的圆在的部分，即点与弧的并集.因此5,0a b OAACB，从而.学%科网 2202,2 5ab 2204,20xab8、 （2014 一试 6）设椭圆的两个焦点是，过点的直线与交于点，若，且21,FF1FQP,|212FFPF ，则椭圆的短轴与长轴的比值为_.|4|311QFPF 【答案】267【解析】11| 4,| 3,PFQF记椭圆T的长轴，短轴的长度分别为2a, 2b, 焦距为212| | 2 ,FFc2c, 则PF且由椭圆的定义知，12122| | | 24.aQFQFPFcPF2121| | | 21.QFPFQFc于是P

6、F11| 2 | 5HPFFHQH设为线段的中点，则，21.F HPF且有由勾股定理知，22222 22121| -|QFQHF HFFFH4222221)5(2 )2 ,5,7ccca即（解得2 6,bT因此椭圆的短轴与长轴的比值为2 6.7b a9、 （2016 一试 7）双曲线 C 的方程为，左、右焦点分别为、，过点作直线与双曲线132 2yx1F2F2FC 的右半支交于点 P，Q，使得=90，则的内切圆半径是 .PQF1PQF1【答案】17 【解析】10、 （2017 一试 3）在平面直角坐标系中，椭圆的方程为，为的上焦点，为xoyC22 1910xyFCA5的右顶点，是上位于第一象限

7、内的动点，则四边形的面积的最大值为.CPCOAPF【答案】3 11 2【解析】易知(3,0),F(0,1).P3cos , 10sin ),0,2A 设的坐标是（则1133 11310sin1 3cos( 10cossin )sin().2222 103 11=arctan.arctan 10.102OAPFOAFOFPSSSOAPF 其中当时，四边形面积的最大值为11、 （2009 一试 9）设直线（其中，为整数）与椭圆交于不同两点，与: l ykxmkm22 11612xyAB双曲线交于不同两点，问是否存在直线 ，使得向量，若存在，指出这样的22 1412xyCDl0ACBD 直线有多少条

8、？若不存在，请说明理由【解析】由消去化简整理得22 11612ykxmxyy2223484480kxkmxm设，则11A xy，22B xy，1228 34kmxxk 222 184 344480kmkm 由消去化简整理得22 1412ykxmxyy22232120kxkmxm设，则34C xy，44D xy，3422 3kmxxk222 224 3120kmkm 因为，所以，此时0ACBD 42310xxxx42310yyyy由得1234xxxx2282 343kmkm kk所以或由上式解得或当时，由和得因20km 2241 343kk0k 0m 0k 2 32 3m是整数，所以的值为， ，

9、 当，由和得因是整mm32101230m 33kk数，所以， 于是满足条件的直线共有 9 条 1k 01612、 （2010 一试 10）已知抛物线上的两个动点，其中且.线xy621122( ,)(,)A x yB xy和21xx 421 xx段的垂直平分线与轴交于点，求面积的最大值. ABxCABC【解析】解法一：设线段的中点为，则 ，AB),(00yxM2, 2221 021 0yyyxxx.0122 12 21212123666yyyyyyy xxyykAB 线段的垂直平分线的方程是. （1）AB)2(30 0xyyy依题意，是方程（3）的两个实根，且，所以,21, yy21yy 222

10、 00044(212)4480yyy .32320y2 212 21)()(yyxxAB2 2120)()3(1 (yyy4)(91 (212 212 0yyyyyC(5,0)BAxyO7)122(44)(91 (2 02 02 0yyy.)12)(9(322 02 0yy定点到线段的距离. )0 , 5(CAB2 02 029)0()25(yyCMh2 02 02 09)12)(9(31 21yyyhABSABC)9)(224)(9(21 312 02 02 0yyy. 32 02 02 0)392249(21 31yyy7314当且仅当，即,或2 02 02249yy05y 635635(

11、, 57), (, 57)33AB时等号成立. 635635(, ( 57), (,57)33AB所以，面积的最大值为. ABC73142 22 2122 112)656665(21(ttttttSABC,2 212 21)5()(23tttt)5)(5)(24(23212121tttttt3)314(23所以, 当且仅当且，即7314ABCS5)(212 21tttt42 22 1tt,或,6571t6572t635635(, 57), (, 57)33AB时等号成立.所以，面积的最大值是. 635635(, ( 57), (,57)33ABABC731413、 （2011 一试 11）作斜

12、率为的直线 与椭圆：交于两点（如图所示） ，且31lC143622 yxBA,在直线 的左上方)2,23(Pl8（1）证明：的内切圆的圆心在一条定直线上；（2）若，求的面积PAB60APBPAB【解析】 （1）设直线 ：，lmxy31),(),(2211yxByxA将代入中，化简整理得mxy31143622 yx03696222mmxx上式中，分子)23)(231()23)(231(1221xmxxmx)2(26)(22(322121mxxmxx)2(26)3)(22(2369 322 mmmm，0122626312322mmmm从而，0PBPAkk又在直线 的左上方，因此，的角平分线是平行于

13、轴的直线，所以的内切圆的圆心在直PlAPByPAB线上 23x（2）若时，结合（1）的结论可知60APB3,3PBPAkk直线的方程为：，代入中，消去得PA)23(32xy143622 yxy0)3313(18)331 (69142xx它的两根分别是和，所以，即所以1x2314)3313(18231x14)3313(231x7) 133(23|23|)3(1|12xPAyxOPAB9同理可求得 7) 133(23|PB1| | sin602 1 3 2(3 31) 3 2(3 31)3117 3.277249PABSPAPB所以14、 （2012一试11）如图5，在平面直角坐标系中，菱形的边长

14、为，且XOYABCD46OBOD（）求证：为定值；（）当点A在半圆（）上运动时，求点| |OAOC22(2)4xy24x的轨迹C(2)设其中则.( , ),(22cos,2sin),C x yA(),22XMA 2XOC因为所以2222(22cos)(2sin)8(1cos)16cos,2OA4cos2OA由(1)的结论得所以从而cos5,2OCcos5.2xOCsin5tan 5,5.22yOC 故点的轨迹是一条线段,其两个端点的坐标分别为学科/网C(5,5),(5, 5)AB15、 （2013 一试 11） （本题满分 20 分）在平面直角坐标系中，椭圆的方程为，xOy222210xyab

15、ab分别为椭圆的左、右顶点，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上不同于和的任意一点.若12AA、12FF、P1A2A10平面中两个点满足，,，试确定线段的长度与的大小QR、11QAPA22QAPA11RFPF22RFPFQRb关系，并给出证明.【解析】令，则，.22cab1,0Aa2,0Aa1,0Fc2,0Fc设，其中，.00,P xy11,Q x y22,R xy22 00 221xy ab00y 由，可知11QAPA22QAPA，1110100AQ APxaxay y 12210100A Q A Pxaxay y 2根据,，同理可得.11RFPF22RFPF22 0 0 0,xcRxy因此，2

16、2222 00000xaxcbQRyyy由于，故（其中等号成立的充分必要条件是，即点为）.00,ybQRb0ybP0, b16、 （2014 一试 9） （本题满分 16 分）平面直角坐标系中，是不在轴上一个动点，满足条件：过xOyPx可作抛物线的两条切线，两切点连线与垂直.设直线与，轴的交点分别为，Pxy42PlPOPlPOxRQ,（1）证明：是一个顶点.R（2）求的最小值.| QRPQ【解析】(1)设 P 点的坐标为(a,b),易知,记两切点的坐标为则(0)b 0a AB，1122,),),x yxy（的方程分别为PAPB，11222()12()2yyxxyyxx（）（）而点 P 的坐标为

17、(a,b)同时满足（1） （2） ，11故 A，B 的坐标均满足方程，故（3）就是直线 AB 的方程.by=2(x+a) (3)直线 PO 与 AB 的斜率分别为22=-1,a=-2bbPOABaba bA与，由知，故从而（3）即为故 AB 与 x 轴的交点 R 是定点（2,0）.2y=(2),xb(2)因为 a=-2，故直线 PO 的斜率12.24bbPRk k，直线的斜率设则为锐角，且=OPR，22 12121 ()()1|182 824| |2 2|tan2|2| 24bb k kPQbb bbQRkkbb |2 22 2.|PQbQR 当时，的最小值为17、 （2015 一试 11）(

18、本题满分 20 分)在平面直角坐标系中,分别是椭圆的左,右焦点,xOy12,F F2 212xy设不经过焦点的直线 与椭圆交于两个不同的点,焦点到直线 的距离为.如果直线1FlC,A B2Fld的斜率成等差数列,求的取值范围.11, ,AF l BFd由于点 A、B 不重合，且直线 l 的斜率存在，故是方程（1）的两个不同实根，因此有（1）的判别式12,x x22222=4)4(21)(22)8(21)0kmkmkm （，即2221.(2)km 由直线的斜率依次成等差数列，11AFlBF、121211yykxx、所以12 1122 12+2 ,11yykykxm ykxmxx又，1212211

19、2)(1)(1)2 (1)(1).kxm xkxm xk xx（化简并整理得12)(2)0mkxx（假如，则直线 L 的方程为 y=kx+k,即 l 经过点，不符合条件.mk11,0F （-）因此必有故由方程（1）及韦达定理知，122=0xx，12241()2,.(3)212kmxxmkkk 即由化简得，这等价于22212321=2kmkk （）、（）知，（）2 21 4kk2| |.2k 反之当 m,k 满足（3 及）时，l 必不经过点（否则将导致与（3）矛盾） ，2|2k 1F,mk注意到，令，则上式可改写为2|2k ，211tk(1, 3),t21313()().(4)222ttttd=

20、考虑到函数在上单调递减，故由（4）得即13( )()2f ttt1, 3( 3)(1),fdf( 3,2)d 18、 （2016 一试 11） （本题满分 20 分）如图所示，在平面直角坐标系中，F 是轴正半轴上的一个动xOyx点.以 F 为焦点，O 为顶点作抛物线 C.设 P 是第一象限内 C 上的一点，Q 是轴负半轴上一点，使得 PQx为 C 的切线，且PQ=2.圆均与直线 OP 相切于点 P，且均与轴相切.求点 F 的坐标，使圆与21,CC1C的面积之和取到最小值.2C【解析】13设抛物线 C 的方程是，点 Q 的坐标为，并设的圆心分别为)0(22ppxy)0)(0 ,(aa21,CC.

21、),(),(222111yxOyxO设直线 PQ 的方程为，将其与 C 的方程联立，消去可知.)0(mamyxx0222papmyy因为 PQ 与 C 相切于点 P，所以上述方程的判别式为，解得.进而可024422pamppam2知，点 P 的坐标为.于是)2,(),(paayxPP.)2(2221|0|1|2apapapaymPQP由PQ=2 可得4242paa结合，就有22 21342apaayy由共线，可得21,OPO.2121212121 22 yy NOMO POPO yyyyypapayPP化简得212122yypayy令，则圆的面积之和为.根据题意，仅需考虑 T 取到最小值的情况.2 22 1yyT21,CCT14根据、可知，212 22 1212 212242)(yyyypayyyyT.学科*网222 222 21)2)(34()34(2)34(444 aaaaaa作代换，由于，所以.于是21at024442paat0t.4324132413) 1)(13(tttttttT上式等号成立当且仅当，此时，因此结合得，33t3111ta3313333111 22 tt aap从而 F 的坐标为.)0 ,331()0 ,2( p