数学广角——鸡兔同笼(四3班黄）（例1）.ppt

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1、 黄才群 2015年6月 大约一千五百年前，我国古代数学名著大约一千五百年前，我国古代数学名著孙子算经孙子算经中记载了一道数学趣题中记载了一道数学趣题“鸡兔同笼鸡兔同笼”问题。问题。今有雉兔同笼，上有三十五头，今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？下有九十四足，问雉兔各几何？笼子里有鸡和兔。笼子里有鸡和兔。从上面数，有从上面数，有35个头，个头，从下面数，有从下面数，有94只脚。只脚。鸡和兔各有几只？鸡和兔各有几只？你能说一说这道题的意思是什么。你能说一说这道题的意思是什么。思考思考1: 如果是如果是8只兔，就有只兔，就有 只脚。只脚。32 笼子里有若干只鸡和兔。从上面数，有

2、笼子里有若干只鸡和兔。从上面数，有8个个头，从下面数，有头，从下面数，有26只脚。鸡和兔各几只？只脚。鸡和兔各几只？ 笼子里有若干只鸡和兔。从上面数，有笼子里有若干只鸡和兔。从上面数，有8个个头，从下面数，有头，从下面数，有26只脚。鸡和兔各几只？只脚。鸡和兔各几只？思考思考2：如果是：如果是8只鸡，就有只鸡，就有 只脚。只脚。16 通过填表，你发现了什么？通过填表，你发现了什么？ 每多一只鸡，就少两只脚；每多一只鸡，就少两只脚； 每多一只兔，就多两只脚。每多一只兔，就多两只脚。 所以有所以有3只鸡，只鸡，5只兔。只兔。思考思考3：分组尝试填表。：分组尝试填表。 笼子里有若干只鸡和兔。从上面数

3、，有笼子里有若干只鸡和兔。从上面数，有8个个头，从下面数，有头，从下面数，有26只脚。鸡和兔各几只？只脚。鸡和兔各几只？鸡鸡80兔兔08脚脚16327654321123456718202224262830假设假设1. 如果笼子里都是鸡。如果笼子里都是鸡。（5）853（只）（只） 列综合式列综合式: :（26-826-82 2）（4-24-2）（求出兔）（求出兔） 笼子里有若干只鸡和兔。从上面数，有笼子里有若干只鸡和兔。从上面数，有8个头，从个头，从下面数，有下面数，有26只脚。鸡和兔各几只？只脚。鸡和兔各几只？（1 1）8 82 21616（只）（只）（2 2）262616161010（只）（

4、只）（3 3）4-2=24-2=2（只）（只）（4 4）10102 25 5（只）（只） 笼子里有若干只鸡和兔。从上面数，有笼子里有若干只鸡和兔。从上面数，有8个头，从个头，从下面数，有下面数，有26只脚。鸡和兔各几只？只脚。鸡和兔各几只？（5）853只只（1 1） 26268 8 1818只只（2 2）18188 81010只只（3 3）4-2=24-2=2只只（4 4）10102 25 5只只 列综合式：（列综合式：（2626-8-8-8-8）（4-24-2）假设假设2. 如果笼子里都是兔。如果笼子里都是兔。（1）如果笼子里都是兔，就有）如果笼子里都是兔，就有 8432只脚，比题目中只脚，

5、比题目中 多多32266只脚。只脚。（2）那么需要用鸡换兔，一只鸡比一只兔少）那么需要用鸡换兔，一只鸡比一只兔少4-2=2只脚，有只脚，有 623只鸡。只鸡。（3）所以有）所以有835只兔。只兔。（4 4）列综合式：（）列综合式：（8 84-264-26）（4-24-2） 笼子里有若干只鸡和兔。从上面数，有笼子里有若干只鸡和兔。从上面数，有8个个头，从下面数，有头，从下面数，有26只脚。鸡和兔各几只？只脚。鸡和兔各几只？ 8 83 35 5只只问题：（问题：（1）这道题是）这道题是“鸡兔同笼鸡兔同笼”这一类的问题吗？这一类的问题吗？ （2）解决这个问题，你喜欢用哪种方法呢？）解决这个问题，你喜

6、欢用哪种方法呢？1. 有龟和鹤共有龟和鹤共40只，龟的腿和鹤的腿共有只，龟的腿和鹤的腿共有112条。龟、鹤各有几只？条。龟、鹤各有几只？日本的日本的“龟鹤算龟鹤算”问题就是从我国的问题就是从我国的“鸡兔同笼鸡兔同笼”问题问题演变来的。演变来的。假设：（假设：（1）如果如果都是鹤。都是鹤。 如果都是鹤，就有如果都是鹤，就有 40280条腿，比题目中少条腿，比题目中少 1128032条腿。条腿。 那么需要用龟换鹤，换上一只龟，腿的总数就多那么需要用龟换鹤，换上一只龟，腿的总数就多 2条，有条，有32216只龟。只龟。 所以有所以有401624只鹤。只鹤。综合式：（综合式：（112 - 402）（4

7、-2）（求的是龟）（求的是龟） 40 - 16=24（只）（只） （求的是鹤）（求的是鹤）1. 有龟和鹤共有龟和鹤共40只，龟的腿和鹤的腿共有只，龟的腿和鹤的腿共有112条。龟、鹤各有几只？条。龟、鹤各有几只？日本的日本的“龟鹤算龟鹤算”问题就是从我国的问题就是从我国的“鸡兔同笼鸡兔同笼”问题问题演变来的。演变来的。 如果都是龟，就有如果都是龟，就有404160条腿，比题目中多条腿，比题目中多 16011248条腿。条腿。 那么需要用鹤换龟，换上一只鹤，腿的总数就少那么需要用鹤换龟，换上一只鹤，腿的总数就少 2条，有条，有48224只鹤。只鹤。 所以有所以有402416只龟。只龟。 综合式：（

8、综合式：（404 - 112）（4-2）（求出鹤）（求出鹤） 402416(只只) （求出龟）（求出龟） 假设：（假设：（2）如果如果都是龟。都是龟。1. 有龟和鹤共有龟和鹤共40只，龟的腿和鹤的腿共有只，龟的腿和鹤的腿共有112条。龟、鹤各有几只？条。龟、鹤各有几只？日本的日本的“龟鹤算龟鹤算”问题就是从我国的问题就是从我国的“鸡兔同笼鸡兔同笼”问题问题演变来的。演变来的。问题：（问题：（1）这道题是）这道题是“鸡兔同笼鸡兔同笼”这一类的问题吗？这一类的问题吗？ （2）题目中哪个数量相当于）题目中哪个数量相当于“头数头数”？哪个数量相当于？哪个数量相当于 “脚数脚数” ？ 2. 新星小学新星

9、小学“环保卫士环保卫士”小分队小分队12人参加植树活动。男生每人人参加植树活动。男生每人 栽了栽了3棵树，女生每人栽了棵树，女生每人栽了2棵树，一共栽了棵树，一共栽了32棵树。男、女棵树。男、女 生各有几人？生各有几人？预设：（预设：（1）如果都是男生栽树。）如果都是男生栽树。 如果都是男生栽树，就栽了如果都是男生栽树，就栽了12336棵树，比题目棵树，比题目 中多中多36324棵树。棵树。 那么需要用女生换男生，一名女生比一名男生少栽那么需要用女生换男生，一名女生比一名男生少栽 3-2= 1棵树，有棵树，有414名女生。名女生。 所以有所以有1248名男生。名男生。2. 新星小学新星小学“环

10、保卫士环保卫士”小分队小分队12人参加植树活动。男生每人人参加植树活动。男生每人 栽了栽了3棵树，女生每人栽了棵树，女生每人栽了2棵树，一共栽了棵树，一共栽了32棵树。男、女棵树。男、女 生各有几人？生各有几人？综合式：（综合式：（36 - 1236 - 123 3）（3-23-2）（求的是女生）（求的是女生）12-4=8 12-4=8 （人）（人） （求的是男生）（求的是男生）预设：（预设：（2）如果都是女生栽树。）如果都是女生栽树。 如果都是女生栽树，就栽了如果都是女生栽树，就栽了12224棵树，比题目棵树，比题目 中少中少32248棵树。棵树。 那么需要用男生换女生，一名男生比一名女生多

11、栽那么需要用男生换女生，一名男生比一名女生多栽 1棵树，有棵树，有818名男生。名男生。 所以有所以有1284名女生。名女生。2. 新星小学新星小学“环保卫士环保卫士”小分队小分队12人参加植树活动。男生每人人参加植树活动。男生每人 栽了栽了3棵树，女生每人栽了棵树，女生每人栽了2棵树，一共栽了棵树，一共栽了32棵树。男、女棵树。男、女 生各有几人？生各有几人？ 假如每人都少栽两棵树，则一共少栽假如每人都少栽两棵树，则一共少栽12224棵树。棵树。 这时，这时，女女生生没栽树没栽树 ，男，男生生每人栽每人栽1棵树，剩下棵树，剩下3224 8棵树，这就是男棵树，这就是男生生的人数。的人数。 那么

12、有那么有1284名女名女生生。预设：（预设：（3）假如男、女）假如男、女生生每人都少栽两棵树。每人都少栽两棵树。2. 新星小学新星小学“环保卫士环保卫士”小分队小分队12人参加植树活动。男生每人人参加植树活动。男生每人 栽了栽了3棵树，女生每人栽了棵树，女生每人栽了2棵树，一共栽了棵树，一共栽了32棵树。男、女棵树。男、女 生各有几人？生各有几人？ 大约一千五百年前，我国古代数学名著大约一千五百年前，我国古代数学名著孙子算经孙子算经中记载了一道数学趣题中记载了一道数学趣题“鸡兔同笼鸡兔同笼”问题。问题。今有雉兔同笼，上有三十五头，今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？下有九十

13、四足，问雉兔各几何？笼子里有鸡和兔。笼子里有鸡和兔。从上面数，有从上面数，有35个头，个头，从下面数，有从下面数，有94只脚。只脚。鸡和兔各有几只？鸡和兔各有几只？你能说一说这道题的意思是什么。你能说一说这道题的意思是什么。 红铅笔每支红铅笔每支2 2元，蓝铅笔每支元，蓝铅笔每支1 1元，两种铅笔共买了元，两种铅笔共买了1616支，支，花了花了2929元。问红、蓝铅笔各买了几支？元。问红、蓝铅笔各买了几支？（1）假如让鸡抬起一只脚，兔子抬起两只脚，相当于脚数）假如让鸡抬起一只脚，兔子抬起两只脚，相当于脚数 去掉了一半，还有去掉了一半，还有 94247只脚。只脚。（2）这时，每只鸡一只脚，每只兔

14、子两只脚。笼子里只要这时，每只鸡一只脚，每只兔子两只脚。笼子里只要 有一只兔子，则脚的总数就比头的总数多有一只兔子，则脚的总数就比头的总数多1。（3）这时脚的总数与头的总数之差）这时脚的总数与头的总数之差 473512，就是兔子，就是兔子 的只数。的只数。 笼子里有若干只鸡和兔。从上面数，有笼子里有若干只鸡和兔。从上面数，有35个头，从下面数，个头，从下面数，有有94只脚。鸡和兔各有几只？只脚。鸡和兔各有几只？古人的算法是让头的数量和脚的数量对应起来进行思考。古人的算法是让头的数量和脚的数量对应起来进行思考。（一）介绍（一）介绍孙子算经孙子算经中的算法中的算法（ ）（ ）（ ）（ ）古人的算法

15、可以用下图表示：古人的算法可以用下图表示：头头 35 35 35 23 鸡鸡脚脚 94 47 12 12 兔兔下减上下减上脚减半脚减半 上减下上减下 笼子里有若干只鸡和兔。从上面数，有笼子里有若干只鸡和兔。从上面数，有35个头，从下面数，个头，从下面数，有有94只脚。鸡和兔各有几只？只脚。鸡和兔各有几只？（二）受（二）受孙子算经孙子算经中的算法的启发，关于中的算法的启发，关于 例例1，你能想到什么方法呢？，你能想到什么方法呢？预设预设1：（1）每只动物都抬起两只脚，一共抬起每只动物都抬起两只脚，一共抬起8216只脚。只脚。（2）那么，）那么，261610只脚，全是兔子的。只脚，全是兔子的。（3

16、）所以有）所以有 1025只兔，有只兔，有 853只鸡。只鸡。预设预设2：（1）把鸡翅膀也看成两只脚，那么每只动物就都有）把鸡翅膀也看成两只脚，那么每只动物就都有4只脚。只脚。 共有共有8432只脚。只脚。（2）那么就多出来）那么就多出来32266只脚，多出来的是鸡的脚。只脚，多出来的是鸡的脚。（3）所以有）所以有623只鸡，有只鸡，有835只兔。只兔。预设预设3：（1）让兔子有两个头，那么一个头就对应两只脚，共有）让兔子有两个头，那么一个头就对应两只脚，共有 26213个头。个头。（2）那么就多出来）那么就多出来1385个头，也就是兔子的数量。个头，也就是兔子的数量。（3）所以有）所以有853只鸡。只鸡。问题：你能试着解决前面问题：你能试着解决前面孙子算经孙子算经中的问题吗？中的问题吗？（二）受（二）受孙子算经孙子算经中的算法的启发，关于中的算法的启发，关于 例例1，你能想到什么方法呢？，你能想到什么方法呢？第第106页练习二十四，第页练习二十四，第1题。题。