2022年中考数学考点总动员第26讲图形的对称含解析.doc

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1、第26讲图形的对称1轴对称与轴对称图形 (1)把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与原图形重合，那么就说这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点 (2)如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形 ，这条直线就是它的对称轴 注意：轴对称图形是一个图形，轴对称是针对两个图形；轴对称图形的对称轴可能不止一条，轴对称的两个图形只有一条对称轴2图形轴对称的性质 (1)轴对称性质：成轴对称的两个图形全等，对应边和对应角分别相等；如果两个图形关于某条对称轴对称，那么对称轴是任意一对对应点所连线段的垂直平分线； (2)轴对称图形的性质：轴对称图形

2、的对称轴是任意一对对应点所连线段的垂直平分线，对应线段，对应角相等 (3)常见轴对称图形 线段、角、等腰三角形、等边三角形、矩形、菱形、正方形、正多边形、圆等3中心对称 (1)定义：把一个图形绕着某一个点旋转180，如果它能够与原图形重合，那么就说这两个图形关于这个点成中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于对称中心的对称点；(2)性质：关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心平分；成中心对称的两个图形全等4中心对称图形 (1)定义：把一个图形绕着某一个点旋转180，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做对称中心，这个点就是它的中心

3、对称图形；(2)常见的中心对称图形：平行四边形、矩形、菱形、正方形、边数为偶数的正多边形、圆等5中心对称与轴对称的区别与联系 区别：中心对称有一个对称中心点，图形绕一点旋转180，旋转后与另一个图形重合；轴对称有一条对称轴直线，图形沿直线翻折，翻折后与另一个图形重合 联系：如果一个轴对称图形有两条互相垂直的对称轴，那么它必是中心对称图形，这两条对称轴的交点就是它的对称中心，但中心对称图形不一定是轴对称图形 6图形的折叠 (1)折叠部分的图形折叠前后，关于折痕成轴对称，且两图形全等； (2)折叠前后对应点的连线段被折痕垂直平分考点1： 图形的对称【例题1】（2018苏州）下列四个图案中，不是轴对

4、称图案的是（）ABCD【答案】B【分析】根据轴对称的概念对各选项分析判断利用排除法求解【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项错误；B、不是轴对称图形，故本选项正确；C、是轴对称图形，故本选项错误；D、是轴对称图形，故本选项错误故选：B归纳：判断一个图形是否为轴对称图形的方法是：能否找到一条直线，使图形沿着这条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合考点2：轴对称与中心对称的应用【例题2】（2019广西北部湾8分）如图，在平面直角坐标系中，已知ABC的三个顶点坐标分别是A（2，1）、B（1，2）、C（3，3）.（1）将ABC向上平移4个单位长度得到A1B1C1，请画出A1B1C1;（2）请画出ABC关

5、于y轴对称的A2B2C2;（3）请写出A1、A2的坐标.【答案】解：（1）如图所示：A1B1C1，即为所求；（2）如图所示：A2B2C2，即为所求；（3）A1（2，3），A2（-2，-1）【解析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；（2）直接利用轴对称的性质得出对应点位置进而得出答案；（3）利用所画图象得出对应点坐标此题主要考查了轴对称变换以及平移变换，正确得出对应点位置是解题关键归纳：1边数为奇数的正多边形是轴对称图形，不是中心对称图形；边数为偶数的正多边形既是中心对称图形，又是轴对称图形2两个正多边形的组合图形，边数都是奇数或一个是偶数，一个为奇数，可能是轴对称图形，但一定

6、不是中心对称图形考点3： 图形的折叠问题研究【例题3】如图所示，直线l1与两坐标轴的交点坐标分别是A(3，0)，B(0，4)，O是平面直角坐标系原点(1)求直线l1的函数解析式；(2)若将AO沿直线AC折叠，使点O落在斜边AB上，且与AD重合求点C的坐标； 求直线AC，直线l1和y轴所围图形的面积【解析】：(1)设直线l1的函数解析式为ykxb.A(3，0)，B(0，4)在直线l1上，解得直线l1的函数解析式为yx4.(2)A(3，0)，B(0，4)，OA3，OB4.AOB90，AB5.由折叠性质可得，ADAO3，CDCO，ADCAOC90.设OCx，则CDx，BC4x.ADC90，BDC90

7、.在RtBDC中，BDABAD532，CDx，BC4x，22x2(4x)2，解得x.C(0，)由图可知，直线AC，直线l1和y轴所围图形是ABC，SABCBCOA(4)3，直线AC，直线l1和y轴所围图形的面积为.归纳：1对折实际上就是轴对称2解决剪纸问题的实质是按折叠的顺序反向作轴对称图形即可3还可以通过实际操作进行验证一、选择题：1. （2018天津）如图，将一个三角形纸片ABC沿过点B的直线折叠，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，则下列结论一定正确的是（）AAD=BDBAE=ACCED+EB=DBDAE+CB=AB【答案】D【解答】解：BDE由BDC翻折而成，BE=BCAE+BE=

8、AB，AE+CB=AB，故D正确，故选：D2. 如图，ABC与ABC关于直线MN对称，P为MN上任一点（P不与AA共线），下列结论中错误的是（）AAAP是等腰三角形BMN垂直平分AA，CCCABC与ABC面积相等D直线AB、AB的交点不一定在MN上【答案】D【解答】解：ABC与ABC关于直线MN对称，P为MN上任意一点，AAP是等腰三角形，MN垂直平分AA，CC，这两个三角形的面积相等，A、B、C选项正确；直线AB，AB关于直线MN对称，因此交点一定在MN上D错误；故选：D3. （2018新疆）如图，点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上的一个动点，点M，N分别是AB，BC边上的中点，则MP

9、+PN的最小值是（）AB1CD2【答案】B【解答】解：如图，作点M关于AC的对称点M，连接MN交AC于P，此时MP+NP有最小值，最小值为MN的长菱形ABCD关于AC对称，M是AB边上的中点，M是AD的中点，又N是BC边上的中点，AMBN，AM=BN，四边形ABNM是平行四边形，MN=AB=1，MP+NP=MN=1，即MP+NP的最小值为1，故选：B4. （2018年四川省内江市）如图，在平面直角坐标系中，ABC的顶点A在第一象限，点B，C的坐标分别为（2，1），（6，1），BAC=90，AB=AC，直线AB交y轴于点P，若ABC与ABC关于点P成中心对称，则点A的坐标为（）A（4，5）B（5

10、，4）C（3，4）D（4，3）【答案】A【解答】解：点B，C的坐标分别为（2，1），（6，1），BAC=90，AB=AC，ABC是等腰直角三角形，A（4，3），设直线AB解析式为y=kx+b，则，解得，直线AB解析式为y=x1，令x=0，则y=1，P（0，1），又点A与点A关于点P成中心对称，点P为AA的中点，设A（m，n），则=0， =1，m=4，n=5，A（4，5），故选：A5. （2019浙江丽水3分）将一张正方形纸片按如图步骤，通过折叠得到图，再沿虚线剪去一个角，展开铺平后得到图，其中FM，GN是折痕若正方形EFGH与五边形MCNGF的面积相等，则的值是（）AB1CD【答案】A【解答】

11、解：连接HF，设直线MH与AD边的交点为P，如图：由折叠可知点P、H、F、M四点共线，且PHMF，设正方形ABCD的边长为2a，则正方形ABCD的面积为4a2，若正方形EFGH与五边形MCNGF的面积相等由折叠可知正方形EFGH的面积正方形ABCD的面积，正方形EFGH的边长GFHFGFMFPHa故选：A二、填空题：6. （2019山东省滨州市 13分）如图，矩形ABCD中，点E在边CD上，将BCE沿BE折叠，点C落在AD边上的点F处，过点F作FGCD交BE于点G，连接CG若AB6，AD10，则四边形CEFG的面积是 .【答案】【解答】矩形ABCD中，AB6，AD10，BCBF，BAF90，A

12、DBCBF10，AF8，DF2，设EFx，则CEx，DE6x，FDE90，22+（6x）2x2，解得，x，CE，四边形CEFG的面积是：CEDF27. （2018武汉）如图，在O中，点C在优弧上，将弧沿BC折叠后刚好经过AB的中点D若O的半径为，AB=4，则BC的长是 .【答案】3【解答】解：连接OD、AC、DC、OB、OC，作CEAB于E，OFCE于F，如图，D为AB的中点，ODAB，AD=BD=AB=2，在RtOBD中，OD=1，将弧沿BC折叠后刚好经过AB的中点D弧AC和弧CD所在的圆为等圆，=，AC=DC，AE=DE=1，易得四边形ODEF为正方形，OF=EF=1，在RtOCF中，CF

13、=2，CE=CF+EF=2+1=3，而BE=BD+DE=2+1=3，BC=38. （2018湖北十堰3分）如图，RtABC中，BAC=90，AB=3，AC=6，点D，E分别是边BC，AC上的动点，则DA+DE的最小值为【答案】【解答】解：作A关于BC的对称点A，连接AA，交BC于F，过A作AEAC于E，交BC于D，则AD=AD，此时AD+DE的值最小，就是AE的长；RtABC中，BAC=90，AB=3，AC=6，BC=9，SABC=ABAC=BCAF，3=9AF，AF=2，AA=2AF=4，AFD=DEC=90，ADF=CDE，A=C，AEA=BAC=90，AEABAC，AE=，即AD+DE的

14、最小值是；故答案为：9. （2018乌鲁木齐）如图，在RtABC中，C=90，BC=2，AC=2，点D是BC的中点，点E是边AB上一动点，沿DE所在直线把BDE翻折到BDE的位置，BD交AB于点F若ABF为直角三角形，则AE的长为 【答案】3或【解答】解：C=90，BC=2，AC=2，tanB=，B=30，AB=2AC=4，点D是BC的中点，沿DE所在直线把BDE翻折到BDE的位置，BD交AB于点FDB=DC=，EB=EB，DBE=B=30，设AE=x，则BE=4x，EB=4x，当AFB=90时，在RtBDF中，cosB=，BF=cos30=，EF=（4x）=x，在RtBEF中，EBF=30，

15、EB=2EF，即4x=2（x），解得x=3，此时AE为3；当FBA=90时，作EHAB于H，连接AD，如图，DC=DB，AD=AD，RtADBRtADC，AB=AC=2，ABE=ABF+EBF=90+30=120，EBH=60，在RtEHB中，BH=BE=（4x），EH=BH=（4x），在RtAEH中，EH2+AH2=AE2，（4x）2+（4x）+22=x2，解得x=，此时AE为综上所述，AE的长为3或故答案为3或三、解答题：10. （2018湖北荆州8分）如图，对折矩形纸片ABCD，使AB与DC重合，得到折痕MN，将纸片展平；再一次折叠，使点D落到MN上的点F处，折痕AP交MN于E；延长PF

16、交AB于G求证：（1）AFGAFP；（2）APG为等边三角形【解答】证明：（1）由折叠可得：M、N分别为AD.BC的中点，DCMNAB，F为PG的中点，即PF=GF，由折叠可得：PFA=D=90，1=2，在AFP和AFG中，AFPAFG（SAS）；（2）AFPAFG，AP=AG，AFPG，2=3，1=2，1=2=3=30，2+3=60，即PAG=60，APG为等边三角形11. 如图，在RtABC中，ACB=90，BAC=30，E为AB边的中点，以BE为边作等边BDE，连接AD，CD（1）求证：ADECDB；（2）若BC=，在AC边上找一点H，使得BH+EH最小，并求出这个最小值【分析】（1）只

17、要证明DEB是等边三角形，再根据SAS即可证明；（2）如图，作点E关于直线AC对称点E，连接BE交AC于点H则点H即为符合条件的点【解答】（1）证明：在RtABC中，BAC=30，E为AB边的中点，BC=EA，ABC=60DEB为等边三角形，DB=DE，DEB=DBE=60，DEA=120，DBC=120，DEA=DBCADECDB（2）解：如图，作点E关于直线AC对称点E，连接BE交AC于点H则点H即为符合条件的点由作图可知：EH=HE，AE=AE，EAC=BAC=30EAE=60，EAE为等边三角形，AEB=90，在RtABC中，BAC=30，BH+EH的最小值为312. 实验探究：(1)

18、如图1，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展开；再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN，MN.请你观察图1，猜想MBN的度数是多少，并证明你的结论；(2)将图1中的三角形纸片BMN剪下，如图2，折叠该纸片，探究MN与BM的数量关系，写出折叠方案，并结合方案证明你的结论 图1 图2【解析】：(1)猜想：MBN30.证明：连接AN.直线EF是AB的垂直平分线，NANB.由折叠可知，BNAB，ABBNAN.ABN是等边三角形ABN60.MBNABMABN30.(2)结论：MNBM.折纸方案：如图2，折叠BMN，使得点N落在BM上点

19、O处，折痕为MP，连接OP.证明：由折叠可知，MOPMNP，由(1)可知，MBN30，OMN60.MNOM，OMPNMPOMN30B，MOPMNP90.BOPMOP90.又OPOP，MOPBOP(AAS)MOBOBM.MNBM.13. 如图，在矩形ABCD中，AB6，BC8，点E是射线CB上的一个动点，把DCE沿DE折叠，点C的对应点为C.(1)若点C刚好落在对角线BD上时，BC4；(2)若点C刚好落在线段AB的垂直平分线上时，求CE的长；(3)若点C刚好落在线段AD的垂直平分线上时，直接写出CE的长【解析】：(2)如图，连接CC.点C在AB的垂直平分线上，点C在DC的垂直平分线上CCDCDC，DCC是等边三角形CDECDECDC30.DE2CE.设CEx，则DE2x，由勾股定理，得(2x)2x262.解得x2，即CE的长为2.(3)CE的长为93或93.13