2022届高考数学一轮复习精品学案第36讲空间向量及其应用.docx

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1、2022年普通高考数学科一轮复习精品学案第36讲空间向量及其应用一课标要求：1空间向量及其运算 经历向量及其运算由平面向空间推广的过程； 了解空间向量的概念，了解空间向量的根本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示； 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示； 掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。2空间向量的应用 理解直线的方向向量与平面的法向量； 能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系； 能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理包括三垂线定理； 能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用。二命题

2、走向本讲内容主要涉及空间向量的坐标及运算、空间向量的应用。本讲是立体几何的核心内容，高考对本讲的考察形式为：以客观题形式考察空间向量的概念和运算，结合主观题借助空间向量求夹角和距离。预测2022年高考对本讲内容的考查将侧重于向量的应用，尤其是求夹角、求距离，教材上淡化了利用空间关系找角、找距离这方面的讲解，加大了向量的应用，因此作为立体几何解答题，用向量法处理角和距离将是主要方法，在复习时应加大这方面的训练力度。三要点精讲1空间向量的概念向量：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。如位移、速度、力等。相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。表示方法：用有向线段表示，并且同向且等长的

3、有向线段表示同一向量或相等的向量。说明：由相等向量的概念可知，一个向量在空间平移到任何位置，仍与原来的向量相等，用同向且等长的有向线段表示；平面向量仅限于研究同一平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移。2向量运算和运算率加法交换率：加法结合率：数乘分配率：说明：引导学生利用右图验证加法交换率，然后推广到首尾相接的假设干向量之和；向量加法的平行四边形法那么在空间仍成立。3平行向量(共线向量)：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量。平行于记作。 注意：当我们说、共线时，对应的有向线段所在直线可能是同一直线，也可能是平行直线；当我们说、平行时，也

4、具有同样的意义。共线向量定理：对空间任意两个向量、，的充要条件是存在实数使注：上述定理包含两个方面：性质定理：假设0，那么有，其中是唯一确定的实数。判断定理：假设存在唯一实数，使0，那么有假设用此结论判断、所在直线平行，还需或上有一点不在或上。对于确定的和，表示空间与平行或共线，长度为 |，当0时与同向，当0时与反向的所有向量。假设直线l，P为l上任一点，O为空间任一点，下面根据上述定理来推导的表达式。推论：如果l为经过点A且平行于非零向量的直线，那么对任一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，满足等式 其中向量叫做直线l的方向向量。在l上取，那么式可化为 当时，点P是线段AB的中点，那

5、么 或叫做空间直线的向量参数表示式，是线段AB的中点公式。注意：表示式()、()既是表示式,的根底，也是常用的直线参数方程的表示形式；推论的用途：解决三点共线问题。结合三角形法那么记忆方程。共面向量：我们把平行于同一平面的向量叫做共面向量。共面向量定理 如果两个向量、不共线，那么向量与向量、共面的充要条件是存在实数对x、y，使注：与共线向量定理一样，此定理包含性质和判定两个方面。推论：空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对x、y，使或对空间任一定点O，有在平面MAB内，点P对应的实数对x, y是唯一的。式叫做平面MAB的向量表示式。又代入，整理得由于对于空间任意一点P，只要满足等

6、式、之一它们只是形式不同的同一等式，点P就在平面MAB内；对于平面MAB内的任意一点P，都满足等式、，所以等式、都是由不共线的两个向量、或不共线三点M、A、B确定的空间平面的向量参数方程，也是M、A、B、P四点共面的充要条件。5空间向量根本定理：如果三个向量、不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组x, y, z, 使说明：由上述定理知，如果三个向量、不共面，那么所有空间向量所组成的集合就是，这个集合可看作由向量、生成的，所以我们把，叫做空间的一个基底，都叫做基向量；空间任意三个不共面向量都可以作为空间向量的一个基底；一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是

7、相关联的不同的概念；由于可视为与任意非零向量共线。与任意两个非零向量共面，所以，三个向量不共面就隐含着它们都不是。推论：设O、A、B、C是不共面的四点，那么对空间任一点P，都存在唯一的有序实数组，使6数量积1夹角：两个非零向量、，在空间任取一点O，作，那么角AOB叫做向量与的夹角，记作ABO1OAB2ABO3说明：规定0,因而=；如果=，那么称与互相垂直，记作；ABO4在表示两个向量的夹角时，要使有向线段的起点重合，注意图3、4中的两个向量的夹角不同，图3中AOB=，图4中AOB=,从而有=.2向量的模：表示向量的有向线段的长度叫做向量的长度或模。3向量的数量积：叫做向量、的数量积，记作。AB

8、l即=，向量:4性质与运算率。 =0 = 四典例解析题型1：空间向量的概念及性质例1有以下命题：如果向量与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么的关系是不共线；为空间四点，且向量不构成空间的一个基底，那么点一定共面；向量是空间的一个基底，那么向量，也是空间的一个基底。其中正确的命题是 解析：对于“如果向量与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么的关系一定共线；所以错误。正确。例2以下命题正确的选项是 假设与共线，与共线，那么与共线；向量共面就是它们所在的直线共面；零向量没有确定的方向；假设，那么存在唯一的实数使得；解析：A中向量为零向量时要注意，B中向量的共线、共面与直线的共线、共面不一样

9、，D中需保证不为零向量。答案C。点评：零向量是一个特殊的向量，时刻想着零向量这一特殊情况对解决问题有很大用处。像零向量与任何向量共线等性质，要兼顾。题型2：空间向量的根本运算例3如图：在平行六面体中，为与的交点。假设，那么以下向量中与相等的向量是 解析：显然；答案为A。点评：类比平面向量表达平面位置关系过程，掌握好空间向量的用途。用向量的方法处理立体几何问题，使复杂的线面空间关系代数化，此题考查的是根本的向量相等，与向量的加法.考查学生的空间想象能力。例4：且不共面.假设,求的值.解：,且即又不共面,点评：空间向量在运算时，注意到如何实施空间向量共线定理。题型3：空间向量的坐标例51两个非零向

10、量=a1，a2，a3，=b1，b2，b3，它们平行的充要条件是A.：|=：|B.a1b1=a2b2=a3b3C.a1b1+a2b2+a3b3=0D.存在非零实数k，使=k2向量=2，4，x，=2，y，2，假设|=6，那么x+y的值是A. 3或1 B.3或1 C. 3 D.13以下各组向量共面的是A.=(1，2，3)，=(3，0，2)，=(4，2，5)B.=(1，0，0)，=(0，1，0)，=(0，0，1)C.=(1，1，0)，=(1，0，1)，=(0，1，1)D.=(1，1，1)，=(1，1，0)，=(1，0，1)解析：1D；点拨：由共线向量定线易知；2A点拨：由题知或；3A点拨：由共面向量根

11、本定理可得。点评：空间向量的坐标运算除了数量积外就是考察共线、垂直时参数的取值情况。例6空间三点A2，0，2，B1，1，2，C3，0，4。设=，=，1求和的夹角；2假设向量k+与k2互相垂直，求k的值.思维入门指导：此题考查向量夹角公式以及垂直条件的应用，套用公式即可得到所要求的结果.解：A(2，0，2)，B1，1，2，C(3，0，4)，=，=，=(1，1，0)，=1，0，2.(1)cos=，和的夹角为。(2)k+=k1，1，0+1，0，2k1，k，2，k2=k+2，k，4，且(k+)k2，k1，k，2k+2，k，4=(k1)(k+2)+k28=2k2+k10=0。那么k=或k=2。点拨：第2

12、问在解答时也可以按运算律做。+(k2)=k22k22=2k2+k10=0，解得k=，或k=2。题型4：数量积例7设、c是任意的非零平面向量,且相互不共线,那么= | 不与垂直3+232=9|24|2中，是真命题的有 A. B. C. D.答案：D解析：平面向量的数量积不满足结合律.故假；由向量的减法运算可知|、|、|恰为一个三角形的三条边长，由“两边之差小于第三边，故真；因为=0，所以垂直.故假；3+232=94=9|24|2成立.故真.点评：此题考查平面向量的数量积及运算律。例81向量和的夹角为120，且|=2，|=5，那么2=_.2设空间两个不同的单位向量=(x1，y1，0)，=(x2，y

13、2，0)与向量=(1，1，1)的夹角都等于。(1)求x1+y1和x1y1的值；(2)求的大小(其中0。解析：1答案：13；解析：2=22=2|2|cos120=2425=13。2解：(1)|=|=1，x+y=1，x=y=1.又与的夹角为，=|cos=.又=x1+y1，x1+y1=。另外x+y=(x1+y1)2-2x1y1=1，2x1y1=()21=.x1y1=。(2)cos=x1x2+y1y2，由(1)知，x1+y1=，x1y1=.x1，y1是方程x2x+=0的解.或同理可得或，或cos=+=+=.0，=。评述：此题考查向量数量积的运算法那么。题型5：空间向量的应用例91a、b、c为正数，且a

14、+b+c=1，求证：+4。2F1=i+2j+3k，F2=-2i+3j-k，F3=3i-4j+5k，假设F1，F2，F3共同作用于同一物体上，使物体从点M11，-2，1移到点M2(3，1，2)，求物体合力做的功。解析：1设=(，)，=(1，1，1)，那么|=4，|=.|，=+|=4.当=时，即a=b=c=时，取“=号。2解：W=Fs=(F1+F2+F3)=14。点评：假设=(x，y，z)，=(a，b，c)，那么由|，得(ax+by+cz)2(a2+b2+c2)(x2+y2+z2).此式又称为柯西不等式(n=3)。此题考查|的应用，解题时要先根据题设条件构造向量，然后结合数量积性质进行运算。空间向

15、量的数量积对应做功问题。例10如图,直三棱柱中,求证: 证明：同理又设为中点,那么又点评：从上述例子可以看出,利用空间向量来解决位置关系问题，要用到空间多边形法那么，向量的运算，数量积以及平行,相等和垂直的条件。五思维总结本讲内容主要有空间直角坐标系，空间向量的坐标表示，空间向量的坐标运算，平行向量，垂直向量坐标之间的关系以及中点公式.空间直角坐标系是选取空间任意一点O和一个单位正交基底i，j，k建立坐标系，对于O点的选取要既有作图的直观性，而且使各点的坐标，直线的坐标表示简化，要充分利用空间图形中已有的直线的关系和性质；空间向量的坐标运算同平面向量类似，具有类似的运算法那么.一个向量在不同空

16、间的表达方式不一样，实质没有改变.因而运算的方法和运算规律结论没变。如向量的数量积ab=|a|b|cos在二维、三维都是这样定义的，不同点仅是向量在不同空间具有不同表达形式.空间两向量平行时同平面两向量平行时表达式不一样，但实质是一致的，即对应坐标成比例，且比值为，对于中点公式要熟记。对本讲内容的考查主要分以下三类：1以选择、填空题型考查本章的根本概念和性质此类题一般难度不大，用以解决有关长度、夹角、垂直、判断多边形形状等问题。2向量在空间中的应用在空间坐标系下，通过向量的坐标的表示，运用计算的方法研究三维空间几何图形的性质。在复习过程中，抓住源于课本，高于课本的指导方针。本讲考题大多数是课本的变式题，即源于课本。因此，掌握双基、精通课本是本章关键。