2022年各地中考数学解析版试卷分类汇编圆的有关性质.docx

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1、圆的有关性质一、选择题1. (2022兰州，7,4分)如图，在O中，点 C 是 的中点，A50 ，那么BOC。 A40 B45 C50 D60【答案】A【解析】在OAB中，OAOB，所以AB50 。根据垂径定理的推论，OC 平分弦 AB所对的弧，所以 OC 垂直平分弦 AB，即BOC90 B40 ，所以答案选 A。【考点】垂径定理及其推论2. (2022兰州，10,4分)如图，四边形 ABCD 内接于 O, 四边形 ABCO 是 平行四边形，那么 ADC= A45 B) 50(C) 60 (D) 75【答案】：C【解析】：连接 OB,那么OABOBA, OCBOBC四边形 ABCO 是平行四边

2、形，那么OABOBCABCOABOBCAOCABCAOC120OABOCB60连接 OD，那么OADODC，OCDODC由四边形的内角和等于 360 可知，ADC360 OABABCOCBOADOCDADC60【考点】：圆内接四边形3. (2022四川自贡)如图，O中，弦AB与CD交于点M，A=45，AMD=75，那么B的度数是A15B25C30D75【考点】圆周角定理；三角形的外角性质【分析】由三角形外角定理求得C的度数，再由圆周角定理可求B的度数【解答】解：A=45，AMD=75，C=AMDA=7545=30，B=C=30，应选C【点评】此题主要考查了三角形的外角定理，圆周角定理，熟记圆周

3、角定理是解题的关键4. 2022四川成都3分如图，AB为O的直径，点C在O上，假设OCA=50，AB=4，那么的长为ABCD【考点】弧长的计算；圆周角定理【分析】直接利用等腰三角形的性质得出A的度数，再利用圆周角定理得出BOC的度数，再利用弧长公式求出答案【解答】解：OCA=50，OA=OC，A=50，BOC=100，AB=4，BO=2，的长为： =应选：B5. 2022四川达州3分如图，半径为3的A经过原点O和点C0，2，B是y轴左侧A优弧上一点，那么tanOBC为AB2CD【考点】圆周角定理；锐角三角函数的定义【分析】作直径CD，根据勾股定理求出OD，根据正切的定义求出tanCDO，根据圆

4、周角定理得到OBC=CDO，等量代换即可【解答】解：作直径CD，在RtOCD中，CD=6，OC=2，那么OD=4，tanCDO=，由圆周角定理得，OBC=CDO，那么tanOBC=，应选：C6. 2022四川广安3分如图，AB是圆O的直径，弦CDAB，BCD=30，CD=4，那么S阴影=A2BCD【考点】圆周角定理；垂径定理；扇形面积的计算【分析】根据垂径定理求得CE=ED=2，然后由圆周角定理知DOE=60，然后通过解直角三角形求得线段OD、OE的长度，最后将相关线段的长度代入S阴影=S扇形ODBSDOE+SBEC【解答】解：如图，假设线段CD、AB交于点E，AB是O的直径，弦CDAB，CE

5、=ED=2，又BCD=30，DOE=2BCD=60，ODE=30，OE=DEcot60=2=2，OD=2OE=4，S阴影=S扇形ODBSDOE+SBEC=OEDE+BECE=2+2=应选B7. 2022四川乐山3分如图4，、是以线段为直径的上两点，假设，且，那么答案：B解析：CADBD1804070，又AB为直径，所以，CAB907020，8. 2022四川凉山州4分，一元二次方程x28x+15=0的两根分别是O1和O2的半径，当O1和O2相切时，O1O2的长度是A2B8C2或8D2O2O28【考点】圆与圆的位置关系；根与系数的关系【分析】先解方程求出O1、O2的半径，再分两圆外切和两圆内切两

6、种情况讨论求解【解答】解：O1、O2的半径分别是方程x28x+15=0的两根，解得O1、O2的半径分别是3和5当两圆外切时，圆心距O1O2=3+5=8；当两圆内切时，圆心距O1O2=52=2应选C92022浙江省舟山把一张圆形纸片按如下列图方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，那么的度数是【考点】圆心角、弧、弦的关系；翻折变换折叠问题【分析】直接利用翻折变换的性质结合锐角三角函数关系得出BOD=30，再利用弧度与圆心角的关系得出答案【解答】解：如下列图：连接BO，过点O作OEAB于点E，由题意可得：EO=BO，ABDC，可得EBO=30，故BOD=30，那么BOC=150，故的度数是150应

7、选：C10.2022广东茂名如图，A、B、C是O上的三点，B=75，那么AOC的度数是A150 B140 C130 D120【考点】圆周角定理【分析】直接根据圆周角定理即可得出结论【解答】解：A、B、C是O上的三点，B=75，AOC=2B=150应选A【点评】此题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键11. (2022年浙江省丽水市)如图，O是等腰RtABC的外接圆，点D是上一点，BD交AC于点E，假设BC=4，AD=，那么AE的长是A3B2C1D1.2【考点】三角形的外接圆与外心【分析】利用圆周角性质和等腰三角形性质

8、，确定AB为圆的直径，利用相似三角形的判定及性质，确定ADE和BCE边长之间的关系，利用相似比求出线段AE的长度即可【解答】解：等腰RtABC，BC=4，AB为O的直径，AC=4，AB=4，D=90，在RtABD中，AD=，AB=4，BD=，D=C，DAC=CBE，ADEBCE，AD：BC=：4=1：5，相似比为1：5，设AE=x，BE=5x，DE=5x，CE=2825x，AC=4，x+2825x=4，解得：x=1应选：C122022山东烟台如图，O的半径为1，AD，BC是O的两条互相垂直的直径，点P从点O出发P点与O点不重合，沿OCD的路线运动，设AP=x，sinAPB=y，那么y与x之间的

9、关系图象大致是ABCD【考点】动点问题的函数图象【分析】根据题意确定出y与x的关系式，即可确定出图象【解答】解：根据题意得：sinAPB=，OA=1，AP=x，sinAPB=y，xy=1，即y=1x2，图象为：，应选B132022山东省聊城市，3分如图，四边形ABCD内接于O，F是上一点，且=，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC假设ABC=105，BAC=25，那么E的度数为A45 B50 C55 D60【考点】圆内接四边形的性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理【分析】先根据圆内接四边形的性质求出ADC的度数，再由圆周角定理得出DCE的度数，根据三角形外角的性质即可得出结论【解答】

10、解：四边形ABCD内接于O，ABC=105，ADC=180ABC=180105=75=，BAC=25，DCE=BAC=25，E=ADCDCE=7525=50应选B【点评】此题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键142022.山东省泰安市，3分如图，点A、B、C是圆O上的三点，且四边形ABCO是平行四边形，OFOC交圆O于点F，那么BAF等于A12.5B15C20D22.5【分析】根据平行四边形的性质和圆的半径相等得到AOB为等边三角形，根据等腰三角形的三线合一得到BOF=AOF=30，根据圆周角定理计算即可【解答】解：连接OB，四边形ABCO是平行四边形，OC

11、=AB，又OA=OB=OC，OA=OB=AB，AOB为等边三角形，OFOC，OCAB，OFAB，BOF=AOF=30，由圆周角定理得BAF=BOF=15，应选：B【点评】此题考查的是圆周角定理、平行四边形的性质定理、等边三角形的性质的综合运用，掌握同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半、等腰三角形的三线合一是解题的关键152022.山东省泰安市，3分如图，ABC内接于O，AB是O的直径，B=30，CE平分ACB交O于E，交AB于点D，连接AE，那么SADE：SCDB的值等于A1：B1：C1：2D2：3【分析】由AB是O的直径，得到ACB=90，根据条件得到，根据三角形的角平

12、分线定理得到=，求出AD=AB，BD=AB，过C作CEAB于E，连接OE，由CE平分ACB交O于E，得到OEAB，求出OE=AB，CE=AB，根据三角形的面积公式即可得到结论【解答】解：AB是O的直径，ACB=90，B=30，CE平分ACB交O于E，=，AD=AB，BD=AB，过C作CEAB于E，连接OE，CE平分ACB交O于E，=，OEAB，OE=AB，CE=AB，SADE：SCDB=ADOE：BDCE=：=2：3应选D【点评】此题考查了圆周角定理，三角形的角平分线定理，三角形的面积的计算，直角三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键二、填空题12022黑龙江大庆如图，在矩形ABCD中，AB

13、=5，BC=10，一圆弧过点B和点C，且与AD相切，那么图中阴影局部面积为75【考点】扇形面积的计算；矩形的性质；切线的性质【分析】设圆的半径为x，根据勾股定理求出x，根据扇形的面积公式、阴影局部面积为：矩形ABCD的面积扇形BOCE的面积BOC的面积进行计算即可【解答】解：设圆弧的圆心为O，与AD切于E，连接OE交BC于F，连接OB、OC，设圆的半径为x，那么OF=x5，由勾股定理得，OB2=OF2+BF2，即x2=x52+52，解得，x=5，那么BOF=60，BOC=120，那么阴影局部面积为：矩形ABCD的面积扇形BOCE的面积BOC的面积=105+105=75，故答案为：75【点评】此

14、题考查的是扇形面积的计算，掌握矩形的性质、切线的性质和扇形的面积公式S=是解题的关键22022湖北鄂州如图，AB6，O是AB的中点，直线l经过点O，1120，P是直线l上一点。当APB为直角三角形时，AP .【考点】外接圆，切线，直角三角形的判定，勾股定理，三角函数，分类讨论思想【分析】确定P点在直线l上的位置是解决此题的关键。要使APB为直角三角形，我们就联想到以AB为直径的外接圆，但AB也有可能为直角边，所以要分类讨论。我们将满足条件的P逐一画在图上。如图，P1，P2在以O为圆心的外接圆上，P1，P2在O的切线上，再根据题目的条件逐一解答即可。【解答】解：分类讨论如下：1在RtA P1B中

15、，1120，O P1=OB，O B P1 =O P1B=30，AP1 =AB=6=3；2在RtA P2B中，1120，O P2=OB，P2 B O =O P2B=60，AP2 =AB=cosO B P26=6=3；3P3B为以B为切点的O的切线，1120，O P2=OB，P2 B O =O P2B=60，P3O B=60，在RtO P3B中，BP3 =tanP3O B3 =3=3;在RtA P3B中，AP3 =3；4P4B为以A为切点的O的切线，1120，O P1=OA，P1 A O =O P1A=60，P4O A=60，在RtO P4A中，AP4 =tanP4O A3 =3=3. 综上，当A

16、PB为直角三角形时，AP3，或3，或3.故答案为：3或3或3.【点评】此题考查了外接圆，切线，直角三角形的判定，勾股定理，三角函数，分类讨论思想注意分类讨论思想的运用；此题难度虽然不大，但容易遗漏. 四种情况中，有两种情况的结果相同。3. 2022湖北黄冈如图，O是ABC的外接圆，AOB=70，ABAC，那么ABC_.第11题【考点】圆心角、圆周角、等腰三角形的性质及判定.【分析】根据同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半，可得出C=AOB=35，再根据ABAC，可得出ABC=C，从而得出答案.【解答】解：O是ABC的外接圆，C=AOB=35同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半；又ABAC，AB

17、C=C =35.故答案为：35.4. 2022湖北咸宁如图，点E是ABC的内心，AE的延长线和ABC的外接圆相交于点D，连接BD、BE、CE，假设CBD=32，那么BEC的度数为_.【考点】三角形的内心，三角形的外接圆，圆周角定理，三角形内角和定理，三角形外角性质【分析】根据E是ABC的内心，可知AE平分BAC， BE平分ABD，CE平分ACB，再根据圆周角定理，得出CAD=CBD=32，然后根据三角形内角和定理，得出ABC+ACB的度数，再根据三角形外角性质，得出BEC的度数.【解答】解：E是ABC的内心，AE平分BAC同理BE平分ABD，CE平分ACB，CBD=32，CAD=CBD=32，

18、BAC=2CBD=64，ABC+ACB=180-64=116，ABE+ACE=116=58，BEC=BAC+ABE+ACE=64+58=122.故答案为：122.【点评】此题考查了三角形的内心，三角形的外接圆，圆周角定理，三角形内角和定理，三角形外角性质熟知三角形的内心三角形的三条角平分线交于一点，该点即为三角形的内心和根据圆周角定理得出角的数量关系是解题的关键. 内心是三角形角平分线交点的原理：经圆外一点作圆的两条切线，这一点与圆心的连线平分两条切线的夹角原理：角平分线上点到角两边距离相等。内心定理：三角形的三个内角的角平分线交于一点。该点叫做三角形的内心.5. 2022四川成都5分如图，A

19、BC内接于O，AHBC于点H，假设AC=24，AH=18，O的半径OC=13，那么AB=【考点】三角形的外接圆与外心【分析】首先作直径AE，连接CE，易证得ABHAEC，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得O半径【解答】解：作直径AE，连接CE，ACE=90，AHBC，AHB=90，ACE=ADB，B=E，ABHAEC，=，AB=，AC=24，AH=18，AE=2OC=26，AB=，故答案为：6. 2022吉林长春，13，3分如图，在O中，AB是弦，C是上一点假设OAB=25，OCA=40，那么BOC的大小为30度【考点】圆周角定理【分析】由BAO=25，利用等腰三角形的性质，可求得AOB

20、的度数，又由OCA=40，可求得CAO的度数，继而求得AOC的度数，那么可求得答案【解答】解：BAO=25，OA=OB，B=BAO=25，AOB=180BAOB=130，ACO=40，OA=OC，C=CAO=40，AOC=180CAOC=100，BOC=AOBAOC=30故答案为30【点评】此题考查了圆周角定理以及等腰三角形的性质注意利用等腰三角形的性质求解是关键7. 2022年浙江省台州市如图，ABC的外接圆O的半径为2，C=40，那么的长是【考点】三角形的外接圆与外心；弧长的计算【分析】由圆周角定理求出AOB的度数，再根据弧长公式：l=弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R即可求解【解答】

21、解：C=40，AOB=80的长是=82022四川巴中如图，A是O的圆周角，OBC=55，那么A=35【考点】圆周角定理【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出BOC的度数，根据圆周角定理计算即可【解答】解：OB=OC，OBC=55，OCB=55，BOC=1805555=70，由圆周角定理得，A=BOC=35，故答案为：3592022.山东省青岛市,3分如图，AB是O的直径，C，D是O上的两点，假设BCD=28，那么ABD=62【考点】圆周角定理【分析】根据直径所对的圆周角是直角得到ACB=90，求出BCD，根据圆周角定理解答即可【解答】解：AB是O的直径，ACB=90，BCD=28，

22、ACD=62，由圆周角定理得，ABD=ACD=62，故答案为：62102022江苏连云港如图，P的半径为5，A、B是圆上任意两点，且AB=6，以AB为边作正方形ABCD点D、P在直线AB两侧假设AB边绕点P旋转一周，那么CD边扫过的面积为9【分析】连接PA、PD，过点P作PE垂直AB于点E，延长AE交CD于点F，根据垂径定理可得出AE=BE=AB，利用勾股定理即可求出PE的长度，再根据平行线的性质结合正方形的性质即可得出EF=BC=AB，DF=AE，再通过勾股定理即可求出线段PD的长度，根据边与边的关系可找出PF的长度，分析AB旋转的过程可知CD边扫过的区域为以PF为内圆半径、以PD为外圆半径

23、的圆环，根据圆环的面积公式即可得出结论【解答】解：连接PA、PD，过点P作PE垂直AB于点E，延长AE交CD于点F，如下列图AB是P上一弦，且PEAB，AE=BE=AB=3在RtAEP中，AE=3，PA=5，AEP=90，PE=4四边形ABCD为正方形，ABCD，AB=BC=6，又PEAB，PFCD，EF=BC=6，DF=AE=3，PF=PE+EF=4+6=10在RtPFD中，PF=10，DF=3，PFE=90，PD=假设AB边绕点P旋转一周，那么CD边扫过的图形为以PF为内圆半径、以PD为外圆半径的圆环S=PD2PF2=109100=9故答案为：9【点评】此题考查了垂径定理、勾股定理、平行线

24、的性质以及圆环的面积公式，解题的关键是分析出CD边扫过的区域的形状此题属于中档题，难度不大，但稍显繁琐，解决该题型题目时，结合AB边的旋转，找出CD边旋转过程中扫过区域的形状是关键11. 2022江苏南京如图，扇形OAB的圆心角为122，C是弧AB上一点，那么_.答案：119考点：圆内接四边形内角和定理，圆周角定理。解析：由同弧所对的圆心角等于它所对的圆周角的一半，所以，与AOB所对同弧的圆周角度数为AOB61，由圆内接四边形对角互补，得：ACB18061119。122022江苏省宿迁如图，在ABC中，ACB=130，BAC=20，BC=2，以点C为圆心，CB为半径的圆交AB于点D，那么BD的

25、长为2【分析】如图，作CEAB于E，在RTBCE中利用30度性质即可求出BE，再根据垂径定理可以求出BD【解答】解：如图，作CEAB于EB=180AACB=18020130=30，在RTBCE中，CEB=90，B=30，BC=2，CE=BC=1，BE=CE=，CEBD，DE=EB，BD=2EB=2故答案为2【点评】此题考查垂径定理、三角形内角和定理等知识，解题的关键是根据垂径定理添加辅助线，记住直角三角形30度角性质，属于根底题，中考常考题型132022江苏省扬州如图，O是ABC的外接圆，直径AD=4，ABC=DAC，那么AC长为2【考点】三角形的外接圆与外心；圆周角定理【分析】连接CD，由A

26、BC=DAC可得，得出那么AC=CD，又ACD=90，由等腰直角三角形的性质和勾股定理可求得AC的长【解答】解：连接CD，如下列图：B=DAC，AC=CD，AD为直径，ACD=90，在RtACD中，AD=6，AC=CD=AD=4=2，故答案为：2三、解答题12022黑龙江大庆如图，在RtABC中，C=90，以BC为直径的O交斜边AB于点M，假设H是AC的中点，连接MH1求证：MH为O的切线2假设MH=，tanABC=，求O的半径3在2的条件下分别过点A、B作O的切线，两切线交于点D，AD与O相切于N点，过N点作NQBC，垂足为E，且交O于Q点，求线段NQ的长度【考点】圆的综合题【分析】1连接O

27、H、OM，易证OH是ABC的中位线，利用中位线的性质可证明COHMOH，所以HCO=HMO=90，从而可知MH是O的切线；2由切线长定理可知：MH=HC，再由点M是AC的中点可知AC=3，由tanABC=，所以BC=4，从而可知O的半径为2；3连接CN，AO，CN与AO相交于I，由AC、AN是O的切线可知AOCN，利用等面积可求出可求得CI的长度，设CE为x，然后利用勾股定理可求得CE的长度，利用垂径定理即可求得NQ【解答】解：1连接OH、OM，H是AC的中点，O是BC的中点，OH是ABC的中位线，OHAB，COH=ABC，MOH=OMB，又OB=OM，OMB=MBO，COH=MOH，在COH

28、与MOH中，COHMOHSAS，HCO=HMO=90，MH是O的切线；2MH、AC是O的切线，HC=MH=，AC=2HC=3，tanABC=，=，BC=4，O的半径为2；3连接OA、CN、ON，OA与CN相交于点I，AC与AN都是O的切线，AC=AN，AO平分CAD，AOCN，AC=3，OC=2，由勾股定理可求得：AO=，ACOC=AOCI，CI=，由垂径定理可求得：CN=，设OE=x，由勾股定理可得：CN2CE2=ON2OE2，2+x2=4x2，x=，CE=，由勾股定理可求得：EN=，由垂径定理可知：NQ=2EN=【点评】此题考查圆的综合问题，涉及垂径定理，勾股定理，全等三角形的判定与性质，

29、切线的判等知识内容，对学生的综合能力要求较高，一定要注意将所学知识贯穿起来2. 2022湖北鄂州此题总分值10分如图，在RtABC中，ACB90，AO是ABC的角平分线。以O为圆心，OC为半径作O。13分求证：AB是O的切线。23分AO交O于点E，延长AO交O于点D， tanD，求的值。34分在2的条件下，设O的半径为3，求AB的长。第2题图【考点】切线，角平分线，相似三角形的判定与性质，勾股定理，二元一次方程组.【分析】1过O作OFAB于F，由角平分线上的点到角两边的距离相等即可得证；2连接CE，证明ACEADC可得AE/AC=CE/CD=tanD=1/2；3先由勾股定理求得AE的长，再证明

30、B0FBAC，得BF/BCBO/BA=0F/AC，设BO=y ，BF=z，列二元一次方程组即可解决问题.【解答】证明：作OFAB于F 1分AO是BAC的角平分线，ACB=90OC=OF 2分AB是O的切线 3分连接CE 1分AO是BAC的角平分线，CAE=CADACE所对的弧与CDE所对的弧是同弧ACE=CDEACEADC= =tanD= 3分先在ACO中，设AE=x, 由勾股定理得(x3)=(2x) 3 ，解得x=2, 1分BFO=90=ACO易证RtB0FRtBAC 2分得BF/BCBO/BA=0F/AC，设BO=y BF=z y/4z=z/3y=3/4 即 4z=93y4y=123z解得

31、z= y= 4分 AB=4= 5分【点评】此题主要考查了切线，角平分线，相似三角形的判定与性质，勾股定理，二元一次方程组. 作OFAB于F是解题的关键.3. 2022湖北黄冈总分值8分如图，AB是半圆O的直径，点P是BA延长线上一点，PC是O的切线，切点为C. 过点B作BDPC交PC的延长线于点D，连接BC. 求证： 1PBC =CBD; 2BC2=ABBD D C P A O B第3题【考点】切线的性质，相似三角形的判定和性质.【分析】1连接OC，运用切线的性质，可得出OCD=90，从而证明OCBD，得到CBD=OCB，再根据半径相等得出OCB=PBC，等量代换得到PBC =CBD.2连接A

32、C. 要得到BC2=ABBD，需证明ABCCBD，故从证明ACB=BDC，PBC=CBD入手.【解答】证明：1连接OC，PC是O的切线，OCD=90. 1分 又BDPCBDP=90OCBD.CBD=OCB.OB=OC .OCB=PBC.PBC=CBD. .4分D C P A O B2连接AC.AB是直径，BDP=90.又BDC=90，ACB=BDC.PBC=CBD,ABCCBD. 6分=.BC2=ABBD. .8分D C P A O B42022湖北十堰如图1，AB为半圆O的直径，D为BA的延长线上一点，DC为半圆O的切线，切点为C1求证：ACD=B；2如图2，BDC的平分线分别交AC，BC于

33、点E，F；求tanCFE的值；假设AC=3，BC=4，求CE的长【考点】切线的性质【分析】1利用等角的余角相等即可证明2只要证明CEF=CFE即可由DCADBC，得=，设DC=3k，DB=4k，由CD2=DADB，得9k2=4k54k，由此求出DC，DB，再由DCEDBF，得=，设EC=CF=x，列出方程即可解决问题【解答】1证明：如图1中，连接OCOA=OC，1=2，CD是O切线，OCCD，DCO=90，3+2=90，AB是直径，1+B=90，3=B2解：CEF=ECD+CDE，CFE=B+FDB，CDE=FDB，ECD=B，CEF=CFE，ECF=90，CEF=CFE=45，tanCFE=

34、tan45=1在RTABC中，AC=3，BC=4，AB=5，CDA=BDC，DCA=B，DCADBC，=，设DC=3k，DB=4k，CD2=DADB，9k2=4k54k，k=，CD=，DB=，CDE=BDF，DCE=B，DCEDBF，=，设EC=CF=x，=，x=CE=【点评】此题考查切线的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形，利用相似三角形的性质解决问题，学会用方程的思想思考问题，属于中考常考题型5. 2022四川凉山州8分阅读以下材料并答复以下问题：材料1：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形的面积为 古希腊几何学家海伦Heron，

35、约公元50年，在数学史上以解决几何测量问题而闻名他在 度量 一书中，给出了公式和它的证明，这一公式称海伦公式我国南宋数学家秦九韶约1202约1261，曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式： 下面我们对公式进行变形： =这说明海伦公式与秦九韶公式实质上是同一公式，所以我们也称为海伦秦九韶公式问题：如图，在ABC中，AB=13，BC=12，AC=7，O内切于ABC，切点分别是D、E、F1求ABC的面积；2求O的半径【考点】三角形的内切圆与内心【分析】1由ABC的三边a=3，b=12，c=7，可知这是一个一般的三角形，应选用海伦秦九韶公式求解即可；2由三角形的面积=lr，计算即可【解答】解：1A

36、B=13，BC=12，AC=7，p=16，=24；2ABC的周长l=AB+BC+AC=32，S=lr=24，r=6. 2022四川凉山州8分如图，四边形ABCD内接于O，A是的中点，AEAC于A，与O及CB的延长线交于点F、E，且1求证：ADCEBA；2如果AB=8，CD=5，求tanCAD的值【考点】相似三角形的判定与性质；圆周角定理【分析】1欲证ADCEBA，只要证明两个角对应相等就可以可以转化为证明且就可以；2A是的中点，的中点，那么AC=AB=8，根据CADABE得到CAD=AEC，求得AE，根据正切三角函数的定义就可以求出结论【解答】1证明：四边形ABCD内接于O，CDA=ABE，D

37、CA=BAEADCEBA；2解：A是的中点，AB=AC=8，ADCEBA，CAD=AEC，即，AE=，tanCAD=tanAEC=7.2022广东广州如图，点C为ABD外接圆上的一动点点C不在上，且不与点B，D重合，ACB=ABD=451求证：BD是该外接圆的直径；2连结CD，求证：AC=BC+CD；3假设ABC关于直线AB的对称图形为ABM，连接DM，试探究，三者之间满足的等量关系，并证明你的结论【难易】 较难，综合性大【考点】直径所对的圆周角、外接圆、旋转【解析】通过旋转处理不在一起的三边关系、及其平方关系【参考答案】 1弧AB弧AB，ADBACB又ACBABD45ABDADB45BAD90ABD为等腰直角三角形BD是该外接圆的直径2如下列图作C