2022年高考数学一轮复习热点难点精讲精析51等差数列与等比数列.docx

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1、2022年高考一轮复习热点难点精讲精析：5.1等差数列与等比数列一、数列的概念与简单表示法一由数列的前几项求数列的通项公式相关链接数列的通项公式1据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察观察分析，抓住以下几方面的特征：分式中分子、分母的特征；相邻项的变化特征；拆项后的特征；各项符号特征等，并对此进行归纳、联想。2观察、分析问题的特点是最重要的，观察要有目的，观察出项与项数之间的关系、规律，利用我们熟知的一些根本数列如自然数列、奇偶数列等转换而使问题得到解决。3根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着从特殊到一般的思想，由不完全归纳提出的结果是不可靠的，要注意代值检验，

2、对于正负符号变化，可用或来调整。例题解析例写出以下各数列的一个通项公式：思路解析：由所给数列前几项的特点，归纳出其通项公式，注意项与项数的关系，项与前后项之间的关系，通项公式的形式并不唯一。解答：1各项是从4开始的偶数，所以；2每一项分子比分母少1，而分母可写成21，22，23，24，25，故所求数列的一个通项公式可定为；3带有正负号，故每项中必须含有一个这个因式，而后去掉负号，观察可得。将第二项-1写成。分母可化为3，5，7，9，11，13，为正奇数，而分子可化为12+1，22+1，32+1，42+1，52+1，62+1，故其一个通项公式可写为：；4将数列各项写为分母都是3，而分子分别是10

3、-1，102-1，103-1，104-1，所以二由递推公式求数列通项公式相关链接1、由和递推关系求通项公式，可观察其特点，一般常利用化归法、累加法、累乘法等。1构造等比数列，首项，递推关系为，求数列的通项公式的关键是将转化为的形式，其中a的值可由待定系数法确定，即2且可以用累加法，即，。所有等式左右两边分别相加，得即：3且可以用累乘法，即，所有等式左右两边分别相乘，得注：并不是每一个数列都有通项公式，如果一个数列有通项公式，那么它的通项公式在形式上也可以不止一个。2、由与的关系求由求时，要分n=1和n2两种情况讨论，然后验证两种情况可否用统一的解析式表示，假设不能，那么用分段函数的形式表示为。

4、例题解析例(1)在数列an中，a1=1，an+1=(1+)an+设求数列bn的通项公式;(2)数列an中，a1=1,an+1=(n+1)an，求数列an的通项公式思路分析:(1)首先由递推公式得到的关系式：再借助于累加的方法求出数列bn的通项公式；(2)由题设可得利用累乘的方法求解.解析:(1)由可得b1=a1=1，且即从而有bn=b1+(b2-b1)+(bn-bn-1)= (n2)，又因为b1=a1=1，故所求的通项公式为(2)an+1(n1)an，a11.累乘可得，ann(n-1)(n-2)321n！.故ann！.三数列的单调性及其应用例(12分)数列的前n项和为,并且满足1求的通项公式；

5、2令，问是否存在正整数m,对一切正整数n，总有，假设存在，求m的值；假设不存在，说明理由。思路解析：1(2)由得的表达式求最大项得结论.解答:(1)令n=1,(2) 注:(1)数列的单调性是高考常考内容之一,有关数列最大、最小项、数列有界性问题均可借助数列的单调性来解决，判断单调性时常用作差法，作商法，结合函数图象等方法。2求最大项，那么满足；假设求最小项，那么满足。二、等差数列及其前n项和一等差数列的根本运算相关链接1.等差数列运算问题的通法等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d，然后由通项公式或前n项和公式转化为方程组求解.2.等差数列前n项和公式的应用方法等差数列前n项和公式有

6、两个，如果项数n、首项a1和第n项an，那么利用该公式经常和等差数列的性质结合应用.如果项数n、首项a1和公差d，那么利用在求解等差数列的根本运算问题时，有时会和通项公式结合使用.注：1、等差数列的通项公式=+n-1d及前n项和公式，共涉及五个量，d,n,知其中三个就能求另外两个，表达了用方程的思想解决问题；2、数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而和d是等差数列的两个根本量，用它们表示和未知是常用方法。3、因为，故数列是等差数列。例题解析例数列的首项=3，通项，且，成等差数列。求：1的值；2数列的前n项和的公式。思路解析：1由=3与，成等差数列列出方程组即可求出；2通过利用

7、条件分成两个可求和的数列分别求和。解答：1由=3得又，得由联立得。2由1得，二等差数列的判定相关链接1、等差数列的判定通常有两种方法：第一种是利用定义，第二种是利用等差中项，即。2、解选择题、填空题时，亦可用通项或前n项和直接判断。1通项法：假设数列的通项公式为n的一次函数，即=n+B,那么是等差数列；2前n项和法：假设数列的前n项和是的形式，B是常数，那么是等差数列。注：假设判断一个数列不是等差数列，那么只需说明任意连续三项不是等差数列即可。例题解析例数列的前n项和为，且满足1求证：是等差数列；2求的表达式。思路解析：1与的关系结论；2由的关系式的关系式解答：1等式两边同除以得-+2=0，即

8、-=2n2.是以=2为首项，以2为公差的等差数列。2由1知=+n-1d=2+(n-1)2=2n,=,当n2时，=2=。又，不适合上式，故。三等差数列的性质相关链接1、等差数列的单调性：等差数列公差为d，假设d0,那么数列递增；假设d0,d0,且满足，前n项和最大；2假设a10，且满足，前n项和最小；3除上面方法外，还可将的前n项和的最值问题看作关于n的二次函数最值问题，利用二次函数的图象或配方法求解，注意。例题解析例1(2022如皋模拟)在等差数列an中，a1=31，Sn是它的前n项和，S10=S22，(1)求Sn；(2)这个数列的前多少项的和最大，并求出这个最大值.思路解析：利用等差数列的性

9、质求解第(1)题、第(2)题，解题关键是写出前n项和公式，利用函数思想解决.(1)S10=a1+a2+a10，S22=a1+a2+a22，又S10=S22a11+a12+a22=0，即a11+a22=2a1+31d=0, 又a1=31，d=-2，Sn=na1+=31n-n(n-1)=32n-n2.(2)方法一：由(1)知Sn=32n-n2，当n=16时，Sn有最大值，Sn的最大值是256.方法二：由Sn=32n-n2=n(32-n)，欲使Sn有最大值，应有1n0,d0时，满足的项数m使得Sn取得最大值为Sm；(2)当a10时，满足的项数m使得Sn取得最小值为Sm.(3)关于最值问题，除上面介绍

10、的方法外，还可利用等差数列与函数的关系来解决，等差数列的前n项和Sn可看成关于n的二次函数式且常数项为0，利用二次函数的图象或配方法解决最值问题.三、等比数列及其前n项和一等比数列的的运算相关链接1.等比数列根本量的运算是等比数列中一类根本问题，数列中有五个量，一般可以“知三求二，通过列方程组所求问题可迎刃而解。2.解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关公式，并灵活运用，在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算的过程。3.在使用等比数列的前n项和公式时，应根据公比q的情况进行分类讨论，切不可无视q的取值而盲目用求和公式。例题解析例设数列的前n项和为，且=2-2；数列为等差数列，且。（

11、1） 求数列的通项公式；（2） 假设，为数列的前n项和，求证：。思路解析：1得结论；2放缩得结论。解答：1由=2-2，得，又=，所以=，由=2-2得-得，即，是以为首项，以为公比的等比数列，所以=。2为等差数列，从而-得二等比数列的判定相关链接等比数列的判定方法有：1定义法：假设，那么是等比数列；2中项公式法：假设数列中，那么数列是等比数列；3通项公式法：假设数列通项公式可写成，那么数列是等比数列；4前n项和公式法：假设数列的前n项和，那么数列是等比数列；注：1前两种方法是判定等比数列的常用方法，而后两种方法常用于选择、填空中的判定；2假设要判定一个数列不是等比数列，那么只需判定其任意的连续三

12、项不成等比数列即可。例题解析例在数列中，。（1） 证明数列是等比数列；（2） 求数列的前n项和；（3） 证明不等式对任意皆成立。思路解析：证明一个数列是等比数列常用定义法，即，对于本例1适当变形即可求证，证明不等问题常用作差法证明。解答：1由题设得。又所以数列是首项为1，且公比为4的等比数列。2由1可知，于是数列的通项公式为。所以数列的前n项和。3对任意的，所以不等式对任意皆成立。三等比数列性质的应用相关链接1.等比数列的性质可以分为三类：(1)通项公式的变形，(2)等比中项的变形，(3)前n项和公式的变形.根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口.2.等比数列的常用

13、性质(1)数列an是等比数列，那么数列pan(p0，p是常数)也是等比数列；(2)在等比数列an中，等距离取出假设干项也构成一个等比数列，即an,an+k,an+2k,an+3k,为等比数列，公比为qk.(3)an=amqn-m(n,mN+)(4)假设m+n=p+q(m,n,p,qN+)，那么aman=apaq；(5)假设等比数列an的前n项和为Sn，那么Sk、S2k-Sk、S3k-S2k、S4k-S3k是等比数列.6等比数列的单调性注：等比数列中所有奇数项的符号相同，所有偶数项的符号也相同。例题解析例1等比数列前n项的和为2，其后2n的和为12，求再往后3n项的和。思路解析：由条件，根据前n

14、项和公式列出关于首项和公比及n的两个方程，应能解出和关于n的表达式，这样可能较繁琐又不便于求出结果，假设采用整体处理的思想，问题就会变得简单，也可采用等比数列的性质问题简化。解答：方法一：利用等比数列的性质。由，.注意到也成等比数列,其公比为,于是,问题转化为:方法二:利用求和公式.如果公比q=1,那么由于,可知,与条件不符,q1,由求和公式,得又式除以式得，又再往后3n项的和为式除以式得。例2(2022青岛模拟)函数f(x)=ax2+bx(a0)的导函数f(x)=-2x+7,数列an的前n项和为Sn,点Pn(n,Sn)(nN+)均在函数y=f(x)的图象上.(1)求数列an的通项公式及Sn的

15、最大值;(2)令其中nN+,求nbn的前n项和Tn.思路解析：对函数f(x)的字母系数通常用待定系数法确定，再把函数问题转化为数列问题求解.对nbn求和，假设bn为等比数列可考虑用错位相减法求和.解析:(1)由题意可知：f(x)=ax2+bx(a0),f(x)=2ax+b，由f(x)=-2x+7对应相等可得:a=-1,b=7,所以可得f(x)=-x2+7x，又因为点Pn(n,Sn)(nN+)均在函数y=f(x)的图象上,所以有Sn=-n2+7n当n=1时,a1=S1=6；当n2时,an=Sn-Sn-1=-2n+8，a1=6适合上式，an=-2n+8(nN+)令an=-2n+80得n4,当n=3或n=4时,Sn取得最大值12.综上,an=-2n+8(nN+),当n=3或n=4时,Sn取得最大值12.(2)由题意得即数列bn是首项为8,公比为的等比数列，故nbn的前n项和Tn=123+222+n2-n+4 Tn=122+22+(n-1)2-n+4+n2-n+3所以-得： Tn=23+22+2-n+4-n2-n+3