2022版高考数学一轮复习第十章平面解析几何10.2直线的交点坐标与距离公式练习理北师大版.doc

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1、10.2 直线的交点坐标与距离公式核心考点精准研析考点一两直线的位置关系1.直线l1:mx-2y+1=0,l2:x-(m-1)y-1=0,那么“m=2是“l1l2的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.(2022济南模拟)“m=3是“直线l1:2(m+1)x+(m-3)y+7-5m=0与直线l2:(m-3)x+2y-5=0垂直的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3. 直线l1:ax+2y+6=0和直线l2:x+(a-1)y+a2-1=0,那么当l1l2时,a的值为_.4.直线l1:ax+2y+6=0和直线l2:

2、x+ay+a2-1=0,那么当l1l2时, a的值为_.【解析】1.选C.由l1l2得-m(m-1)=1(-2),得m=2或m=-1,经验证,当m=-1时,直线l1与l2重合,舍去,所以“m=2是“l1l2的充要条件.2.选A.由l1l2得2(m+1)(m-3)+2(m-3)=0,解得m=3或m=-2.3.方法一:当a=1时,l1:x+2y+6=0,l2:x=0,l1不平行于l2;当a=0时,l1:y=-3,l2:x-y-1=0,l1不平行于l2;当a1且a0时,两直线方程可化为l1:y=-x-3,l2:y=x-(a+1),由l1l2可得 解得a=-1.综上可知,a=-1.方法二:由l1l2知

3、 即a=-1.答案:-14.方法一:当a=0时,l1:2y+6=0,l2:x=1,l1与l2垂直,故a=0符合;当a0时,l1:y=-x-3,l2:y=-x-,由l1l2,得=-1,所以此时不成立.方法二:因为l1l2,所以A1A2+B1B2=0,即a+2a=0,得a=0.答案:01.解决两直线平行与垂直的参数问题要“前思后想2.在判断两直线的平行、垂直时,也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论.考点二两条直线的相交、距离问题【典例】1.(2022北京模拟)点M(0,-1),点N在直线x-y+1=0上,假设直线MN垂直于直线x+2y-3=0, 那么点N的坐标是()A.(-2,-1)B.(2

4、,3)C.(2,1)D.(-2,1)2.点P(4,a)到直线4x-3y-1=0的距离不大于3,那么a的取值范围是_.3.假设两平行直线3x-2y-1=0,6x+ay+c=0之间的距离为,那么c的值是_.【解题导思】序号联想解题1由N为直线MN和直线x-y+1=0的交点,想到联立两直线方程求交点.2由点P到直线4x-3y-1=0的距离想到点到直线的距离公式解题.3由题意联想到两平行线间距离公式.【解析】1.选B.因为点N在直线x-y+1=0上,所以可设点N坐标为(x0,x0+1).根据经过两点的直线的斜率公式,得kMN=.因为直线MN垂直于直线x+2y-3=0,直线x+2y-3=0的斜率k=-,

5、所以kMN=-1,即=2,解得x0=2.因此点N的坐标是(2,3).2.由题意得,点P到直线4x-3y-1=0的距离为=.又3,即|15-3a|15,解之得0a10,所以a的取值范围是0,10.答案:0,103.依题意知,=,解得a=-4,c-2,即直线6x+ay+c=0可化为3x-2y+=0,又两平行线之间的距离为,所以=,解得c=2或-6.答案:2或-61.求过两直线交点的直线方程的方法求过两直线交点的直线方程,先解方程组求出两直线的交点坐标,再结合其他条件写出直线方程.2.处理距离问题的两大策略(1)点到直线的距离问题可直接代入点到直线的距离公式去求.(2)动点到两定点距离相等,一般不直

6、接利用两点间距离公式处理,而是转化为动点在以两定点为端点的线段的垂直平分线上,从而简化计算.3.利用距离公式应注意:(1)点P(x0,y0)到直线x=a的距离d=|x0-a|,到直线y=b的距离d=|y0-b|;(2)两平行线间的距离公式要把两直线方程中x,y的系数分别化为相等.1.求经过两条直线l1:x+y-4=0和l2:x-y+2=0的交点,且与直线2x-y-1=0垂直的直线方程为_.2.直线l过点P(-1,2)且到点A(2,3)和点B(-4,5)的距离相等,那么直线l的方程为_.【解析】1.由得所以l1与l2的交点坐标为(1,3).设与直线2x-y-1=0垂直的直线方程为x+2y+c=0

7、,那么1+23+c=0,所以c=-7.所以所求直线方程为x+2y-7=0.答案:x+2y-7=02.方法一:当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y-2=k(x+1),即kx-y+k+2=0.由题意知=,即|3k-1|=|-3k-3|,所以k=-,所以直线l的方程为y-2=-(x+1),即x+3y-5=0.当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=-1,也符合题意.方法二:当ABl时,有k=kAB=-,直线l的方程为y-2=-(x+1),即x+3y-5=0.当l过AB中点时,AB的中点为(-1,4),所以直线l的方程为x=-1.故所求直线l的方程为x+3y-5=0或x=-1.答案:x+3y-5

8、=0或x=-1考点三对称问题命题精解读1.考什么:(1)两直线的垂直关系;(2)中点坐标公式.2.怎么考:1.直接求对称点或直线;2.求解折线最短问题;3.求三角形的角平分线的方程.3.新趋势:1.折线最短问题;2.以点的对称为载体与圆、不等式等结合.学霸好方法两种对称问题的处理方法(1)点关于直线的对称:假设两点P1 (x1,y1)与P2(x2,y2)关于直线l:Ax+By+C=0对称,那么线段P1P2的中点在l上,而且连接P1P2的直线垂直于l,列出方程组,可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2,y2)(其中B0,x1x2).(2)直线关于直线的对称:此类问题一般转化为点关于直线的对称

9、来解决,有两种情况:一是直线与对称轴相交;二是直线与对称轴平行.点关于点的对称【典例】过点P(0,1)作直线l使它被直线l1:2x+y-8=0和l2:x-3y+10=0截得的线段被点P平分,那么直线l的方程为_.【解析】设l1与l的交点为A(a,8-2a),那么由题意知,点A关于点P的对称点B(-a,2a-6)在l2上,代入l2的方程得-a-3(2a-6)+10=0,解得a=4,即点A(4,0)在直线l上,所以直线l的方程为x+4y-4=0.答案:x+4y-4=0点P与直线l与直线l1,l2的交点有何关系?提示:点P是直线l与直线l1,l2的交点所连接线段的中点.点关于直线的对称【典例】(20

10、22淮安模拟)入射光线经过点M(-3,4),被直线l:x-y+3=0反射,反射光线经过点N(2,6),那么反射光线所在直线的方程为_.【解析】设点M(-3,4)关于直线l:x-y+3=0的对称点为M(a,b),那么反射光线所在直线过点M,所以解得a=1,b=0.又反射光线经过点N(2,6).所求直线的方程为=,即6x-y-6=0.答案:6x-y-6=0点M和它的对称点M的连线段MM与直线l有什么关系?提示:垂直直线关于直线对称【典例】(2022郑州模拟)直线2x-y+3=0关于直线x-y+2=0对称的直线方程是 ()A.x-2y+3=0B.x-2y-3=0C.x+2y+1=0D.x+2y-1=

11、0【解析】选A.设所求直线上任意一点P(x,y),那么P关于x-y+2=0的对称点为P(x0,y0),因为PP的中点在直线x-y+2=0上,又因为kPP1=-1,所以由得由点P(x0,y0)在直线2x-y+3=0上,所以2(y-2)-(x+2)+3=0,即x-2y+3=0.是否可以在直线2x-y+3=0上取一个特殊点求解?提示:可以取直线2x-y+3=0上两点并求出其关于直线x-y+2=0的对称点,根据两对称点求直线方程.1.(2022岳阳模拟)直线x-2y+1=0关于直线x=1对称的直线方程是()A.x+2y-1=0B.2x+y-1=0C.2x+y-3=0D.x+2y-3=0【解析】选D.方

12、法一:设所求直线上任一点为(x,y),那么它关于x=1的对称点(2-x,y)在直线x-2y+1=0上,所以2-x-2y+1=0,化简得x+2y-3=0.方法二:根据直线x-2y+1=0关于直线x=1对称的直线斜率是互为相反数得答案A或D,再根据两直线交点在直线x=1上知选D.2.从点(2,3)射出的光线沿与向量a=(8,4)平行的直线射到y轴上,那么反射光线所在的直线方程为()A.x+2y-4=0B.2x+y-1=0C.x+6y-16=0 D.6x+y-8=0【解析】选A.由直线与向量a=(8,4)平行知,过点(2,3)的直线的斜率k=,所以直线的方程为y-3=(x-2),其与y轴的交点坐标为

13、(0,2),又点(2,3)关于y轴的对称点为(-2,3),所以反射光线过点(-2,3)与(0,2),由两点式知A正确.1.直线l:x-2y+8=0和两点A(2,0),B(-2,-4).在直线l上求一点P,使|PA|+|PB|最小.【解析】设A关于直线l的对称点为A(m,n),那么解得故A(-2,8).P为直线l上的一点,那么|PA|+|PB|=|PA|+|PB|AB|,当且仅当B,P,A三点共线时,|PA|+|PB|取得最小值,为|AB|,点P即是直线AB与直线l的交点,解方程组得故所求的点P的坐标为(-2,3).2.直线l:3x-y+3=0,求:(1)点P(4,5)关于l的对称点.(2)直线

14、x-y-2=0关于直线l对称的直线方程.(3)直线l关于(1,2)的对称直线.【解析】(1)设P(x,y)关于直线l:3x-y+3=0的对称点为P(x,y),因为kPPkl=-1,即3=-1.又PP的中点在直线3x-y+3=0上,所以3-+3=0.由得把x=4,y=5代入得x=-2,y=7,所以点P(4,5)关于直线l的对称点P的坐标为(-2,7).(2)用(1)中的分别代换x-y-2=0中的x,y,得关于l对称的直线方程为-2=0,化简得7x+y+22=0.(3)在直线l:3x-y+3=0上取点M(0,3),关于(1,2)的对称点M(x,y),所以=1,x=2,=2,y=1,所以M(2,1).l关于(1,2)的对称直线平行于l,所以k=3,所以对称直线方程为y-1=3(x-2),即3x-y-5=0.- 7 -