2022版高考数学一轮复习核心素养测评二十九平面向量的数量积及平面向量的应用理北师大版.doc

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1、核心素养测评二十九 平面向量的数量积及平面向量的应用(30分钟60分)一、选择题(每题5分,共25分)1.向量a=(1,-1),b=(2,x),假设ab=1,那么x=()A.-1B.-C.D.1【解析】选D.ab=12+(-1)x=2-x=1,所以x=1.2.(2022十堰模拟)假设夹角为的向量a与b满足|b|=|a-b|=1,且向量a为非零向量,那么|a|=()A.-2cos B.2cos C.-cos D.cos 【解析】选B.因为|b|=|a-b|=1,所以b2=a2-2ab+b2,a2=2ab,|a|2=2|a|b|cos ,因为a为非零向量,所以|a|=2|b|cos =2cos .

2、3.(2022铜川模拟)平面向量a=(-2,3),b=(1,2),向量a+b与b垂直,那么实数的值为()A.B.-C.D.-【解析】选D.因为a=(-2,3),b=(1,2),所以a+b=(-2+1,3+2).因为a+b与b垂直,所以(a+b)b=0,所以(-2+1,3+2)(1,2)=0,即-2+1+6+4=0,解得=-.4.(2022广州模拟)非零向量a,b的夹角为60,|a|=2,|a-2b|=2,那么|b|等于()A.4B.2C.D.1【解析】选D.因为|a-2b|=2,所以|a-2b|2=4,a2-4ab+4b2=4,4-42|b|cos 60+4|b|2=4,解得|b|=1.(|b

3、|=0舍去)5.|a|=6,|b|=3,向量a在b方向上的投影是4,那么ab为()A.12B.8C.-8D.2【解析】选A.因为|a|cos=4,|b|=3,所以ab=|a|b|cos=12.二、填空题(每题5分,共15分)6.(2022太原模拟)如下图,在等腰直角三角形AOB中,OA=OB=1,=4,那么(-)=_.【解析】由得|=,|=,那么(-)=(+)=+=cos+=-.答案:-7.向量m与n满足|m|=1,|n|=2,且m(m+n),那么向量m与n的夹角为_.【解析】设m,n的夹角为,因为m(m+n),所以m(m+n)=m2+mn=1+12cos =0,所以cos =-,又,所以=.

4、答案:【变式备选】向量a,b满足|a|=|b|=2且(a+2b)(a-b)=-2,那么向量a与b的夹角为_.【解析】设a与b的夹角为.由a2-2b2+ab=-2,4-8+4cos =-2,cos =,又0,所以=,即a与b的夹角为.答案:8.正方形ABCD的边长为2,E为CD的中点,那么=_.【解析】在边长为2的正方形ABCD中,=0,因为=(+)(+)=(-)=+-=4+0-0-4=2.答案:2【变式备选】正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点,那么的值为_;的最大值为_.【解析】以射线AB,AD为x轴,y轴的正方向建立平面直角坐标系,那么A(0,0),B(1,0),C(1,1),D

5、(0,1),设E(t,0),t0,1,那么=(t,-1),=(0,-1),所以=(t,-1)(0,-1)=1.因为=(1,0),所以=(t,-1)(1,0)=t1,的最大值为1.答案:11三、解答题(每题10分,共20分)9.(2022西安模拟) 设向量a,b满足|a|=|b|=1,且|2a-b|=.(1)求|2a-3b|的值;(2)求向量3a-b与a-2b的夹角.【解析】(1)因为|2a-b|2=4a2-4ab+b2=4-4ab+1=5,所以ab=0,所以|2a-3b|=.(2)cos =,因为0,所以=.10.在平面直角坐标系xOy中,点A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1).(

6、1)求以线段AB,AC为邻边的平行四边形两条对角线的长.(2)设实数t满足(-t)=0,求t的值.【解析】(1)由=(3,5),=(-1,1),那么+=(2,6),-=(4,4).所以|+|=2,|-|=4.所以所求的两条对角线的长分别为4,2.(2)由,=(-2,-1),-t=(3+2t,5+t).由(-t)=0得(3+2t,5+t)(-2,-1)=0,所以5t=-11,所以t=-.(15分钟35分)1.(5分)(2022潮州模拟)向量a、b为单位向量,且a+b在a的方向上的投影为+1,那么向量a与b的夹角为()A.B.C.D.【解析】选A.设向量a与b的夹角为,因为向量a、b为单位向量,a

7、+b在a的方向上的投影为+1,所以(a+b)a=|a|,变形得1+ab=+1,即ab=11cos =cos =,又由0,那么=,应选A.2.(5分)(2022大同模拟) i,j为互相垂直的单位向量,a=i-2j,b=i+j,且a与b的夹角为锐角,那么实数的取值范围是()A.B.C.(-,-2)D.【解析】选C.不妨令i=(1,0),j=(0,1),那么a=(1,-2),b=(1,),因为它们的夹角为锐角,所以ab=1-20且a,b不共线,所以0,xR.假设函数f(x)=mn的最小正周期为.(1)求的值.(2)在ABC中,假设f(B)=-2,BC=,sin B=sin A,求的值.【解析】(1)

8、f(x)=mn=2sin xcos x+cos2x-sin2x=sin 2x+cos 2x=2sin.因为f(x)的最小正周期为,所以T=,又0,所以=1.(2)由(1)知f(x)=2sin.设ABC中角A,B,C所对边分别是a,b,c.因为f(B)=-2,所以2sin=-2,即sin=-1,又0B,解得B=.因为BC=,即a=,又sin B=sin A,所以b=a,b=3.由正弦定理得,=,解得sin A=.又0A,解得A=,所以C=,c=a=,所以=cacos B=cos =-.5.(10分)在如下图的平面直角坐标系中,点A(1,0)和点B(-1,0),|=1,且AOC=x,其中O为坐标原

9、点. (1)假设x=,设点D为线段OA上的动点,求|+|的最小值.(2)假设x,向量m=,n=(1-cos x,sin x-2cos x),求mn的最小值及对应的x值.【解析】(1)设D(t,0)(0t1),当x=时,可得C,所以+=,所以|+|2=+(0t1),所以当t=时,|+|2取得最小值为,故|+|的最小值为.(2)由题意得C(cos x,sin x),m=(cos x+1,sin x),那么mn=1-cos2x+sin2x-2sin xcos x=1-cos 2x-sin 2x=1-sin.因为x,所以2x+.所以当2x+=,即x=时,mn=1-sin取得最小值1-,所以mn的最小值

10、为1-,此时x=.1.向量与的夹角为,|=2,|=1,=t,=(1-t),|在t0时取最小值,当0t0时,cos 的取值范围为 ()A.B.C.D.【解析】选D.建立如下图的平面直角坐标系,那么由题意有:A(2,0),B(cos ,sin ),由向量关系可得:=t=(2t,0),=(1-t)=(1-t)cos ,(1-t)sin ),那么:|=|-|=,整理可得:|=,满足题意时:t0=-=-,据此可得三角不等式:0-,解得:-cos ,即cos 的取值范围是.2.圆O的半径为1,A,B是圆上的两点,且AOB=,MN是圆O的任意一条直径,假设点C满足=+(1-) (R),那么的最小值为_.【解析】由题意可得=(+)(+)=+(+)+,因为MN是圆O的任意一条直径,所以+=0,=-1,所以=+0-1=-1.要求的最小值问题就是求的最小值,因为=+(1-)(R),所以点C在直线AB上,那么当C在AB中点时,OCAB,OC最小为等边三角形AOB的高线为,此时=,故的最小值为-1=-.答案:- 7 -