高中数学必修2知识点.docx

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1、1.1 柱、锥、台、球的结构特征高中数学必修2知识点第一章空间几何体1棱柱：定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。表示：用各顶点字母，如五棱柱 ABCDE -A B C D E 或用对角线的端点字母，如五棱柱AD 几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且 相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。2棱锥定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何 体分类：以底面多边形的边数作为分类的

2、标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等 表示：用各顶点字母，如五棱锥 P-A BC D E几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。3棱台：定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的局部分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等表示：用各顶点字母，如五棱台 P -A B C D E 几何特征：上下底面是相似的平行多边形侧面是梯形侧棱交于原棱锥的顶点4圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几 何体几何特征：底面是全等的圆；母线与轴平行；轴与底面圆的半径垂直；侧面展开

3、图是一个矩形。5圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体几何特征：底面是一个圆；母线交于圆锥的顶点；侧面展开图是一个扇形。6圆台：定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的局部几何特征：上下底面是两个圆；侧面母线交于原圆锥的顶点；侧面展开图是一个弓形。7球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体 几何特征：球的截面是圆；球面上任意一点到球心的距离等于半径。1.2 空间几何体的三视图和直观图1 三视图：正视图：从前往后侧视图：从左往右俯视图：从上往下2 画三视图的原那么：长对齐、高对齐、宽相等3 直观图：斜二测画法4

4、 斜二测画法的步骤：1.平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴；2.平行于 y 轴的线长度变半，平行于 x，z 轴的线长度不变；3.画法要写好。5 用斜二测画法画出长方体的步骤：1画轴2画底面3画侧棱4成图1.3 空间几何体的外表积与体积一 空间几何体的外表积1 棱柱、棱锥的外表积： 各个面面积之和2 圆柱的外表积S =2prl +2pr 23 圆锥的外表积 S=prl+pr24 圆台的外表积S=prl+pr2+pRl+pR2二空间几何体的体积5 球的外表积S=4pR21 柱体的体积V =S底 h2 锥体的体积V =1ShS上S下3 底3 台体的体积V=4pR33V =13S上 + S下) h4 球

5、体的体积第二章 直线与平面的位置关系2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系1 平面含义：平面是无限延展的2 平面的画法及表示1平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450，且横边画成邻边的 2 倍长如图2平面通常用希腊字母、等表示，如平面、平面等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面 AC、平面 ABCD 等。3 三个公理：1公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内符号表示为DCA LAB= LAL BLA B公理 1 作用：判断直线是否在平面内A CB2公理 2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平

6、面。符号表示为：A、B、C 三点不共线 = 有且只有一个平面， 使 A、B、C。公理 2 作用：确定一个平面的依据。P L3公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。符号表示为：P =L，且 PL 公理 3 作用：判定两个平面是否相交的依据2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系1 空间的两条直线有如下三种关系：相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；共面直线平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。2 公理 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。符号表示为：设 a、b、c 是三条直线ab cb=ac强调：公理

7、4 实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。公理 4 作用：判断空间两条直线平行的依据。3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补4 注意点： a与 b所成的角的大小只由 a、b 的相互位置来确定，与O的选择无关，为简便，点O 一般取在两直线中的一条上；两条异面直线所成的角p(0，)； 当两条异面直线所成的角是2直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作 ab； 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形； 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。2.1.3 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系1、直线与平面有三种位

8、置关系：1直线在平面内 有无数个公共点2直线与平面相交 有且只有一个公共点3直线在平面平行 没有公共点指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用 来表示aa=Aa2.2 .直线、平面平行的判定及其性质2.2.1 直线与平面平行的判定 1、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行。简记为：线线平行，那么线面平行。符号表示：a b =a ab2.2.2 平面与平面平行的判定1、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行。符号表示：abP 2、判断两平面平行的方法有三种：1用定义；2判定定理；3垂直

9、于同一条直线的两个平面平行。2.2.3 直线与平面、平面与平面平行的性质ab = a b1、定理：一条直线与一个平面平行，那么过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。简记为：线面平行那么线线平行。符号表示：aaab= b。作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。 2、定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行 符号表示：=aab = b作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行2.3 直线、平面垂直的判定及其性质2.3.1 直线与平面垂直的判定1、定义如果直线 L 与平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线 L 与平面互相垂直，记Lp作 L，直线 L 叫做平面的垂线，

10、平面叫做直线 L 的垂面。如图，直线与平面垂直时, 它们唯一公共点 P 叫做垂足。2、判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直。 注意点：a)定理中的“两条相交直线这一条件不可无视；b)定理表达了“直线与平面垂直与“直线与直线垂直互相转化的数学思想。2.3.2 平面与平面垂直的判定1、二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形 A梭 l B2、二面角的记法：二面角-l-或-AB-3、两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直。2.3.3 直线与平面、平面与平面垂直的性质1、定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。2

11、 性质定理： 两个平面垂直，那么一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。本章知识结构框图平面公理 1、公理 2、公理 3、公理 4空间直线、平面的位置关系直线与直线的位置关系直线与平面的位置关系平面与平面的位置关系第三章直线与方程3.1 直线的倾斜角和斜率3.1 倾斜角和斜率1、直线的倾斜角的概念：当直线 l 与 x 轴相交时, 取 x 轴作为基准, x 轴正向与直线 l 向上方向之间所成的角叫做直线 l 的倾斜角.特别地,当直线 l 与 x 轴平行或重合时, 规定= 0.2、倾斜角的取值范围：0180.当直线l与x轴垂直时,=90.3、直线的斜率:一条直线的倾斜角(90)的正切值叫做这条

12、直线的斜率,斜率常用小写字母k 表示,也就是 k = tan当直线 l 与 x 轴平行或重合时, =0, k = tan0=0;当直线 l 与 x 轴垂直时, = 90, k 不存在.由此可知, 一条直线 l 的倾斜角一定存在,但是斜率 k 不一定存在.4、 直线的斜率公式:给定两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1x2,用两点的坐标来表示直线 P1P2 的斜率： 斜率公式: k=y2-y1/x2-x13.1.2 两条直线的平行与垂直1、两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行， 注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率

13、存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立即如果 k1=k2, 那么一定有 L1L22、两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即3.2.1 直线的点斜式方程1、直线的点斜式方程：直线l经过点y -y0 =k (x -x0 )P0 (x0 , y0 )， 且 斜 率 为 k2、直线的斜截式方程：直线l 的斜率为 k ，且与 y 轴的交点为(0,b)3.2.2 直线的两点式方程y =kx +b1 、 直 线 的 两 点 式 方 程 ： 已 知 两 点 P1 (x1 , x2 ), P2 (x2 , y2 ) 其 中 (

14、x1 x2 , y1 y2 )y-y1/y-y2=x-x1/x-x22、直线的截距式方程：直线l 与 x 轴的交点为 A (a,0) ，与 y 轴的交点为 B (0,b)， 其中 a 0,b 03.2.3 直线的一般式方程1、直线的一般式方程：关于 x, y 的二元一次方程 Ax +By +C = 0A，B 不同时为 02、各种直线方程之间的互化。3.3 直线的交点坐标与距离公式3.3.1 两直线的交点坐标1、给出例题：两直线交点坐标L1：3x+4y-2=0L1：2x+y+2=0P1P2=(x22- x+ y)2(21- y)2解：解方程组3x+4y-2=02x+2y+2=0得 x=-2，y=

15、2所以 L1 与 L2 的交点坐标为 M-2，23.3.2 两点间距离两点间的距离公式3.3.3 点到直线的距离公式Ax0 + By0 + C A2 + B 21点到直线距离公式：点 P(x0 , y0 ) 到直线l : Ax +By +C = 0的距离为： d =2、两平行线间的距离公式：两条平行线直线l1 和l2 的一般式方程为l1 ： Ax +By +C1 = 0 ，C1 -C2l2Ax+By+C2=0，那么l1与l2的距离为d=A2 +B 2第四章圆与方程4.1.1 圆的标准方程1、圆的标准方程： (x -a)2 + ( y -b)2 =r 2圆心为 A(a,b),半径为 r 的圆的方

16、程002、点 M (x , y ) 与圆(x -a)2 + ( y -b)2 =r 2 的关系的判断方法：0000001(x-a)2+(y -b)2r2，点在圆外2(x-a)2+(y-b)2=r2，点在圆上3圆内4.1.2 圆的一般方程 1、圆的一般方程： x2+y2+Dx+Ey+F=0(x-a)2 + ( y -b)2 r时，直线l与圆C相离；2当d=r时，直线l与圆C相切；3当 d r1+r2时，圆C1与圆C2相离；2当l=r1+r2时，圆C1与圆C2外切；3当| r1 -r2 |l r1 +r2 时，圆C1 与圆C2 相交；4当l=|r1-r2|时，圆C1与圆C2内切；5当l|r1-r2

17、|时，圆C1与圆C2内含；4.2.3 直线与圆的方程的应用1、利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系；2、过程与方法用坐标法解决几何问题的步骤：第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几 何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：将代数运算结果“翻译成几何结论4.3.1 空间直角坐标系1、点 M 对应着唯一确定的有序实数组(x, y, z) ， x 、 y 、 z 分别是 P、Q、R在 x 、 y 、 z 轴上的坐标2、有序实数组(x, y, z) ，对应着空间直角坐标系中的一点3、空间中任意点 M 的坐标都可以用有序实数组(x, y, z) 来表示，该数组叫做点 M 在此空间直角坐标系中的坐标，记 M (x, y, z) ， x 叫做点 M 的横坐标， y 叫做点 M 的纵坐标， z 叫做点 M 的竖坐标。4.3.2 空间两点间的距离公式1、空间中任意一点 P1 (x1 , y1 , z1 ) 到点 P2 (x2 , y2 , z2 ) 之间的距离公式PP=(x -x )2 +(y-y )2+(z-z)212121212