高中数学基础知识汇总[经典版](1).docx

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1、高中数学根底知识汇总经典版高中数学知识归纳汇总目录第一局部集合3第二局部函数与导数4第三局部三角函数、三角恒等变换与解三角形8第四局部立体几何10第五局部直线与圆12第六局部圆锥曲线14第七局部平面向量16第八局部数列17第九局部不等式19第十局部复数20第十一局部概率21第十二局部统计与统计案例22第十三局部算法初步23第十四局部常用逻辑用语与推理证明24第十五局部推理与证明25第十六局部理科选修局部26第一局部集合1N，Z，Q，R 分别表示自然数集、整数集、有理数集、实数集；2交集， A IB = x x A且x B.并集， A UB = x x A或x B.符号区分；31含n个元素的集合

2、的子集数为2n,非空子集数为2n1；真子集数为2n1；非空真子集的数为 2n-2；2ABAIB=AAUB=B;注意：讨论的时候不要遗忘了 A =f的情况。3CI(AUB)=(CIA)I(CI B);CI (A IB) = (CI A) U(CI B);4 f是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。第二局部函数与导数1定义域：抽象函数；f k(x)定义域，求 f g(x)定义域， k(x)与 g(x) 值域相同。具体可以参考本节第 4 点复合函数定义域求法。具体函数。分母不为 0，偶次根号下不为负数， a0 中 a 不为 0， tanq，loga x 中的 x 为正数。2值域：一元二次方程配方

3、法 ；换元法；别离参数法 ；3解析式：配方法 ；换元法；待定系数和；消去法。4复合函数的有关问题1复合函数定义域求法： 假设f(x)的定义域为a，b,那么复合函数 fg(x)的定义域由不等式 ag(x)b解出； 假设fg(x)的定义域为a,b,求 f(x)的定义域，相当于 xa,b时，求 g(x)的值域。2复合函数单调性的判定：首先将原函数 y =f g(x) 分解为根本函数：内函数u =g(x) 与外函数y =f (u) ；分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性；根据“同性那么增，异性那么减来判断原函数在其定义域内的单调性。注意：外函数 y =f (u) 的定义域是内函数u =g(x) 的

4、值域。5函数的奇偶性函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件； f (x) 是奇函数f (-x) =-f (x) f (-x) +f (x) = 0 f (-x) =-1 ；f (x) f(x) 是偶函数f (-x) =f (x) f (-x)-f (x) = 0 f (-x) = 1 ；f (x)奇函数 f (x) 在原点有定义，那么f (0) = 0 ；在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性；6函数的单调性单调性的定义：f(x)在 区间M上 是 增 函数x1 , x2 M , 当x1 x2 时 有f (x ) -f (x ) 0f (x1 ) -f

5、 (x2 ) 0 ；121212x1 -x2f(x)在 区间M上 是 减 函数x1 , x2 M , 当x1 0 (x -x ) f (x ) -f (x) 0f (x1 ) -f (x2 ) 0)f (x) 的周期为2a ；y =f (x) 的图象关于点(a,0), (b,0) 中心对称f (x) 周期为 2 a -b ；y =f (x) 的图象关于直线 x =a, x =b 轴对称f (x) 周期为 2 a -b ；y =f (x) 的图象关于点(a,0) 中心对称，直线 x =b 轴对称f (x) 周期为4 a -b ；8根本初等函数的图像与性质幂函数： y =xaaR)；指数函数： y

6、 =a x (a 0, a 1) ；对数函数: y = log a x(a 0, a 1) ；正弦函数: y = sin x ；余弦函数：y=cosx；6正切函数：y=tanx；一元二次函数：ax2+bx+c=0；其它常用函数： 正比例函数： y =kx(k 0) ；反比例函数： y =ak(k0) ；特别的 y=1xx 函 数y =x +(a 0) ；x9二次函数：解析式：一般式： f(x) =ax2+bx+c；顶点式： f(x) =a(x-h)2+k， (h, k) 为顶点；零点式： f (x) =a(x -x1 )(x -x2 ) 。二次函数问题解决需考虑的因素：开口方向；对称轴；端点值

7、；与坐标轴交点；判别式；两根符号。二次函数问题解决方法：数形结合；分类讨论。10函数图象：图象作法 ：描点法 特别注意三角函数的五点作图图象变换法图象变换： 平移变换： y =f (x) y =f(xa)，(a0)左“+右“-；y =f (x) y =f(x)k,(k0)上“+下“-； 伸缩变换：1 y =f (x) y =f (wx) ， w 0) 纵坐标不变，横坐标伸长为原来的 w倍； y =f (x) y =Af (x) ，A 0) 横坐标不变，纵坐标伸长为原来的 A 倍； 对称变换： y =f(x)(0,0)y=-f(-x)；y=f(x)y=0y=-f(x)； y =f(x)x=0y=

8、f (-x) ； 翻转变换：y =f (x) y =f(|x|)右不动，右向左翻f(x)在y左侧图象去掉；y=f(x)y=|f(x)|上不动，下向上翻|f(x)|在x下面无图象；11函数图象曲线对称性的证明(1)证明函数 y =f (x) 图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心对称轴的对称点仍在图像上；2证明函数 y =f (x) 与 y =g(x) 图象的对称性，即证明 y =f (x) 图象上任意点关于对称中心对称轴的对称点在 y =g(x) 的图象上，反之亦然；注意上述两点的区别！注：曲线 C1:f(x,y)=0 关于点a,b的对称曲线 C2方程为：f(2ax,2by)=0;曲线

9、C1:f(x,y)=0 关于直线 x=a 的对称曲线 C2方程为：f(2ax, y)=0;曲线 C1：f(x,y)=0,关于 y=x+a(或 y=x+a)的对称曲线 C2的方程为 f(ya,x+a)=0(或 f(y+a,x+a)=0);f(a+x)=f(bx) xRy=f(x)图像关于直线 x=a +b2对称；特别地：f(a+x)=f(ax) xRy=f(x)图像关于直线 x=a 对称；函数 y=f(xa)与 y=f(bx)的图像关于直线 x= a +b 对称；212函数零点的求法：直接法求f(x)=0的根；图象法；.13导数导数定义：f(x)在点 x0处的导数记作 y=f (x ) = li

10、mf (x0 +Dx) -f (x0 ) ；x=x00Dx0Dx常见函数的导数公式: C = 0 ； (xn ) =nxn-1 ； (sin x) = cos x ；a(cos x) =-sin x ；(a x ) =a x ln a ；(ex ) =ex ；(logx) =1；x ln a (ln x) =1 。x导数的四那么运算法那么： (uv)=uv;(uv)=uv+u =uv -uv;理科复合函数的导数：yx=yuux;uv ;( )vv2导数的应用：利用导数求切线：注意：所给点是切点吗？所求的是“在还是“过该点的切线？利用导数判断函数单调性： f (x) 0 f (x) 是增函数；

11、f (x) 0 f (x) 为减函数； f (x) 0 f (x) 为常数；利用导数求极值：求导数 f(x) ；求方程 f(x) =0的根；列表得极值。利用导数最大值与最小值：求的极值；求区间端点值如果有；得最值。14理科定积分b定积分的定义：anf (x)dx = limni=1b -a nf (xi )bb定积分的性质：akf(x)dx=kaf(x)dxbbk常数；bcbaf1(x)f2(x)dx=af1(x)dxaf2(x)dx；baf(x)dx=af(x)dx+cf(x)dx其中a c b) 。微积分根本定理牛顿莱布尼兹公式：b f (x)dx =F(x) |b =F(b) -F(a)

12、aab定积分的应用：求曲边梯形的面积：S=a|f(x)-g(x)|dx；bb求变速直线运动的路程：S=av(t)dt；求变力做功：W=aF(x)dx。第三局部三角函数、三角恒等变换与解三角形1角度制与弧度制的互化： p弧度= 180o，1o=p弧度，1弧度=180弧长公式： l =qR ；扇形面积公式： S =1 qR2 =1 Rl 。180)o 57o18(p222三角函数定义：角a中边上任意一点 P 为(x, y) ，设| OP |=r 那么：sin a=y , cosa=x , tana=yrrx3三角函数符号规律：一全正，二正弦，三两切，四余弦；4诱导公式记忆规律：“奇变偶不变，符号看

13、象限；kp+p-jkp-jw5y=Asin(wx+j)对称轴：x= 2；对称中心：(w,0)(k Z ) ；kp+p-jy=Acos(wx+j)对称轴：x=kp-j；对称中心：(2,0)(kZ)；w6同角三角函数的根本关系： sin2x+cos2x=1; sinxcosxw= tan x；7. 三角函数的单调区间y = s i nx 的递增区间是2kp-p2,2kp+p(k Z ) ，递减区间是22kp+p,2kp+3p(k Z ) ；22y = cos x 的递增区间是2kp-p,2kp(k Z) ，递减区间是2kp,2kp+p(k Z)y = tan x 的递增区间是(kp-p, kp+p

14、) (k Z )22y = cot x 的递减区间是(kp, kp+p)(k Z)8两角和与差的正弦、余弦、正切公式： sin(ab) = sinacos b cosasin b;tana tan bcos(ab)=cosacosbmsinasinb;tan(ab)=9. 倍角公式： sin 2a= 2sinacosa；1mtanatanb。二cos2a=cos2a-sin2a=2cos2 a-1=1-2sin2a；tan2a= 2 tan a。1 -tan 2 a10正、余弦定理：a正弦定理：sin A=bsinB=csinC=2R2R 是DABC 外接圆直径 注： a: b: c=sinA

15、: sinB: sinC； a=2RsinA,b =2RsinB, c = 2R sin C ；a=sin AbsinB=csinC=a+b+c。sin A + sin B + sin C余弦定理：a211。几个公式:=b2+ c2b2 +c2 -a 2- 2bccosA等三个；注：cosA=等三个。2bc11三角形面积公式： SDABC2S=ah=absinC；22abc内切圆半径r=DABC；外接圆直径2R=a +b +csinA=sinB=;sin C11a,b, A 时三角形解的个数的判定：C其中 h=bsinA,A 为锐角时：ah 时，无解；ba=h时，一解直角；hab时，A一解锐角

16、。第四局部立体几何21三视图与直观图：注：原图形与直观图面积之比为2:1。2表侧面积与体积公式：柱体：外表积：S=S 侧+2S 底；侧面积：S 侧= 2prh ；体积：V=S 底 h1锥体：外表积：S=S 侧+S 底；侧面积：S 侧= prl ；体积：V=3S 底 h：台体：外表积：S=S 侧+S 上底 S 下底；侧面积：S 侧= p(r +r )l ；1体积：V=S+3+S h；SS 球体：外表积：S=4pR2；体积：V=4pR3。33位置关系的证明主要方法：直线与直线平行：公理 4；线面平行的性质定理；面面平行的性质定理。直线与平面平行：线面平行的判定定理；面面平行线面平行。平面与平面平行

17、：面面平行的判定定理及推论；垂直于同一直线的两平面平行。直线与平面垂直：直线与平面垂直的判定定理；面面垂直的性质定理。平面与平面垂直：定义-两平面所成二面角为直角；面面垂直的判定定理。注：理科还可用向量法。4.求角：步骤-。找或作角；。求角异面直线所成角的求法： 平移法：平移直线，构造三角形； 补形法：补成正方体、平行六面体、长方体等，发现两条异面直线间的关系。注：理科还可用向量法，转化为两直线方向向量的夹角。直线与平面所成的角：直接法利用线面角定义；先求斜线上的点到平面距离h，与斜线段长度作比，得 sinq。注：理科还可用向量法，转化为直线的方向向量与平面法向量的夹角。5结论：a2 + b2

18、 + c2长方体从一个顶点出发地三条棱长分别为a，b，c，那么对角线长为， 全面积为2ab+2bc+2ca；长方体体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为a, b,g, 那么：cos2a+cos2b+cos2g=1；sin2a+sin2b+sin2g=2 正方体的棱长为 a，那么对角线长为3a ，全面积为 6 a 2 ，体积为a 3 长方体或正方体的外接球直径 2R 等于长方体或正方体的对角线长；(4)正四面体的性质：设棱长为a ，那么正四面体的： 高： h =a；对棱间距离：a；623266内切球半径：a；外接球半径：a；124第五局部直线与圆1直线方程点斜式：y -y=k(x -x )

19、；斜截式：y =kx +b ；截距式：x +y = 1 ；ooab两点式： y-y1y2 -y1=x -x1 x2 -x1；一般式：Ax+By+C=0，A，B不全为0。直线的方向向量：B,-A)，法向量A,B)2求解线性规划问题的步骤是：1列约束条件；2作可行域，写目标函数；3确定目标函数的最优解。3两条直线的位置关系：直线方程平行的充要条件垂直的充要条件备注l1 : y = k1 x + b1 l2 : y = k2 x + b2k1 = k2,b1 b2k1 k2 = -1l1 , l2 有斜率l1 : A1 x + B1 y + C1 = 0l2 : A2 x + B2 y + C2 =

20、 0A1 B2 =A2 B1 , 且B1C2 B2C1 验证A1 A2 + B1 B2 = 0不可写成分式4直线系：直线方程y = kx + bAx + By + C = 0平行直线系y = kx + mAx + By + m = 0垂直直线系y = - 1 x + m kBx - Ay + m = 0相交直线系A1 x + B1 y + C1 + l(A2 x + B2 y + C2 ) = 05几个公式设Ax1,y1、B(x2,y2)、Cx3,y3，ABC的重心G：x1+x2+x3,y1+y2+y3；33Ax0 + By0 + CA2 + B 2点Px0,y0到直线Ax+By+C=0的距离

21、：d=；C1 - C2A2 + B 2两条平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0的距离是d=；6圆的方程：标准方程： (x -a)2 + ( y -b)2 =r 2 ； x2 +y 2 =r 2 。一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0D2+E2-4F0)注：Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 表示圆A=C0 且 B=0 且 D2+E24AF0；7圆的方程的求法：待定系数法；几何法；圆系法。8圆系： x2 +y2 +D x +E y +F +l(x2 +y2 +D x +E y +F ) = 0, (l-1) ；111222注：当l=-1时表示两圆交线。 x2 +y2 +D

22、x +Ey +F +l(Ax +By +C) = 0, (l-1) 。9点、直线与圆的位置关系：主要掌握几何法点与圆的位置关系：d表示点到圆心的距离 d =R 点在圆上； d R 点在圆外。直线与圆的位置关系：d表示圆心到直线的距离r 2 - d 2d=R相切；dR 相离。圆与圆的位置关系：d表示圆心距，R,r表示两圆半径，且Rr d R +r 相离； d =R +r 外切； R -r d R +r 相交； d =R -r 内切； 0 d | F1 F2 |) ；双曲线： | MF1 | - | MF2 |= 2a, (2a 0 (1 + k 2 )(x + x )2 - 4x x 121 2

23、p21 + k 2弦长公式： AB =x2-x1 =1 + 1k 2(1 +) ( y + y ) - 4 y y 12k 2121 2=y2 -y1 =；注：抛物线焦点弦长：ABx1+x2+p通径最短弦：椭圆、双曲线：2b2；抛物线：2p。a 过两点的椭圆、双曲线标准方程可设为： mx2 +ny 2 = 1时表示椭圆，mn0,b0的渐近线： x 2 -y 2= 0 ；a2b2a2b2共渐进线 y =b x 的双曲线标准方程为 x 2 -y 2=l(l为参数，l0；2aa2b2双曲线为等轴双曲线e =3直线与圆锥曲线问题解法：渐近线为 y =x 渐近线互相垂直；直接法通法：联立直线与圆锥曲线方

24、程，构造一元二次方程求解。注意以下问题：联立的关于“ x 还是关于“ y 的一元二次方程？直线斜率不存在时考虑了吗？判别式验证了吗？设而不求代点相减法或叫点差法：-处理弦中点问题步骤如下：设点 A(x ，y )、B(x ,y )；作差得k=y1 -y2=LL；解1122决问题。4求轨迹的常用方法：12AB-xx1定义法：利用圆锥曲线的定义；2直接法列等式；3代入法相关点法或转移法；待定系数法；5参数法；6交轨法。第七局部平面向量设 a=(x1,y1),b=(x2,y2)，那么： ab(b0) a= lb lR) x1y2x2y1=0；ab(a、b0)ab=0x1x2+y1y2=0.ab=|a|

25、b|cos=x2+y1y2；注：|a|cos叫做 a在 b方向上的投影；|b|cos叫做 b在 a方向上的投影； ab 的几何意义：ab 等于|a|与|b|在 a 方向上的投影|b|cos 的乘积。a bcos=；22| a | b |4a=a a =aa=a2x2 + y 2三点共线的充要条件P，A，B 三点共线OP =xOA +yOB(且x + y = 1) ；附：理科P，A，B，C四点共面OP=xOA+yOB+zOC(且x+y+z=1)。第八局部数列1定义：等差数列anan+1-an=d(d为常数2an=an+1+an-1(n2,nN*)an =kn +b sn =An 2 +Bn ；等

26、比数列an an+1an=q(q 0) an2 =an-1an+1(n 2, n N)na =cq n (c, q均为不为0的常数 Sn = k - kqn (q 0, q 1, k 0) ；2等差、等比数列性质等差数列等比数列通项公式an = a1 + (n -1)da = a qn-1n1前 n 项和S = n(a1 + an ) = na + n(n -1) dn2121.q = 1时，Sn = na1 ;a (1 - q n ) 2.q 1时，S = 1n1 - q= a1 - an q1 - q性质an=am+ (nm)d,an=amqn-m;m+n=p+q 时 am+an=ap+a

27、qm+n=p+q 时 aman=apaq Sk , S2k - Sk , S3k - S2k ,L 成 AP Sk , S2k - Sk , S3k - S2k ,L 成 GP ak , ak +m , ak +2m ,L 成 AP, d = md ak , ak +m , ak +2m ,L 成 GP, q = qm3数列通项的求法：定义法利用AP,GP的定义；2累加法an+1-an=cn型；3公式法：a=S1(n=1)累乘法an+1ann=cnSnSn-1(n2)型；变形构造法an+1=kan+ b、an-1- an= 4an an-1 1an-1an-1= 4 等类型；4前n 项和的求法

28、：1倒序相加法；2错位相减法。3裂项相消法；4分组求和法5等差数列前 n 项和最值的求法：数列思想an 0 an 0 ；函数思想利用二次函数的图象或an+1 0an+1 0与性质。第九局部不等式1均值不等式：a +b aba 2 + b222注意：一正二定三相等；变形，2不等式的性质：ab (a+b)22a 2 +b 2 。2a b b b,b c a c ；a b a +c b +c ；a b, c d a +c b +d ；a b, c 0 ac bd ；a b, c 0 ac b 0,n ac d 0 ac bd ；ab0anbn0(nN*)；6ab04不等式等证明主要方法：比拟法：作差

29、或作比；综合法；分析法。第十局部复数n b(n N *) 。1概念：z=a+biR b=0 (a,bR) z= z z20；z=a+bi 是虚数b0(a,bR)；z=a+bi 是纯虚数a=0 且 b0(a,bR) z z 0z0z20 时，变量 x, y 正相关； r 0 时，变量 x, y 负相关； | r |越接近于 1，两个变量的线性相关性越强；| r |接近于 0 时，两个变量之间几乎不存在线性相关关系。3判断两个变量线性相关性还可以通过画出散点图进行分析4独立性检验分类变量关系：随机变量 K 2 越大，说明两个分类变量，关系越强，反之，越弱。第十三局部算法初步1程序框图：图形符号：终

30、端框起止况；输入、输出框；连接点。处理框执行框；判断框；流程线；程序框图分类:顺序结构：条件结构：循环结构：输入 ni=2r=0?否 是n 不是质素n 是质数i n 或 r=0?否 是i=i+1求 n 除以 i 的余数第十四局部常用逻辑用语与推理证明1 四种命题：原命题：假设p那么q；逆命题：假设q那么p；否命题：假设p那么q；逆否命题：假设q那么p注：原命题与逆否命题等价；逆命题与否命题等价。2充要条件的判断：1定义法-正、反方向推理；2利用集合间的包含关系：例如：假设A B ，那么A 是 B 的充分条件或 B 是 A的必要条件；假设A=B，那么A 是 B 的充要条件；3逻辑连接词：pq24

31、p qp q p且(and) ：命题形式 p q；或or：命题形式 p q；真真真真假非not：命题形式 p .真假假真假假真假真真假假假假真4全称量词与存在量词 全称量词-“所有的、“任意一个等，用表示； 全称命题 p： x M , p(x) ；全称命题 p 的否认p： $x M , p(x) 。 存在量词-“存在一个、“至少有一个等，用$表示； 特称命题 p： $x M , p(x) ；特称命题 p 的否认p： x M , p(x) ；第十五局部推理与证明数学归纳法仅限理科一般的证明一个与正整数n 有关的一个命题，可按以下步骤进行：证明当n 取第一个值n0 是命题成立；0假设当n =k(k

32、n, k N *) 命题成立，证明当n =k +1时命题也成立。那么由就可以判定命题对从n0 开始所有的正整数都成立。这种证明方法叫数学归纳法。注：数学归纳法的两个步骤缺一不可，用数学归纳法证明问题时必须严格按步骤进行； n0 的取值视题目而定，可能是 1，也可能是 2 等。第十六局部理科选修局部1 排列、组合和二项式定理排列数公式:Am=n(n-1)(n-2)(n-m1)=(nn!(mn,m、nN*),当 m=n 时为全排nn列An=n(n-1)(n-2)3.2.1=n!;-m)!Am组合数公式： C m =n=n(n-1)(n-m-1)mn,C0=Cn= 1；nnm!m(m-1)(m-2)321n组合数性质： C