221椭圆及其标准方程.ppt

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1、 在我们的生活中，有许多这样形状的在我们的生活中，有许多这样形状的几何体，想想它们有怎样的几何特征？几何体，想想它们有怎样的几何特征？观察与分析观察与分析探究：探究： 取一条定长的细绳，把它的两端都固定取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一点处，套上铅笔，拉紧细绳，在图板的同一点处，套上铅笔，拉紧细绳，移动笔尖，这样画出的是一个圆移动笔尖，这样画出的是一个圆.如果把细绳如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两点处，套上铅笔，拉紧细绳，移动笔尖，画点处，套上铅笔，拉紧细绳，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线呢？出的轨迹是什么曲线呢？ 在上述的过程

2、中，移动的笔尖（动点）满在上述的过程中，移动的笔尖（动点）满足什么样的几何条件呢？足什么样的几何条件呢？ 下面让我们一起来学习研究这样的轨迹下面让我们一起来学习研究这样的轨迹曲线曲线椭圆椭圆.知识与能力：知识与能力：理解椭圆的概念，掌握椭圆的定义、理解椭圆的概念，掌握椭圆的定义、会用椭圆的定义解决实际问题；会用椭圆的定义解决实际问题； 理解椭圆标准方程的推导过程及化理解椭圆标准方程的推导过程及化简无理方程的常用的方法；简无理方程的常用的方法； 了解求椭圆的动点的伴随点的轨了解求椭圆的动点的伴随点的轨迹方程的一般方法迹方程的一般方法. .过程与方法：过程与方法：注重数形结合，掌握解析法研究几何问

3、注重数形结合，掌握解析法研究几何问题的一般方法；题的一般方法；注重探索能力的培养注重探索能力的培养.情感态度与价值观：情感态度与价值观：探究方法激发学生的求知欲，培养浓探究方法激发学生的求知欲，培养浓厚的学习兴趣厚的学习兴趣;进行数学美育的渗透，用哲学进行数学美育的渗透，用哲学的观点指导学习的观点指导学习.椭圆定义的理解及标准方程的推导椭圆定义的理解及标准方程的推导重点：重点：难点：难点： 标准方程的推导标准方程的推导 从上述的探究中，我们可以知道：把细从上述的探究中，我们可以知道：把细绳的两端拉开一段距离，移动笔尖的过程中，绳的两端拉开一段距离，移动笔尖的过程中，细绳的长度保持不变，即笔尖到

4、两个定点的细绳的长度保持不变，即笔尖到两个定点的距离和等于常数距离和等于常数.椭圆：椭圆：平面内与两个定点平面内与两个定点F1，F2的距离的和等的距离的和等于常数（大于于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹）的点的轨迹.这两个定点这两个定点叫做叫做椭圆的焦点椭圆的焦点，两个焦点间的距离叫做，两个焦点间的距离叫做椭圆椭圆的焦距的焦距.yxMF1F2Occ图图2.2-1 类比利用圆的对称性类比利用圆的对称性建立圆方程的过程，画出建立圆方程的过程，画出适当的坐标系，建立它的适当的坐标系，建立它的方程方程. 如图如图2.2-1，以经过两焦点，以经过两焦点F1,F2的直线为的直线为x轴，线段轴，线段F1F

5、2的垂直平分线为的垂直平分线为y轴，建立直角轴，建立直角坐标系坐标系xOy.yxMF1F2Occ图图2.2-1 设设M（x，y）是椭）是椭圆上任意一点，椭圆的圆上任意一点，椭圆的焦距为焦距为2c（c0）,那么那么焦点焦点F1,F2的坐标分别为的坐标分别为（c，0）（）（c，0）.又又设设M与与F1，F2的距离等的距离等于于2a.由椭圆的定义，椭圆就是集合由椭圆的定义，椭圆就是集合P=M|MF1|+|MF2|=2a. 因为因为|MF1|= ，|MF2|= ，所以所以22+（）x -cy 化简此方程，将左边的一个根式移到右边，化简此方程，将左边的一个根式移到右边，得：得：2222+= 2+（）（）

6、，x+cyax -cy2222+= 2（）（）x+cyx -cya将这个方程两边平方，得将这个方程两边平方，得222222+= 4-4-+（）（）xcyaax cy整理得整理得,222-=(- ) +acxax cy22+（）xcy上式两边再平方，得上式两边再平方，得 a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2，整理得整理得 （a2-c2）x2+a2y2=a2(a2-c2),两边同除以两边同除以a2(a2-c2),得得 += 122222xyaa- c 由椭圆的定义可知，由椭圆的定义可知，2a2c，即，即ac，所以，所以，a2-c20.yxPF1F2O图图2.2-2观

7、察与分析观察与分析 观察图观察图2.2-2，你能，你能从中找出表示从中找出表示a，c，的线段吗？的线段吗？22a +c 由图可知，由图可知，|PF1|=|PF2|=a，|OF1|=|OF2|=c，|PO|= , 令令b=|PO|= ，那么，那么式就是式就是 22a -c22a -c12222xy+=ab（ab0） 我们把方程我们把方程叫做叫做椭圆的标准方程椭圆的标准方程，椭圆上，椭圆上任意一点的坐标都满足此方程任意一点的坐标都满足此方程.它的焦点在它的焦点在x轴上，轴上，两个焦点分别是两个焦点分别是F1（-c，0），），F2（c，0）这里这里的的c2=a2-b2.yxMF1F2O图图2.2-3

8、 如图如图2.2-3，如果焦点，如果焦点F1,F2在在y轴上，且轴上，且F1,F2的坐的坐标分别为（标分别为（0，-c），（），（0，c），），a，b的意义同上，那的意义同上，那么椭圆的方程是什么？么椭圆的方程是什么？容易知道，此时椭圆的方程是容易知道，此时椭圆的方程是12222yx+=ab(ab0)这个方程也是椭圆的标准方程这个方程也是椭圆的标准方程.例例1： 已知椭圆的两个焦点坐标分别已知椭圆的两个焦点坐标分别是（是（-2，0），（），（2，0），并且经），并且经过点过点 ，求它的标准方程，求它的标准方程. 53-22（ ， ）解：解：因为椭圆的焦点在因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的轴上

9、，所以设它的标准方程为标准方程为继续解答继续解答2222xy+= 1ab（ab0）.由椭圆的定义知由椭圆的定义知222253532a =+2+ -+-2+ -= 2 102222（） （）（） （），所以所以 .10a = 又因为又因为c=2，所以，所以b2=a2-c2=10-4=6.因此，所求椭圆的标准方程为因此，所求椭圆的标准方程为22xy+=1.106例例2： 中心在原点，一焦点为中心在原点，一焦点为F1（0，5）的）的椭圆被直线椭圆被直线y=3x2截得的弦的中点横坐截得的弦的中点横坐标是标是 ，求此椭圆的方程，求此椭圆的方程. 12解：解：设椭圆的标准方程为：设椭圆的标准方程为： 22

10、22xy+= 1ab（ab0），则则a2b2=50 又设又设A（x1，y1），），B（x2，y2），弦），弦AB中点（中点（x0，y0）x0= ，y0= 2= .123212继续解答继续解答解解，得：得：a2=75，b2=25，椭圆为：，椭圆为：2211222222121222222222yx+= 1y- yx- xab= -abyx+= 1ab由由212AB212y -yak= -x -xb2200 x= 3a = 3by22yx+= 1 .7 52 5例例3：yxOABM图图 2.2-4 如图如图2.2-4，设点，设点A,B的坐标分别为（的坐标分别为（-5，0），（），（5，0）.直线直线

11、AM,BM相交于点相交于点M,且且它们的斜率之积是它们的斜率之积是 ，求点求点M的轨迹方程的轨迹方程.9-4分析分析 设点设点M的坐标为（的坐标为（x，y），那么直），那么直线线AM，BM的斜率就可以用含有的斜率就可以用含有x，y的式子表示的式子表示.由于直线由于直线AM,BM的斜率之的斜率之积是积是 ，因此可以建立，因此可以建立x，y之间的关之间的关系式，得出点系式，得出点M的轨迹方程的轨迹方程.9-4 解：解：设点设点M的坐标为（的坐标为（x，y），因为点），因为点A的的坐标是（坐标是（-5，0），所以，直线），所以，直线AM的斜率为的斜率为继续解答继续解答AM =ykx + 5（x -5

12、）；）；同理，直线同理，直线BM的斜率的斜率B M=ykx - 5（x 5）.由已知有由已知有9-4yyx+5x -5（x5）化简，得点化简，得点M的轨迹方程为的轨迹方程为22xy+= 11 0 02 59（ x5 ）.1. 椭圆：椭圆： 平面内与两个定点平面内与两个定点F1，F2的距离的和等的距离的和等于常数（大于于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹）的点的轨迹.这两个定这两个定点叫做点叫做椭圆的焦点椭圆的焦点，两个焦点间的距离叫做，两个焦点间的距离叫做椭圆的焦距椭圆的焦距.2. 椭圆的标准方程：椭圆的标准方程：（1）焦点在）焦点在x轴上：轴上：12222xy+=ab（ab0）焦点坐标分别为

13、焦点坐标分别为（-c，0），（），（c，0）.（2）焦点在）焦点在y轴上：轴上：12222yx+=ab(ab0)焦点坐标分别为（焦点坐标分别为（0，-c），（），（0，c）.1.（2008北京文）北京文）已知已知ABC的顶点的顶点A，B在在椭圆上，椭圆上，C在直线在直线l:y=x+2上，且上，且ABl.（）当）当AB边通过坐标原点边通过坐标原点O时，求时，求AB的长的长及及ABC的面积；的面积；（）当）当ABC=90，且斜边，且斜边AC的长最大的长最大时，求时，求AB所在直线的方程所在直线的方程.继续解答继续解答解解：（：（）因为）因为ABl，且，且AB边通过点（边通过点（0，0），所以），所

14、以AB所在直线的方程为所在直线的方程为y=x.设设A，B两点坐标分别为（两点坐标分别为（x1,y1）,(x2,y2).由由 得得x=1，所以所以22+3= 4,=xyyx.12=2-= 2 2ABxx 又因为又因为AB边上的高边上的高h等于原点到直线等于原点到直线l的距的距离，所以离，所以ABC1=2S=AB= 22hh（）设）设AB所在直线的方程为所在直线的方程为y=x+m. 由由 得得 因为因为A，B在椭圆上，在椭圆上，所以所以 设设A，B两点坐标分别为（两点坐标分别为（x1,y1），（），（x2,y2）.则则22+ 3= 4,=+xyyxm.224+6+3-4 = 0 xmxm2=-12

15、m +64 0.2121 23m3m -4x +x =-,xx =,24所以所以 又因为又因为BC的长等于点（的长等于点（0,m）到直线）到直线l的距离，的距离，即即所以所以 所所以当以当m=-1时，时，AC边最长边最长.（这时（这时 =-12+640）此时此时AB所在直线的方程为所在直线的方程为y=x-1.21232-6mAB =2 x -x=.22-mBC =.222222AC = AB +BC =-m -2m+10=-(m+1) +11.（1）求椭圆）求椭圆C的方程；的方程； （2）若）若AB为垂直与为垂直与x轴的动弦，直线轴的动弦，直线l:x=4与与x轴轴交于交于N，直线，直线AF与与

16、BN交于点交于点M. 求证：点求证：点M恒在椭圆恒在椭圆C上；上； 求面积的最大值求面积的最大值. 2. (2008福建文福建文) 如图，椭圆的如图，椭圆的一个焦点为一个焦点为F（1，0）且过点）且过点（2，0）.解：（解：（1）由题设）由题设a=2,c=1,从而从而 所以方程为：所以方程为： 2223,bac22xy+= 143（2）有有F(1,0),N(4,0); 设设A（m,n），则），则B（m,-n），），AF与与BN得方程分别为：，得方程分别为：，设交点设交点M坐标为坐标为 ，则，则 ；点；点M恒在椭圆恒在椭圆C上上.n(x-1)-(m-1)y = 0,n(x-4)-(m-4)y =

17、 000(.)xy005m-83nx =,y =2m-52m-52222002xy(5m-8) +36-9m+=1434(2m-5)设设AM的方程为的方程为x=ty+1,带入带入 ，得：得：设设 ，则有，则有则则 ，令令 则则 所以当所以当 时，时， 有最大值有最大值3，此时此时AM过点过点F. 有最大值为有最大值为 .22143xy22(3t +4)y +6y-9 = 01122( ,),(,)A x yM xy121222-6t-9y +y =,y y =3t +43t +42122433t+ 3y- y=3t+ 4234(4)t 110,4412yyAMN121213S=FN y -y=

18、y -y22921224k6,x x = -1-k1-k 3. 如图、椭圆的一个焦如图、椭圆的一个焦点是点是F（1，0），），O为坐标为坐标原点原点.（）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；焦点构成正三角形，求椭圆的方程；（）设过点）设过点 F 的直线的直线 l 交椭圆于交椭圆于A、B两点两点.若直线若直线 l 绕点绕点F任意转动，值有，求任意转动，值有，求 a 的取值的取值范围范围.解：解：()设设M，N为短轴的两为短轴的两个三等分点，因为个三等分点，因为MNF为为正三角形，所以正三角形，所以, 即即1 . 因此，椭圆方程为因此，

19、椭圆方程为3O F =M N232b,b323解 得22a = b +1= 4,22xy+= 1.43()设设 ()当直线当直线 AB与与x轴重合时，轴重合时， ()当直线当直线AB不与不与x轴重合时，轴重合时， 设直线设直线AB的方程为：的方程为： 整理得整理得 所以所以1122( ,), (,).A x yB xy222222222OA + OB= 2a , AB= 4a (a 1),OA + OB0,所以所以-m2a2b2+b2-a2b2+a2 a2 -a2b2+b2对对m R恒成立恒成立.222OA + OB AB11221212OA OB=(x ,y ) (x ,y )= x x +

20、y y 0 21 21212121212x x +y y =(my +1)(my +1)+y y =(m +1)y y +m(y +y )+12222222222222222222222(m+ 1)(b- a b )2b m=-+ 1a+ b ma+ b m-m a b+ b- a b+ a= 0.a+ b m 当当m R时，时，a2b2m2最小值为最小值为0，所以，所以 a2- a2b2+b20. a2a2b2- b2, a20,b0,所以所以a0,解得解得a 或或a ,综合（综合（i）(ii)，a的取值范围为（的取值范围为（ ，+）.1 1 + +5 52 21 1 - -5 52 21

21、1+ +5 52 21 1+ +5 52 21. 填空题填空题（1）设是椭圆）设是椭圆 上的一点，上的一点，F1F2是椭圆的两个焦点，则是椭圆的两个焦点，则 的最大值的最大值为为 ；最小值为；最小值为 .2214xy1 12 2P PF FP PF F41（2）椭圆）椭圆 的离心率为的离心率为 ，则，则m= . 2 22 2x xy y+ += = 1 14 4m m123或或1632.选择题选择题（1）椭圆）椭圆 的焦距是（的焦距是（ ） A2 B C D63222 yx)23(252)23(2（2）若椭圆的两焦点为（）若椭圆的两焦点为（2，0）和）和 （2，0），且椭圆过点），且椭圆过点

22、，则椭，则椭圆方程是（圆方程是（ ） A B C D5353(,-)(,-)22222 22 2y yx x+ += = 1 18 84 42 22 2y yx x+ += = 1 11 10 06 62 22 2y yx x+ += = 1 14 48 82 22 2x xy y+ += = 1 11 10 06 6AD3.解答题解答题解：解： e2= 椭圆方程可设为：椭圆方程可设为： 设设A（x，y）是椭圆上任一点，则：）是椭圆上任一点，则：PA2=x2+（y ）2=3y23y+4b2+ f（y）（）（byb）.2222a -bb3=1-( ) =a=2baa42222xy+= 1(b0)

23、4bb9423 (1)设椭圆的中心是坐标原点，长轴在设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴轴上，离心率上，离心率e= ，已知点，已知点P（0， ）到椭圆）到椭圆上的点的最远距离是，求这个椭圆方程上的点的最远距离是，求这个椭圆方程. 2323讨论：讨论：1、b 0b 时，时，PA = f（b）=（b ）2 = 但但b ，矛盾，矛盾.不合条件不合条件. 2、b b 时，时，PA = f（ ）=4b2+3=7 b2=1 所求椭圆为：所求椭圆为：21212max2323(7)b =7 -22121212max2122x+ y = 14（2）椭圆的一个顶点为）椭圆的一个顶点为A（2，0），其长轴），其长轴长

24、是短轴长的长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程倍，求椭圆的标准方程解：解：（1）当）当 A（2，0）为）为 长轴端点时，长轴端点时， ，椭圆的标准方程为：椭圆的标准方程为： ； （2）当）当 A（2，0）为短轴端点时，）为短轴端点时， ，椭圆的标准方程为：椭圆的标准方程为： .a = 2,b =122xy+= 141b2,a422xy+=1416（3）求与椭圆）求与椭圆 =1有相等的焦距，且有相等的焦距，且一条准线方程为一条准线方程为12x-169=0的椭圆的标准方程的椭圆的标准方程. x256y2200 解：解：c2=200-56=144，c=12，又又 = ，a=13，b=5. 故所求为故所

25、求为 =1. ac216912x2169y2251.14.【提示】：【提示】：根据椭圆的定义，根据椭圆的定义，|PF1|+|PF2|=20,因因为为|PF1|=6,所以所以|PF2|=14.2.（1） （2） （3） 或或 22+= 116xy12216yx1223616xy1.223616yx3. 解：由已知，解：由已知，a=5，b=4，所以，所以c= =3. （1） AF1B的周长的周长=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|. 由椭圆的定义，得由椭圆的定义，得 |AF1|+|AF2|=2a， |BF1|+|BF2|=2a， 所以，所以， AF1B的周长的周长=4a=20. （2）

26、如果）如果AB不垂直于不垂直于x轴，轴，AF1B的周长不的周长不变化变化. 这是因为这是因为两式仍然成立，两式仍然成立，AF1B的周长的周长 =20，这是定值，这是定值.22a -b4. 解：设点解：设点M的坐标为（的坐标为（x，y），由已），由已知，得直线知，得直线AM的斜率的斜率 kAM= （ x 1）；）；直线直线BM的斜率的斜率 kBM= （x 1）.由题意，得由题意，得 =2,所以，所以， =2 （ x 1，y 0）.化简，得化简，得x= 3（y 0）.因此，点因此，点M的轨迹是直线的轨迹是直线x = 3，并去，并去掉（掉（ 3 ，0）.+1+1yx-1yxAMBMkk-1yx+1+1yx