高中数学圆锥曲线总结.docx

《高中数学圆锥曲线总结.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学圆锥曲线总结.docx（5页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、数学圆锥曲线总结1、圆锥曲线的两个定义：1第一定义中要重视“括号内的限制条件：椭圆中，与两个定点，F的 距离的和等于常数 ，且此常数 一定要大，当常数等时，轨 迹是线段F，当常数小时，无轨迹；双曲线中，与两定点 ，F的 距离的差的绝对值等于常数 ，且此常数 一定要小于F|，定义中的“绝对值与F|不可无视。假设F|，那么轨迹是以，F为端点的两条射线，假设F|，那么轨迹不存在。假设去掉定义中的绝对值那么轨迹仅表示双 曲线的一支。2第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且“点点距为分子、点线距为分母，其商即是离心 。圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥 曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间

2、的关系，要善于运用第二定义对 它们进行相互转化。Attention：1在求解椭圆、双曲线问题时，首先要判断焦点位置，焦点 ，F的位置，是椭圆、双曲线的定位条件，它决定椭圆、双曲线标准方程的类型， 而方程中的两个参，确定椭圆、双曲线的形状和大小，是椭圆、双曲线的定形条件；在求解抛物线问题时，首先要判断开口方向；2在椭圆中最 大，在双曲线中， 最大。4.圆锥曲线的几何性质：1椭圆为例：范围：；焦点：两个焦；对称性：两条对称，一个对称 中心0,0，四个顶，其中长轴长为2 ，短轴长为；准线：两条准； 离心率，椭圆，越小，椭圆越圆越大，椭圆越扁。22双曲线以为例：范围：或；焦点：两个焦；对称性：两条对称

3、，一个对称中心0,0，两个顶，其中实轴长为2 ，虚轴长为， 特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为；准线：两条准；离心率，双曲 线，等轴双曲线越小，开口越小越大，开口越大；两条渐近线。3 抛物线为例：范围；焦点：一个 焦，其中 的几何意义是：焦点到准线的距离；对称性：一条对称，没有对称中心，只有一个顶点0,0；准线：一条准线；离心率，抛物线。5、点和椭的关系：1点在椭圆外；2点在椭圆上1；3点在椭圆内6直线与圆锥曲线的位置关系：（1） 相交：直线与椭圆相交； 直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双 曲线相交且只有一个交点，是直线

4、与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件；直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定 ，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一 个交点， 也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件。Attention：1直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形：相切和相交。如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点；如果直线与抛物线的轴平行时,直线与抛物线相交,也只有一个交点；2过双曲1外一点的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下：P点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线，共四条；P点在两条渐

5、近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支 相切的两条切线，共四条；P 在两条渐近线上但非原点，只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线；P 为原点时不存在这样的直线；（2） 过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和 一条平行于对称轴的直线。7、焦半径圆锥曲线上的点 P 到焦点 F 的距离的计算方法：利用圆锥曲线的第二定义，转化到相应准线的距离，即焦半 ，其表示 P 到与 F 所对 应的准线的距离。8、焦点三角形椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形问题：常利用第一定义和正弦、余弦定理求解。设椭圆或双曲线上的一 到两焦点的距离

6、分别为，焦点的面积为，那么在椭中， ，且当即为短轴端点时，最大为；，当即为短轴端点时，的最大值为bc；对于双曲的焦点三角形有；。9、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质：1以过焦点的弦为直径的圆和准线相切；2设 AB 为焦点弦， M 为准线与 x 轴的交点，那么AMFBMF；3设AB为焦点弦，A、B在准线上的射影分别为 ，B，假设P为B的中点，那么PAPB；4假设AO的延长线交准线于C，那么BC平行于x 轴，反之，假设过 B 点平行于 x 轴的直线交准线于 C 点，那么A，O，C 三点共线。10、弦长公式：假设直与圆锥曲线相交于两点A、B，分别为A、B的横坐标，假设分别为A、B的纵坐标，假

7、设弦AB所在直线方程设为，。 特别地，焦点弦过焦点的弦：焦点弦的弦长的计算，一般不用弦长公式计算， 而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解。11、圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理或“点差法求解。在椭中，以为中点的弦所在直线的斜率 ； 在双曲中，以为中点的弦所在直线的斜率；在抛 物线中，以为中点的弦所在直线的斜率 。Attention：因是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦 长、对称问题时，务必别忘了检 ！12重要结论：1双曲的渐近线方程；2为渐近线即与双曲共渐近线的双曲线方程为为参数，0。如与双曲线有共同的渐近线，且过点的双曲线方程为答：3中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设 ；4椭圆、双曲线的通径过焦点且垂直于对称轴的弦，焦准距焦点到相 应准线的距离，抛物线的通径为，焦准距为；5通径是所有焦点弦过焦点的弦中最短的弦；6假设抛物线的焦点弦为AB，那么；7假设OA、OB是过抛物顶点O的两条互相垂直的弦，那么直线AB 恒经过定