高中数学排列组合知识点(1).docx

《高中数学排列组合知识点(1).docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学排列组合知识点(1).docx（3页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、排列组合复习稳固1.分类计数原理(加法原理)完成一件事，有 n 类方法，在第 1 类方法中有 m1 种不同的方法，在第 2 类方法中有 m2 种不同的方法，在第 n 类方法中有 mn 种不同的方法，那么完成这件事共有： N =m1 +m2 +L+mn 种不同的方法2.分步计数原理乘法原理完成一件事，需要分成 n 个步骤，做第 1 步有 m1 种不同的方法，做第 2 步有 m2 种不同的方法，做第 n 步有 mn 种不同的方法，那么完成这件事共有： N =m1 m2 Lmn 种不同的方法3.分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。分步计数原理各步

2、相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件 一.特殊元素和特殊位置优先策略例 1.由 0,1,2,3,4,5 可以组成多少个没有重复数字五位奇数.3解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置. 先排末位共有 C14然后排首位共有 C14最后排其它位置共有 A34 3 4由分步计数原理得 C1C1 A3 = 288131CAC443练习题:7 种不同的花种在排成一列的花盆里,假设两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？二.相邻元素捆绑策略例 2. 7 人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.甲 乙丙 丁

3、5 2 2解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理可得共有 A5 A2 A2 = 480种不同的排法三.不相邻问题插空策略例 3.一个晚会的节目有 4 个舞蹈,2 个相声,3 个独唱,舞蹈节目不能连续出场,那么节目的出场顺序有多少种？5解:分两步进行第一步排 2 个相声和 3 个独唱共有 A5 种，第二步将 4 舞蹈插入第一步排好的 6 个元素中间包含首尾两个空位共有种A4不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有A5A4种656四.定序问题倍缩空位插入策略例4.7人排队,其中甲乙丙3人顺

4、序一定共有多少不同的排法73解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,那么共有不同排法种数是： A 7 / A3(空位法)设想有 7 把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有 A 4 种方法，其余的三个位置甲乙丙共有 1 种坐法，那么共有 A 4 种77方 法 。 五.重排问题求幂策略例 5.把 6 名实习生分配到 7 个车间实习,共有多少种不同的分法解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有 7 种分法.把第二名实习生分配到车间也有 7 种分依此类推,由分步计数原理共有 76 种不同的排法六.环排问题线

5、排策略例 6. 8 人围桌而坐,共有多少种坐法?4解：围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成圆形没有首尾之分，所以固定一人 A 4 并从此位置把圆形展成直线其余 7 人共有8-1！种排法即 7！CDBEAA B C D EFHGF G H A七.多排问题直排策略例 7.8 人排成前后两排,每排 4 人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法4解:8 人排前后两排,相当于 8 人坐 8 把椅子,可以把椅子排成一排.个特殊元素有 A 2 种,再排后 4 个位置上的特殊元素丙有A1 种,其余的 5 人在 5 个位置上任意排列有 A5 种,那么共有 A 2 A1 A5 种454 45八.排列组合混合问题

6、先选后排策略例 8.有 5 个不同的小球,装入 4 个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法.解:第一步从 5 个球中选出 2 个组成复合元共有 C 2 种方法.再把 4 个元素(包含一个复合元素)装入 4 个不同的盒内有 A 4 种5454方法，根据分步计数原理装球的方法共有 C 2 A 4九.小集团问题先整体后局部策略例 9.用 1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹 1,在两个奇数之间,这样的五位数有多少个？解：把,当作一个小集团与排队共有 A 2 种排法，再排小集团内部共有 A 2 A 2 种排法，由分步计数原理共有2222 2 2A2A2A2种排法.

7、 十.元素相同问题隔板策略例 10.有 10 个运发动名额，分给 7 个班，每班至少一个,有多少种分配方案？解：因为 10 个名额没有差异，把它们排成一排。相邻名额之间形成个空隙。在个空档中选个位置插个隔板，可把名额9分成份，对应地分给个班级，每一种插板方法对应一种分法共有 C 6 种分法。十一.正难那么反总体淘汰策略例 11.从 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 这十个数字中取出三个数，使其和为不小于 10 的偶数,不同的取法有多少种？解：这问题中如果直接求不小于 10 的偶数很困难,可用总体淘汰法。这十个数字中有 5 个偶数 5 个奇数,所取的三个数含有3 个偶数的取法有C3 ,只含

8、有 1 个偶数的取法有 C1C 2 ,和为偶数的取法共有 C1C 2 +C3 。再淘汰和小于 10 的偶数共 95555 55种，符合条件的取法共有C1C 2 +C3 - 95 55十二.平均分组问题除法策略例 12. 6 本不同的书平均分成 3 堆,每堆 2 本共有多少分法？6 4 26 4 2解: 分三步取书得C 2C 2C 2 种方法,但这里出现重复计数的现象,不妨记 6 本书为 ABCDEF，假设第一步取 AB,第二步取 CD,第三步取 EF 该分法记为(AB,CD,EF), 那么C 2C 2C 2 中还有(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)(EF,CD,A

9、B),(EF,AB,CD) 共有A3 种取法 ,而这些分法仅是(AB,CD,EF)一种分法,故共有C 2C 2C 2 / A3 种分法。3十三. 合理分类与分步策略6 4 23例 13.在一次演唱会上共 10 名演员,其中 8 人能能唱歌,5 人会跳舞,现要演出一个 2 人唱歌 2 人伴舞的节目,有多少选派方法解：10 演员中有 5 人只会唱歌，2 人只会跳舞 3 人为全能演员。选上唱歌人员为标准进行研究只会唱的 5 人中没有人选上唱歌人员共有 C 2C 2 种,只会唱的 5 人中只有 1 人选上唱歌人员 C1C1C 2 种,只会唱的 5 人中只有 2 人选上唱歌人员有3 35 5C2C2种，

10、由分类计数原理共有十四.构造模型策略5 3 43 35 3 45 5C 2C 2 +C1C1C 2 +C 2C 2 种。5解：把此问题当作一个排队模型在 6 盏亮灯的 5 个空隙中插入 3 个不亮的灯有C3 种十五.实际操作穷举策略5解：从 5 个球中取出 2 个与盒子对号有C 2 种还剩下 3 球 3 盒序号不能对应，利用实际操作法，如果剩下 3,4,5 号球, 3,4,55号盒 3 号球装 4 号盒时，那么4,5 号球有只有 1 种装法，同理 3 号球装 5 号盒时,4,5 号球有也只有 1 种装法,由分步计数原理有 2C 2 种十六. 分解与合成策略例 16. 30030 能被多少个不同

11、的偶数整除分析：先把 30030 分解成质因数的乘积形式 30030=235 7 1113，依题意可知偶因数必先取 2,再从其余 5 个因55555数中任取假设干个组成乘积，所有的偶因数为： C1 +C 2 +C3 +C 4 +C5练习:正方体的 8 个顶点可连成多少对异面直线8解：我们先从 8 个顶点中任取 4 个顶点构成四体共有体共C 4 -12 = 58 ,每个四面体有 3 对异面直线,正方体中的 8 个顶点可连成3 58 = 174对异面直线十七.化归策略例 17. 25 人排成 55 方阵,现从中选 3 人,要求 3 人不在同一行也不在同一列,不同的选法有多少种？解：将这个问题退化成

12、 9 人排成 33 方阵,现从中选 3 人,要求 3 人不在同一行也不在同一列,有多少选法.这样每行必有 1 人从其3 2 1中的一行中选取 1 人后,把这人所在的行列都划掉，如此继续下去.从 33 方队中选 3 人的方法有C1C1C1种。再从 55 方阵选5 5出 33 方阵便可解决问题.从 55 方队中选取 3 行 3 列有 C3C3选法所以从 55 方阵选不在同一行也不在同一列的 3 人有5 5 3 2 1C3C3C1C1C1 选法。十八.数字排序问题查字典策略例 18由 0，1，2，3，4，5 六个数字可以组成多少个没有重复的比 324105 大的数？解 : N = 2 A5 + 2

13、A4 +A3 +A2 +A1 = 2975十九.树图策略4321例193人相互传球,由甲开始发球,并作为第一次传球,经过5次传求后,球仍回到甲的手中,那么不同的传球方式有N = 10二十.复杂分类问题表格策略例 20有红、黄、兰色的球各 5 只,分别标有 A、B、C、D、E 五个字母,现从中取 5 只,要求各字母均有且三色齐备,那么共有多少种不同的取法红111223黄123121兰321211取法C1C15 4C1C 25 4C1C 35 4C 2 C1 53C 2 C 253C 3C1 52解:二十一：住店法策略解决“允许重复排列问题要注意区分两类元素：一类元素可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客，能重复的元素看作“店，再利用乘法原理直接求解.例21.七名学生争夺五项冠军，每项冠军只能由一人获得，获得冠军的可能的种数有.分析：因同一学生可以同时夺得 n 项冠军，故学生可重复排列，将七名学生看作 7 家“店，五项冠军看作 5 名“客，每个“客有 7 种住宿法，由乘法原理得 75 种.