青羊区初2016届第二次诊断性测试题.doc

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1、 第 1 页试卷试卷 A 参考解答参考解答 一填空题一填空题(每小题每小题 4 分，共分，共 28 分分)1设二元函数设二元函数, 则则( 或或 ).222zxyxy 1,1xyzy xx 1421324 21 2二元函数二元函数具有二阶连续偏导数具有二阶连续偏导数, ，则，则( ).( , )zf u v ,2ux vxy 22z y 224( ,2 )fx xy 3空面空面在点在点(1,1,3)处的切平面方程是处的切平面方程是 ( ).222zxy 2430xyz 4设平面区域设平面区域 D 是由是由和和所围成，则二重积分所围成，则二重积分 ( ).1,yyxx 2x Dydxdyx 9

2、165设空间曲面设空间曲面 ：，则曲面积分，则曲面积分( ).224 zxy zdS 8 6设平面闭曲线设平面闭曲线 L 是由是由所围成，则曲线积分所围成，则曲线积分 ( ).3 ,0,1yx yx Lxyds A A9102 7微分方程微分方程满足满足时时的特解是的特解是( ).2yyxy 0x 1y 2xxye 二计算题二计算题(每小题每小题 9 分，共分，共 45 分分)1设设确定的二元函数确定的二元函数，求，求(1), (2),. 2310zexyz ( , )zz x y (0,0)dz2(0,0)z x y 解：解：(1) 对方程两边微分：对方程两边微分：230ze dzdxdyd

3、z 2323, , 111zzzdxdyzzdzexeye 把把 x=0,y=0 代入方程可得代入方程可得，再代入上式，再代入上式 0z (0,0)3 2dzdxdy (2) 223226()()1(1)(1)zzzzzzzeze x yyxy eeye 2(0,0)3 4z x y 2设空间区域设空间区域 是由是由与与所围成，计算三重积分所围成，计算三重积分.22zxy 222 zxy (2)xyz dxdydz 解：根据函数的奇偶性，解：根据函数的奇偶性，0xdxdydzydxdydz (2)xyz dxdydzzdxdydz 第 2 页122201(2- )z dzzzdz 153()3

4、124 3设平面曲线设平面曲线 L：从点从点 A(0,0)到到 B(2,0)，计算曲线积分，计算曲线积分.sin2yx 22(22 )(2) Lxyy dxx yx dy 解：根据格林公式，解：根据格林公式，22(22 )(2) Lxyy dxx yx dy 22(22 )(2) L BAABxyy dxx yx dy 20633sin2Ddxdyxdx 4设空间曲面设空间曲面 ：，方向指向外侧，方向指向外侧，22 (01)zxyz 分 分分 分计算曲面积分计算曲面积分.222()()()xy dydzyz dzdxxzdxdy 解：设辅助面解：设辅助面 1：方向指向上侧，根据高斯公式，方向指

5、向上侧，根据高斯公式，22 :1, ( , )1xyzx yDxy 222()()()xy dydzyz dzdxxzdxdy 11222()()()xy dydzyz dzdxxzdxdy 1(222 )(1)xyz dxdydzxdxdy 21xyDzdxdydzdxdy 130122z dz 5求微分方程求微分方程的通解的通解.2xyyyxe 解：齐次方程解：齐次方程的特征方程的特征方程，其特征根为，其特征根为20yyy 2210rr 121rr 所以齐次方程的通解为所以齐次方程的通解为.12()xyCC x e 对于非齐次方程，假设其特解为对于非齐次方程，假设其特解为，将它求导代入原方

6、程，可得，将它求导代入原方程，可得2()xyxaxb e 162,06axbxab 所以所以，从而原方程的通解为，从而原方程的通解为31 6xyx e 3 121()6xxyCC x ex e 三综合题三综合题(每小题每小题 9 分，共分，共 27 分分)1求函数求函数在约束条件：在约束条件：与与下的下的最大值和最小值最大值和最小值.222uxyz 221xy 236xyz 第 3 页解：令解：令22222 12(1)(236)Fxyzxyxyz 1212122221220 52220 22305105223603xyzFxxx FyyFzyFxy zFxyz 将这两个点分别代入目标函数，可得

7、最大值和最小值将这两个点分别代入目标函数，可得最大值和最小值21451(2)(5012 5)5539u 另解：另解：代入目标函数代入目标函数1cos ,sin ,z(6cos2sin ),0,2 3xy ，211(6cos2sin )9u 2(6cos2sin )(sin2cos )0tg29du d 1 15cos25225sin15(65)3xtgyz 2已知微分方程已知微分方程是一个全微分方程是一个全微分方程.2223(6)(6)0Ax yxyy dxx yxBx dy (1) 求常数求常数 A,B 的值的值. (2) 求该微分方程的通解求该微分方程的通解.(3) 计算曲线积分计算曲线积

8、分的值的值.(1,2)2223(0,0)(6)(6)Ax yxyy dxx yxBx dy 解：解：(1)由于由于，根据全微分方程的条件，根据全微分方程的条件22236, 6PAx yxyyQx yxBx .22123121 3,1QPxyxBAxxyABxy (2) 根据微分公式，根据微分公式，2223322(36)(6)(3)x yxyy dxx yxx dyd x yx yxy 所以微分方程的通解：所以微分方程的通解：.3223x yx yxyC (3) 曲线积分曲线积分(1,2)2223(0,0)(36)(6)x yxyy dxx yxx dy (1,2)(1,2)322322(0,0

9、)(0,0)(3) (3)16d x yx yxyx yx yxy 第 4 页3设二元函数设二元函数.222,( , )(0,0)( , )0,( , )(0,0)x yx yf x yxyx y (1)求证：二元函数求证：二元函数在点在点(0,0)处不可微处不可微.( , )f x y(2)求证：函数求证：函数在点在点(0,0)处沿任意方向处沿任意方向的方向导数都存在的方向导数都存在.( , )f x y(cos,cos)l 证明：证明：(1)根据偏导数定义根据偏导数定义0( ,0)(0,0)(0,0)lim0xhf hffh 0(0, )(0,0)(0,0)lim0ykfkffk 讨论极限

10、讨论极限220(,)(0,0)(0,0)(0,0)lim ()()xxfxyffxfyxy 230222()lim ()() )xyxy 220limcossincossin 其值随角度其值随角度 而变化，所以极限不存在，从而而变化，所以极限不存在，从而在点在点(0,0)处不可微处不可微.( , )f x y(2) 任意给定平面上的一个单位向量任意给定平面上的一个单位向量，根据方向导数定义，根据方向导数定义(cos,cos)l 00(0,0)(,)(0,0)(cos,cos)limlimffxyff l 32 2 30coscoslimcoscos 函数在点函数在点(0,0)处沿任意方向的方向导数都存在处沿任意方向的方向导数都存在.