知识讲解-几何证明选讲、参数方程与极坐标.doc

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1、高考总温习：多少何证实选讲、参数方程与极坐标编稿：孙永钊审稿：张林娟【考年夜纲求】1、类似三角形的断定及有关性子1了解平行线分线段成比例定理。2会证实并使用直角三角形射影定理。2、直线与圆的地位关联1会证实并使用圆周定理、圆的切线的断定定理及性子定理。2会证实并使用订交弦定理、圆内接四边形的性子定理与断定定理、切割线定理。3、极坐标1了解极坐标的根本不雅点，会在极坐标系顶用极坐标描写点的地位。能进展极坐标跟直角坐标的互化；2能在极坐标系中给出复杂图形如过顶点的直线、过顶点或圆心在顶点的圆表现的极坐标方程。4、参数方程1了解参数方程，了解参数的意思；2能抉择恰当的参数写出直线、圆跟椭圆的参数方程

2、。【常识收集】多少何证实选讲类似三角形的断定及有关性子平行线分线段成比例定理平行线平分线段定理类似三角形的断定及性子直角三角形的射影定理圆周角定理圆内接四边形的性子与断定定理圆的切线的性子及断定定理弦切角的性子与圆有关的比例线段直线与圆的地位关联坐标系与参数方程坐标系极坐标系曲线的极坐标方程圆的极坐标方程曲线的参数方程直线跟圆的参数方程圆锥曲线的参数方程一些罕见曲线的参数方程参数方程【考点梳理】考点一、类似三角形的断定及有关性子1平行线平分线段定理及其推论1定理：假如一组平行线在一条直线上截得的线段相称，那么在其余直线上截得的线段也相称。2推论：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三

3、边。经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰。如右图：l1l2l3，2平行线分线段成比例定理及推论1定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。2推论：平行于三角形一边的直线截其余双方或双方的延伸线所得的对应线段成比例。3类似三角形的断定及性子1类似三角形的界说对应角相称，对应边成比例的两个三角形叫做类似三角形，类似三角形对应边的比值叫做类似比或类似系数。2类似三角形的断定准备定理：平行于三角形一边的直线跟其余双方或双方的延伸线订交，所形成的三角形与原三角形类似。如图，假定EF/BC，那么AEFABC。断定定理1：两角对应相称，两三角形类似。断定定理2：双方对应成比例且夹角相称，

4、两三角形类似。断定定理3：三边对应成比例，两三角形类似。要点解释：依照断定定理2，对于两等腰三角形，只要再增加一顶角或底角对应相称就能够了。假定两优良干等腰三角形的一底角相称，那么另一底角必定相称，由断定定理1即可断定其类似；假定顶角对应相称，那么它们的两底角也对应相称，由断定定理1即可断定；假定一等腰三角形的顶角与另一等腰三角形的一底角对应相称，它们不必定类似。3直角三角形类似的断定：上述一切的恣意三角形类似的断定皆实用于直角三角形。定理1：假如两个直角三角形有一个锐角对应相称，那么它们类似。定理2：假如两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们类似。定理3：假如一个直角三角形的歪边跟一

5、条直角边与另一个三角形的歪边跟一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形类似。4类似三角形的性子类似三角形的性子一类似三角形对应高的比、对应中线的比跟对应角平分线的比都即是类似比。类似三角形周长的比即是类似比。类似三角形面积的比即是类似比的平方。类似三角形的性子二类似三角形外接圆的直径比、周长比即是类似比。类似三角形外接圆的面积比即是类似比的平方。4直角三角形的射影定理直角三角形歪边上的高是两直角边在歪边上射影的比例中项；两直角边分不是它们在歪边上射影与歪边的比例中项。如图，在RtABC中，CD是歪边AB上的高，那么有CD2=ADBD，AC2=ADAB，BC2=BDAB。考点二、直线与圆的地位

6、关联1圆周角定理1圆周角定理及其推论定理：圆上一条弧所对的圆周角即是它所对的圆心角的一半。推论推论1：同弧或等弧所对的圆周角相称；同圆或等圆中，相称的圆周角所对的弧也相称。推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；900的圆周角所对的弦是直径。2圆心有定理：圆心角的度数即是它所对弧的度数。2圆内接四边形的性子与断定定理1圆内接四边形的性子定理定理1：圆内接四边形的对角互补。定理2：圆内接四边形的外角即是它的内角的对角。2圆内接四边形的断定定理及推论断定定理：假如一个四边形的对角互补，那么那个四边形的四个顶点共圆。推论：假如四边形的一个外角即是它的内角的对角，那么那个四边形的四个顶点共圆。3圆的切线

7、的性子及断定定理切线的性子定理及推论1定理：圆的切线垂直于经过切点的半径2推论：推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。4弦切角的性子弦切角定理：弦切角即是它所平的弧所对的圆周角。5与圆有关的比例线段圆中的比例线段定理称号根本图形前提论断使用订交弦定理弦AB、CD订交于圆内点P1PAPB=PCPD2ACPBDP1在PA、PB、PC、PD四线段中知三求一2求弦长及角割线定理PAB、PCD是O的割线（1） PAPB=PCPD2PACPDB1求线段PA、PB、PC、PD及AB、CD2使用类似求AC、B切割线定理PA切O于A，PBC是O的割线1PA2

8、=PBPC2PABPCA1曾经明白PA、PB、PC知二可求一2求解AB、AC切线长定理PA、PB是O的切线1PA=PB2OPA=OPB1证线段相称，曾经明白PA求PB2求角考点三、极坐标1极坐标系破体内的一条规则有单元长度的射线，为顶点，为极轴，选定一个长度单元跟角的正偏向平日取逆时针偏向，这就形成了极坐标系。2极坐标系内一点的极坐标破体上一点到顶点的间隔称为极径，与轴的夹角称为极角，有序实数对就叫做点的极坐标。1普通状况下，不特不加以阐明时表现非正数；事先表现顶点；事先，点的地位如此断定：作射线，使，在的反向延伸线上取一点，使得，点即为所求的点。2点与点所表现的是统一个点，即角与的终边是一样

9、的。综上所述，在极坐标系中，点与其点的极坐标之间不是逐个对应而是一对多的对应，即，,均表现统一个点.3.极坐标与直角坐标的互化当极坐标系与直角坐标系在特定前提下顶点与原点重合；极轴与轴正半轴重合；长度单元一样，破体上一个点的极坐标跟直角坐标有如下关联：直角坐标化极坐标：；极坐标化直角坐标：.此即在两个坐标系下，统一个点的两种坐标间的互化关联.4.直线的极坐标方程：1过顶点倾歪角为的直线：或写成及.2过垂直于极轴的直线：5.圆的极坐标方程：1以顶点为圆心，为半径的圆：.2假定，认为直径的圆：考点四、参数方程1.不雅点：普通地，在破体直角坐标系中，假如曲线上恣意一点的坐标基本上某个变数的函数：，同

10、时对于的每一个同意值，方程所断定的点都在这条曲线上，那么方程就叫做这条曲线的参数方程，联络间的关联的变数叫做参变数简称参数.相对于参数方程来说，后面学过的直截了当给出曲线上点的坐标关联的方程，叫做曲线的普通方程。考点五、罕见曲线的参数方程1直线的参数方程1经过定点，倾歪角为的直线的参数方程为：为参数；此中参数的多少何意思：，有，即表现直线上任一点M到定点的间隔。当在上方时，鄙人方时，)。2过定点，且其歪率为的直线的参数方程为：为参数，为为常数，；此中的多少何意思为：假定是直线上一点，那么。2圆的参数方程1曾经明白圆心为，半径为的圆的参数方程为：是参数，；特不地当圆心在原点时，其参数方程为是参数

11、。2参数的多少何意思为：由轴的正偏向到衔接圆心跟圆上恣意一点的半径所成的角。3圆的规范方程明白地指出圆心跟半径，圆的普通方程凸起方程方式上的特色，圆的参数方程那么直截了当指出圆上点的横、纵坐标的特色。3.椭圆的参数方程1椭圆的参数方程为参数。2参数的多少何意思是椭圆上某一点的离心角。如图中，点对应的角为过作轴，交年夜圆即认为直径的圆于，切弗成认为是。3从数的角度了解，椭圆的参数方程实践上是对于椭圆的一组三角代换。椭圆上恣意一点可设成，为处理有关椭圆咨询题供给了一条新的道路。4.双曲线的参数方程双曲线,的参数方程为为参数。5.抛物线的参数方程抛物线()的参数方程为是参数。参数的多少何意思为：抛物

12、线上一点与其顶点连线的歪率的倒数，即。6.圆的渐开线与摆线的参数方程：1圆的渐开线的参数方程是参数；2摆线的参数方程是参数。要点解释：1、把参数方程化为普通方程，需要依照其构造特点，拔取恰当的消参办法.罕见的消参办法有：代入消法；加减消参；平方跟差消参法；乘法消参法；比值消参法；应用恒等式消参法；混杂消参法等.2、把曲线的普通方程化为参数方程的要害：一是适中拔取参数；二是确保互化前前方程的等价性，留意方程中的参数的变更范畴。经典例题精析范例一、类似三角形的断定及有关性子【例1】曾经明白，如图，在ABC中，ABAC，BDAC，点D是垂足求证：【思绪点拨】作AEBC，证实AEC跟BDC类似即可【剖

13、析】过点A作AEBC，垂足为E，CEBEBC，由BDAC，AEBC.又CC，AECBDC.，即【总结升华】断定两个三角形类似要留意联合图形的性子特色灵敏抉择断定定理除了平行，还可应用“两角对应相称、“双方对应成比例及夹角相称、“三边对应成比例这三个断定定理。触类旁通：【变式】如图，曾经明白在ABC中，BAC90，ADBC，E是AC的中点，ED交AB的延伸线于F.求证：证实：BAC90，ADBC，ADBADCBAC90，1290，2C90.1C.ABDCAD，又E是AC的中点，DEEC，3C.又34，1C，14.又有FF，FBDFDA.【例2】如图，在RtABC中，BAC=900，ADBC于D，

14、DFAC于F，DEAB于E，求证：AD3=BCBECF。【思绪点拨】屡次应用射影定理，寻出AD、BC、BE、CF关联即可。【剖析】ADBC，ADB=ADC=900，在RtADB中，DEAB，由射影定理得BD2=BEAB，同理CD2=CFAC，BD2CD2=BEABCFAC又在RtABC中，ADBC，AD2=BDDC由得AD4=BD2CD2=BEABCFAC=BEABADBCAD3=BCBECF【总结升华】标题中有直角三角形跟歪边上的高契合直角三角形射影定理的两个前提，抉择适宜的直角三角形是处理咨询题的要害。触类旁通：【变式】如图，在RtABC中，ACB90，CDAB于点D，CD6，E为AB的中

15、点，ADDB23，求AC及CE.【剖析】设AD2t，DB3t，由射影定理得CD2ADDB，622t3t，t(t舍去)，AD2，DB3，因而歪边ABADDB235故CEAB.再由射影定理得AC2ADAB2560AC2.范例二、直线与圆的地位关联【例3】如图,是圆的直径,为圆上位于异侧的两点,贯穿连接并延伸至点,使,贯穿连接.求证:.【思绪点拨】要证,就得寻一个两头量代换,一方面思索到是同弧所对圆周角,相称;另一方面由是圆的直径跟可知是线段的中垂线,从而依照线段中垂线上的点到线段两真个间隔相称跟等腰三角形等边平等角的性子失掉.从而得证.此题还可衔接,应用三角形中位线来求证.【剖析】证实:衔接.是圆

16、的直径,(直径所对的圆周角是直角).(垂直的界说).又,是线段的中垂线(线段的中垂线界说).(线段中垂线上的点到线段两真个间隔相称).(等腰三角形等边平等角的性子).又为圆上位于异侧的两点,(同弧所对圆周角相称).(等量代换).【总结升华】此题要紧考察圆周角定理,线段垂直平分线的断定跟性子,等腰三角形的性子.触类旁通：【变式】如图，AB为O的直径，弦AC、BD交于点P，假定AB3，CD1，那么sinAPB_.【谜底】【剖析】衔接AD，BC.因为AB是圆O的直径，因而ADBACB90.又ACDABD，因而在ACD中，由正弦定理得：AB3，又CD1，因而sinDACsinDAP，因而cosDAP.

17、又sinAPBsin(90DAP)cosDAP.【例4】如图，曾经明白AP是的切线，P为切点，AC是的割线，与交于B，C两点，圆心在PAC的外部，点M是BC的中点。1证实：A，P，M四点共圆；2求OAM+APM的巨细。【思绪点拨】要证A、P、M四点共圆，可思索四边形APOM的对角互补；依照四点共圆，同弧所对的圆周角相称，进展等量代换，进而求出OAM+APM的巨细。【剖析】1衔接OP，OM，因为AP与相切于点P，因而OPAP，因为M是的弦BC的中点，因而OMBC，因而OPA+OMA=1800。由圆心在PAC的外部，可知四边形APOM的对角互补，因而A，P，O，M四点共圆。（2） 由1得A，P，M

18、四点共圆，因而OAM=OPM，由1得OPAP，由圆心在PAC的外部，可知OPM+APM=900，因而OPM+APM=900。触类旁通：【变式】曾经明白AB是的直径，BC是的切线，切点为B，OC平行于弦AD如图。求证：DC是的切线。【剖析】衔接OD。OA=OD，1=2，ADOC，1=3，2=4，3=4。又OB=OD，OC=OC，OBCODC，OBC=ODC。BC是的切线，OBC=900，ODC=900，DC是的切线。范例三、极坐标方程与直角坐标方程【例5】在极坐标系中，点对于顶点的对称点的坐标是_，对于极轴的对称点的坐标是_，对于直线的对称点的坐标是_，【思绪点拨】画出极坐标系，联合图描述易断定

19、。【剖析】它们顺次是或；.表现图如下：【总结升华】使用数形联合，捉住对称点与曾经明白点之间的极径与极角的联络，同时应留意点的极坐标的多值性。触类旁通：【变式】曾经明白点，那么点1对于对称点的坐标是_，2对于直线的对称点的坐标为_。【谜底】(1)由图知：,，因而；(2)直线即，因而或【例6】化以下极坐标方程为直角坐标方程，并阐明它是什么曲线。(1)；(2)；(3)；(4).【思绪点拨】依照关联式，对已无方程进展变形、配凑。【剖析】1方程变形为,或，即或，故原方程表现圆心在原点半径分不为1跟4的两个圆。(2)变形得,即，故原方程表现直线。(3)变形为,即，收拾得，故原方程表现核心在，核心在x轴上的

20、双曲线。4变形为,即,故原方程表现顶点在原点，启齿向上的抛物线。【总结升华】极坐标方程化为直角坐标方程，要害是依照关联式，把极坐标方程中的用、表现。触类旁通：【变式1】把以下极坐标方程化为直角坐标方程，并阐明它们是什么曲线.(1)；(2),此中；(3)(4)【谜底】：(1)，即,故原方程表现是圆.(2),，或，或故原方程表现圆跟直线.(3)由，得即，收拾得故原方程表现抛物线.(4)由得,，即故原方程表现圆.【变式2】圆的直角坐标方程化为极坐标方程为_.【谜底】将代入方程得.例7河南高考在直角坐标系xOy中，直线C1：x=2，圆C2：x12+y22=1，以坐标原点为顶点，x轴的正半轴为极轴树破极

21、坐标系求C1，C2的极坐标方程；假定直线C3的极坐标方程为=R，设C2与C3的交点为M，N，求C2MN的面积【思绪点拨】由前提依照x=cos，y=sin求得C1，C2的极坐标方程把直线C3的极坐标方程代入23+4=0，求得1跟2的值，联合圆的半径可得C2MC2N，从而求得C2MN的面积C2MC2N的值.【剖析】因为x=cos，y=sin，C1：x=2的极坐标方程为cos=2，故C2：x12+y22=1的极坐标方程为：cos12+sin22=1，化简可得22cos+4sin+4=0把直线C3的极坐标方程=R代入22cos+4sin+4=0，求得1=2，2=，|MN|=12=，因为圆C2的半径为1

22、，C2MC2N，C2MN的面积为C2MC2N=【总结升华】对于极坐标咨询题，假如对其多少何意思了解不敷，咱们能够将其转化为直角坐标方程去处理.也能够依照参数的多少何意思直截了当求解.触类旁通：【变式1】(陕西高考)在直角坐标系中，直线的参数方程为(为参数)，以原点为顶点，轴正半轴为极轴树破极坐标系，的极坐标方程为.(1) 写出的直角坐标方程.(2) 为直线上的动点，当到圆心的间隔最小时，求的直角坐标.【剖析】(1)由的极坐标方程为即配方得(3) 设，又因而事先，获得最小值.如今.【变式2】解以下各题1在极坐标系中，认为圆心，半径为1的圆的方程为_，平行于极轴的切线方程为_；2极坐标系中，两圆跟

23、的圆心距为_；3极坐标系中圆的圆心为_。【谜底】1办法一设在圆上，那么，由余弦定理得即，为圆的极坐标方程。其平行于极轴的切线方程为跟。办法二圆心的直角坐标为，那么契合前提的圆方程为，圆的极坐标方程：收拾得，即.又圆的平行于轴极轴的切线方程为：或，即跟2办法一的圆心为，的圆心为，两圆圆心距为.办法二圆即的圆心为，圆即的圆心为，两圆圆心距为.3办法一令得，圆心为。办法二圆即的圆心为，即.范例四、参数方程与普通方程互化【例8】把参数方程化为普通方程(1)(，为参数)；2(，为参数；3(,为参数)；4(为参数).【思绪点拨】1将第二个式子变形后，把第一个式子代入消参；2应用三角恒等式进展消参；3不雅看

24、式子的构造，留意到两式平分子分母的构造特色，因而能够采用加减消参的办法；或把用表现，反解出后再代入另一表白式即可消参；4此题是3题的变式，仅仅是把换成罢了，因而消参办法照旧，但需要留意、的范畴。【剖析】1，把代入得；又,所求方程为：(,)(2),把代入得.又，,.所求方程为(,).(3)法一：,又，,所求方程为(,).法二：由得,代入,余略.(4)由得,由得,事先，；事先，从而.法一:，即，故所求方程为法二:由得，代入得，即再将代入得，化简得.【总结升华】1.消参的办法要紧有代入消参，加减消参，比值消参，平方消参，应用恒等式消参等。2.消参进程中应留意等价性，即应思索变量的取值范畴，普通来说应

25、分不给出、的范畴.在这进程中实践上是求函数值域的进程，因而能够综合应用求值域的种种办法.触类旁通：【变式1】化参数方程为普通方程。1(t为参数)；2t为参数.【谜底】：1由得，代入化简得.,.故所求方程为，2两个式子相除得，代入得，即.，故所求方程为().【变式2】1圆的半径为_；2参数方程(表现的曲线为。A、双曲线一支，且过点B、抛物线的一局部，且过点C、双曲线一支，且过点D、抛物线的一局部，且过点【谜底】：1此中，半径为5。2，且，因而选B。【变式3】1直线:(t为参数)的倾歪角为。A、B、C、D、2为锐角，直线的倾歪角。A、B、C、D、【谜底】：1，相除得，倾歪角为，选C。2，相除得，倾

26、角为，选C。【例9】曾经明白曲线的参数方程、为常数。1当为常数()，为参数()时，阐明曲线的范例；2当为常数且，为参数时，阐明曲线的范例。【思绪点拨】经过消参，化为普通方程，再做推断。【剖析】1方程可变形为为参数，为常数取两式的平方跟，得曲线是认为圆心，为半径的圆。2方程变形为为参数，为常数,两式相除，可得，即,曲线是过点且歪率的直线。【总结升华】从本例能够看出：某曲线的参数方程方式完整一样，但选定差别的字母为参数，那么表现的意思也纷歧样，表现差别曲线。因而在表现曲线的参数方程时，普通应表明选定的字母参数。范例五、参数方程与极坐标的综合使用【例10】椭圆内接矩形面积的最年夜值为_.【思绪点拨】

27、由椭圆的对称性知内接矩形的各边平行于两轴，只要要出此中一个点的坐标就能够用来表现面积，再求出最年夜值。【剖析】设椭圆上第一象限的点，那么当且仅事先，取最年夜值，如今点.【总结升华】应用参数方程联合三角函数常识能够较简约地处理咨询题。触类旁通：【变式1】求椭圆上的点到直线:的最小间隔及响应的点的坐标。【谜底】：设到的间隔为，那么，当且仅破即时取等号。点到直线的最小间隔为，如今点，即。【变式2】圆上到直线的间隔为的点共有_个.【谜底】：曾经明白圆方程为，设其参数方程为那么圆上的点到直线的间隔为，即或又，从而满意请求的点一共有三个.【变式3】实数、满意，求1，2的取值范畴.【谜底】：1由曾经明白，设圆的参数方程为为参数，2，.