研数一真题及解析(9).doc

《研数一真题及解析(9).doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《研数一真题及解析(9).doc（7页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、2001年天下硕士研讨生退学一致测验数学一试题一、填空题(此题共5小题,每题3分,总分值15分.把谜底填在题中横线上.)(1)设(为恣意常数为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解,那么该方程为_.(2)设,那么div(gradr)=_.(3)交流二次积分的积分次第:_.(4)设矩阵满意,此中为单元矩阵,那么=_.(5)设随机变量的方差是,那么依照切比雪夫不等式有估量_.二、抉择题(此题共5小题,每题3分,总分值15分.)(1)设函数在界说域内可导,的图形如右图所示,那么的图形为(2)设在点左近有界说,且,那么(A).(B)曲面在处的法向量为3,1,1.(C)曲线在处的切向量为1,0,3.(D)曲

2、线在处的切向量为3,0,1.(3)设,那么在=0处可导的充要前提为(A)存在.(B)存在.(C)存在.(D)存在.(4)设那么与(A)条约且类似.(B)条约但不类似.(C)分歧同但类似.(D)分歧同且不类似.(5)将一枚硬币反复掷n次,以X跟Y分不表现正面向上跟背面向上的次数,那么X跟Y的相干联数即是(A)-1.(B)0.(C).(D)1.三、(此题总分值6分)求.四、(此题总分值6分)设函数在点处可微,且,.求.五、(此题总分值8分)设=将开展成的幂级数,并求级数的跟.六、(此题总分值7分)盘算,此中是破体与柱面的交线,从轴正向看去,为逆时针偏向.七、(此题总分值7分)设在内存在二阶延续导数

3、且,试证:(1)对于内的任一,存在独一的,使=+成破;(2).八、(此题总分值8分)设有一高度为(为时辰)的雪堆在消融进程,其正面满意方程(设长度单元为厘米,时辰单元为小时),曾经明白体积增加的速度与正面积成反比(比例系数为0.9),咨询高度为130(厘米)的雪堆全体消融需几多小时?九、(此题总分值6分)设为线性方程组的一个根底解系,此中为实常数.试咨询满意什么前提时,也为的一个根底解系.十、(此题总分值8分)曾经明白3阶矩阵与三维向量,使得向量组线性有关,且满意.(1)记=,求3阶矩阵,使;(2)盘算行列式.十一、(此题总分值7分)设某班车终点站上主人数听从参数为()的泊松散布,每位搭客在半

4、途下车的概率为(),且半途下车与否互相独破.以表现在半途下车的人数,求:(1)在发车时有个搭客的前提下,半途有人下车的概率;(2)二维随机变量的概率散布.十二、(此题总分值7分)设总体听从正态散布(),从该总体中抽取复杂随机样本,(),其样本均值为,求统计量的数学希冀.2001年考研数学一试题谜底与剖析一、填空题(1)【剖析】由通解的方式可知特点方程的两个根是,从而得悉特点方程为.由此,所求微分方程为.(2)【剖析】先求gradr.gradr=.再求divgradr=.因而divgradr|=.(3)【剖析】那个二次积分不是二重积分的累次积分,因为时.由此看出二次积分是二重积分的一个累次积分,

5、它与原式只差一个标记.先把此累次积分表为.由累次积分的表里层积分限可断定积分地区:.见图.现可交流积分次第原式=.(4)【剖析】矩阵的元素不给出,因而用随同矩阵、用初等行变更求逆的路均梗塞.该当思索用界说法.因为,故,即.按界说知.(5)【剖析】依照切比雪夫不等式,因而.二、抉择题(1)【剖析】事先,枯燥增,(A),(C)错误;事先,:增减增:正负正,(B)错误,(D)对.应选(D).(2)【剖析】咱们逐个剖析.对于(A),触及可微与可偏导的关联.由在(0,0)存在两个偏导数在(0,0)处可微.因而(A)不必定成破.对于(B)只能假定在(0,0)存在偏导数,不保障曲面在存在切破体.假定存在时,

6、法向量n=3,1,-1与3,1,1不共线,因而(B)不成破.对于(C),该曲线的参数方程为它在点处的切向量为.因而,(C)成破.(3)【剖析】事先,.对于(A):,由此可知.假定在可导(A)成破,反之假定(A)成破.如满意(A),但不.对于(D):假定在可导,.(D)成破.反之(D)成破在延续,在可导.如满意(D),但在处不延续,因而也不.再看(C):(当它们都时).留意,易求得.因而,假定(C)成破.反之假定(C)成破(即).因为只需有界,任有(C)成破,如满意(C),但不.因而,只能选(B).(4)【剖析】由,知矩阵的特点值是4,0,0,0.又因是实对称矩阵,必能类似对角化,因而与对角矩阵

7、类似.作为实对称矩阵,事先,知与有一样的特点值,从而二次型与有一样的正负惯性指数,因而与条约.因而此题应中选(A).留意,实对称矩阵条约时,它们不必定类似,但类似时必定条约.比方与,它们的特点值差别,故与不类似,但它们的正惯性指数均为2,负惯性指数均为0.因而与条约.(5)【剖析】解此题的要害是明白跟的关联:,即,在此根底上应用性子:相干联数的相对值即是1的充要前提是随机变量与之间存在线性关联,即(此中是常数),且事先,;事先,由此便知,应选(A).现实上,由此由相干联数的界说式有.三、【解】原式=.四、【解】先求.求,归纳为求.由复合函数求导法,.留意,.因而,.五、【剖析与求解】要害是将展

8、成幂级数,而后约去因子,再乘上并化简即可.直截了当将展创办不到,但易开展,即,积分得,.因为右端积分在时均收敛,又在延续,因而开展式在收敛区间端点成破.现将式双方同乘以得=,上式右端事先取值为1,因而.上式中令.六、【解】用斯托克斯公式来盘算.记为破体上所为围局部.由的定向,按右伎俩那么取上侧,的单元法向量.因而由斯托克斯公式得=.因而.按第一类曲面积分化为二重积分得,此中围在破体上的投影地区(图.由对于轴的对称性及被积函数的奇偶性得.七、【证实】(1)由拉格朗日中值定理,使(与有关);又由延续而,在稳定号,在严厉枯燥,独一.(2)对运用的界说.由题(1)中的式子先解出,那么有.再改写成.,解

9、出,令取极限得.八、【解】(1)设时辰雪堆的体积为,正面积为.时辰雪堆外形如以下图先求与.正面方程是.作极坐标变更:,那么.用先二后一的积分次序求三重积分,此中,即.(2)按题意列出微分方程与初始前提.体积增加的速度是,它与正面积成反比(比例系数0.9),即将与的表白式代入得,即.(3)解得.由得,即.令,得.因而,高度为130厘米的雪堆全体消融所需时辰为100小时.九、【解】由因而线性组合,又是的解,因而依照齐次线性方程组解的性子知均为的解.从是的根底解系,知.上面来剖析线性有关的前提.设,即.因为线性有关,因而有(*)因为系数行列式,因而事先,方程组(*)只要零解.从而线性有关.十、【解】(1)因为,即,因而.(2)由(1)知,那么,从而.十一、【解】(1).(2)=十二、【解】易见随机变量,互相独破都听从正态散布.因而能够将它们看作是取自总体的一个容量为的复杂随机样本.其样本均值为,样本方差为.因样本方差是总体方差的无偏估量,故,即.