2010年全国大学生数学专业及高等数学竞赛试题及解答.doc

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1、2010年全国大学生数学专业竞赛试题及解答（1）计算积分 解方法一 直接利用分部积分法得；方法二 不妨设，由于，而积分关于在上一致收敛，故可交换积分次序；方法三 将固定，记， 可证在上收敛设因为，而收敛，所以由Weierstrass判别法知道对一致收敛所以可以交换微分运算和积分运算的次序，即 由的任意性，上式在上成立所以，由于所以，即(2) 若关于的方程，在区间内有唯一的实数解，求常数.解：设，则有，当时，；当时，.由此在处达到最小值，又在内有唯一的零点，必有，所以.（3） 设函数在区间上连续，由积分中值公式，有，若导数存在且非零，求.解：， ，由条件，可知 ，故有.二、设函数在附近可微，,定

2、义数列.证明：有极限并求其值.证明：由导数的定义，对于任意,存在，当时，有.于是，从而，当时，有，其中.对于上式求和，得到，即，令，有,由的任意性，得到 . 设在上有定义，在处可导，且.证明：.三、设函数在上一致连续，且对任何，有，证明： 。试举例说明，仅有在上的连续性推不出上述结论。证明 证法一由在上一致连续，对， ，当且时，便有；取定充分大的正整数，使得。现把区间等分，设其分点为，每个小区间的长度小于。对于任意，；从而必有，使得；由条件对每个，有；于是存在，当时，对都成立；故当时，便有，即得，结论得证。证法二 设,由题设条件知在上等度一致连续,对每一,有;利用Osgood定理得, 在上一致

3、收敛于0,对,存在，当时, 有,从而当时,有,即得，结论得证。设在上的连续，且对任何，有，但推不出。例如函数满足在上的连续，且对任何，有，但不成立 。 四、设，在内连续，在内连续有界，且满足条件：当时，；在中与有二阶偏导数，.证明：在内处处成立.证明：设，则有 .于是 ， ， ;由已知条件，存在，当时，有 ， .记，设 ，我们断言，必有，假若，则必有，使得 ；易知， . 这与矛盾，所以 从而 ，；由的任意性，得 ， .故在内处处成立.五、 设.考虑积分，定义，(1) 证明 ；(2) 利用变量替换：，计算积分的值，并由此推出.证明：（1）由，在上一致收敛，可以进行逐项积分 ，又，所以 关于是一致

4、收敛的，可以逐项求极限，于是有 .故有 ；(2) , 注意到区域关于轴对称 ; ; ;或者利用分部积分,得 ,于是,故.2010年全国大学生非数学专业竞赛试题及解答一、计算题（1） 求极限 解法1 直接化为黎曼和的形式有困难.注意到 ,由于 ，所以.解法2 利用，得，,由于，所以 .（2）计算，其中为下半球的上侧，.解法一. 先以代入被积函数， ，补一块有向平面，其法向量与轴正向相反，利用高斯公式，从而得到，其中为围成的空间区域，为上的平面区域，于是 .解法二. 直接分块积分 ，其中为平面上的半圆，.利用极坐标，得， ，其中为平面上的圆域，用极坐标，得 ，因此.（3）现要设计一个容积为的圆柱体

5、的容积，已知上下两低的材料费为单位面积元，而侧面的材料费为单位面积元.试给出最节省的设计方案：即高与上下底面的直径之比为何值时，所需费用最少？解：设圆柱体的高为，底面直径为，费用为，根据题意，可知， ，当且仅当时，等号成立，故当时，所需要的费用最少.（4）已知在内满足求.解： ， ，所以，.二、 求下列极限. （1）； （2），其中，.解：（1） .（2） ，故.一般地，有，其中，.三 设在点附近有定义，且在点可导，求.解：.四、 设在上连续，无穷积分收敛，求.解：设，由条件知， ，利用分部积分，得，于是 .五 设函数在上连续，在内可微，且，.证明：（1）存在，使得； （2）对于每一，存在，使

6、得.证明：（1）令，由题设条件，可知，；利用连续函数的介值定理，得存在，使得，即.（2） 令，由题设条件和（1）中的结果，可知，；利用罗尔中值定理，得存在，使得，由，即得.六、 试证：对每一个整数，成立 . 分析：这是一个估计泰勒展开余项的问题，其技巧在于利用泰勒展开的积分余项.证明：显然时，不等式成立；下设.由于，这样问题等价于证明，即，令上式化为，从而等价于，只要证明，设，则只要证明，就有， ，则问题得证.以下证明，成立上式等价于，即，令，则，并且对，有 ，从而当时，这样问题得证.注：利用这一结论，我们可以证明如下结论.六、设为整数，证明方程，在上至少有一个根.六、 证明：存在，使得.证明

7、：令，则有， ，由连续函数的介值定理，得存在，使得，故问题得证.这里是由于， ，在上严格单调递减，所以，当时，有.七、 是否存在上的可微函数，使得，若存在，请给出一个例子；若不存在，请给出证明。证明 如果这样的函数存在，我们来求的不动点，即满足的，由此得，这表明有唯一的不动点，易知也仅有唯一的不动点，在等式，两边对求导，得，让，即得，这是不可能的，故这样的函数不存在。八、设函数在上一致连续，且对任何，有，证明： 。试举例说明，仅有在上的连续性推不出上述结论。证明由在上一致连续，对， ，当且时，便有；取定充分大的正整数，使得。现把区间等分，设其分点为，每个小区间的长度小于。对于任意，；从而必有，使得；由条件对每个，有；于是存在，当时，对都成立；故当时，便有，即得，结论得证。设在上的连续，且对任何，有，但推不出上述结论。例如函数满足在上的连续，且对任何，有，但不成立 。