不等式证明问题的若干典型方法.doc

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1、中文提要不等式的教学是高中数学教学的一个重点问题，也是历年高考的考核重点。可以独立出题作为大题的第一或第二题，也可与数列函数综合在最后两题中出现。与其他知识点联系密切。不等式的教学可大致分为两种，一是解不等式的教学，一是不等式证明的教学。本文就不等式的证明进行教学研究。通过对五种不等式证明的典型技巧性方法的研究，设计教学方案，希望能够通过专题教学的方式加深同学们对不等式的理解，并能够灵活运用各种技巧解决较为复杂的不等式证明问题。主要论文设计内容分为两步，一，挑选出高中不等式证明的五种典型方法：公式法，放缩法，数学归纳法，导数法以及变量代换法。加以介绍。二，进行教学研究，研究成果通过制作教学设计

2、展现，分为两课时进行教学，教学内容主要是方法讲解，方法的使用条件，方法运用（配以例题），以及最后通过总结，归纳出方法的选取原则。关键词：不等式证明 方法 高中教学Abstract The teaching of inequality is a key issue in high school mathematics education and it is also the highlight in the College Entrance Examination every year. The inequality problem could either occur independentl

3、y in the first two problem-solving questions, or integrate with sequence and function in the last two questions. The inequality is related closely with other knowledge and its teaching can be broadly divided into two parts: one is inequality-solution and the other is inequality-proving. The article

4、is committed to research the teaching method on inequality-proving problems. Designing the teaching plan by researching five kinds of typical skills on inequality-proving approaches, and the aim is to deepen the students understanding on inequality related problems by the way of thematic teaching me

5、thod as well as could use various techniques to solve more complex problems flexibly on it. The main content includes two steps. The first step is introducing five kinds of typical methods selected from high school inequality-proving knowledge; they are formula method, scaling method, mathematical i

6、nduction method, derivative method and the variable substitution method. The second step is carrying out teaching research. The production of research is shown by the teaching plan and it will takes two periods of teaching to explain the methods, conditions of using the methods, the applying of the

7、methods (together with examples) as well as how to choose a suitable method to the certain problem by summing up the key points.Key Words: the proof of inequality method mathematical teaching in high school目录第一章 研究综述 41.1 选题的意义和目的41.1.1 选题的意义4 1.1.2 选题的目的4第二章 不等式证明问题的若干典型方法介绍 52.1 公式法5 2.2 函数单调性法5 2

8、.2.1 函数单调性法的原理5 2.2.2 函数单调性法的重点5 2.3 变量代换法5 2.3.1 变量代换法的原理5 2.3.2 变量代换法中的三角函数法5 2.4 放缩法5 2.5 数学归纳法6第三章 不等式证明问题的若干解题方法教学研究6 3.1 说明6 3.2 学案一6 3.2.1 教程设计6 3.2.2 教学过程7 3.3 学案二 12 3.3.1 教程设计 12 3.3.2 教学过程 13第四章 总结16附录 17课前必备知识 17参考文献 18第一章 研究综述：1.1 选题的意义和目的：1.1.1 选题的意义在高中教科书中，不等式一章出现在必修5的第三章，和选修4-5中，是历年来

9、高中数学教学和考核的重要内容之一，近几年来在高考数学全国卷中有关不等式的考核内容站到150分中的35至50分不等并呈现上升趋势。并且不等式的概念及思想贯彻整个高中数学的学习。从集合到命题，从平面几何到立体几何，从方程到函数再到解析几何，都有不等式的运用，由此可见不等式的知识在高中数学学习及教学中的重要性。这也正是作此论文的意义所在。1.1.2 选题的目的不等式的教学宏观上可以分为两类：解不等式的教学及不等式证明的教学。这里就高中不等式证明进行进一步的研究，将不等式证明的典型方法罗列出来，分析方法的根本原理，及该方法在解决某一类不等式证明问题的优越性。并就每一类方法给出教学设计，并在最后加以归纳

10、。希望在不等式证明方法的教学中深化学生对不等式证明问题若干方法的理解，加强其灵活运用能力。同时也让教师对不等式证明问题在第一轮总复习中的巩固教学条理更清晰，针对性更强，教学效果更好是此次选题的目的。1.2 本题的开题前的准备工作：开题前的准备工作：第一，首先一高中教材A版为准，查阅研究必修5及选修4-5关于不等式的内容把握不等式教学在不同阶段的教学重难点。第二，查阅关于不等式证明方法的教学专题教案以及关于不等式证明方法的介绍讨论的论文及文献。第三，尽可能多的接触，解决近几年高考中出现或高考辅导书中出现的不等式证明的题目或例题。并从中挑选出难度不同但非常典型的题目或习题。1.3 文献综述：参考文

11、献首先是人教版高中教材必修5和选修4-5中不等式章节。以及海口14中著新课标学案关于必修5不等式的教学方案。而由于不等式在高中以致更高程度数学方面的重要性，对于不等式这一课题，学者，教师，以及少数优秀学生都有就不等式这一课题进行较系统深入的研究。多数以一种方法进行较深入的学术研究。东洪平 利用二次求导确定函数单调性证明一些不等式一文中专门讲解利用二次求导的方法证明不等式的一系列方法技巧。配以多个函数构造或函数求导较为复杂的习题。高中学生母建军例谈“放缩法”证明不等式的基本策略中详细划分列举了放缩法的三种小技巧：添加或删除一些正（负）项法，先放缩后求和法，放缩后列项法。研究也较有深度。此外还参考

12、了李剑锋，用变量代换法证明不等式。吴文尧用数学归纳法证明不等式的技巧和策略以及2012A版三年高考，五年模拟其中有一些题目非常具有代表性。但以上文献主要进行学术研究，和方法介绍。并无教学上的设计。本论文主要结合方法技巧以及题目进行教学研究和设计。希望能够做出独特的内容和效果。第二章 高中不等式证明问题的解决方法的介绍 主要针对五种典型的技巧性方法，选修4-5中所介绍的典型方法中分析法综合法主要是思想逻辑上的典型方法，不属于纯技巧上的方法，再次不以介绍研究。2.1 公式法利用高中不等式必修5第三章所学习的不等式基本性质，以及三角不等式，几何不等式等基本不等式公式等直接解决不等式证明问题的方法，我

13、们可以将其归类为解决不等式证明问题的公式法。是最初涉及到不等式证明问题时的主要解决方法。2.2 函数的单调性法 2.2.1 函数单调性法的原理根据不等式的特点构造函数，对于解决函数问题的最值，研究单调性是最直接最简便的方法之一。通过研究函数的单调性，得出函数在某一区域内的最大（最小）值从而证明不等式的恒成立是解决不等式证明问题的另一重要方法。 2.2.2 函数单调性法的重点研究函数的单调性，除了一些简单函数如一次函数，二次函数，对数函数，指数函数，反比例函数外，对于较复杂的函数，我们通常运用导数法来研究单调性，而导数法也是运用函数单调性证明不等式问题的重点。这里，我们只谈导数法。运用导数解决不

14、等式证明问题又可以大致分为两类。A 直接构造函数，然后用导数证明该函数的增减性；再利用函数在它的同一单调递增（减）区间，自变量越大，函数值越大（小），来证明不等式成立。B 把不等式变形后再改造函数，然后利用倒数证明单调性，从而证明不等式。另：特殊情况时，需要运用两次倒数法解决问题。2.3 变量代换法2.3.1 变量代换法的原理利用变量代换解决问题是初高中阶段一直以来解决方程等复杂问题的重要方法。而在解决一些不等式证明问题时也会运用变量代换法，通过不等式证明问题的一些附加条件，通过变量替换，充分利用附加条件，证明不等式。2.3.2 变量代换法中的三角函数法其中考察重点是三角函数代换法。由于特定题

15、目条件，可以将变量用三角函数代换（如典型条件），而有些量采用三角函数代换后，可以充分利用三角函数之间的特有关系（相等的或不等的），把一个较难的问题简单化或者一般化，使不等式得到证明。2.4 放缩法放缩法的原理是将不等式一边适量放大或缩小，由不等式传递性证明左右两边的不等关系。放缩法的考核在高考中的频率今年来由所上升，放缩法一般同样需要结合其他方法，对应变能力有较高的要求，往往最能够体现学生的应变能力和创新能力。而放缩法又可细分为添加或删除一些正（负）项，先放缩后求和，放缩后列项等。2.5 数学归纳法证明不等式对于一些复杂的有关自然数的不等式，数学归纳法是一种很好的证明方法。证明第一项成立，随后

16、通过归纳递推，证明若n=k=1时成立，则n=k时也成立。所证明的一般是与数列结合的不等式。第三章不等式证明问题的若干解题方法的教学研究3.1 说明本教学研究要以教学设计的方式进行，针对五种不等式证明方法，设计成为两个专题教学学案，用两节课时进行复习教学。不等式的公式法是最直接最基本的方法，其他的方法也会很大程度间接用到公式法，因此第一课时首先要介绍的一定是公式法。其后，考虑到方法的联系归纳法和放缩法要归为一类，因为两中方法都主要解决与数列挂钩的不等式。归纳法主要针对关于数列通项的不等式，而放缩法则针对有关数列求和的不等式。而导数法与变量代换法归为一类，大多数情况下需要变型不等式，要求构造新的函

17、数或变量。较为复杂。从难易程度与联系上考虑，将公式法，放缩法，数学归纳法放在一节课中作为学案一，而导数法，变量代换法（三角函数法），以及最后五种方法的总结比较，与一般情况下的方法选择原则放在学案二中。3.2 教案一3.2.1 教程设计教学内容不等式证明的若干典型方法的教学（一）课型专题教学目的和要求A加深对不等式的理解，了解掌握不等式的五种典型方法的前三种。a公式法b放缩法c数学归纳法B 掌握三种方法的技巧，原理教学重点和难点A重点：三种方法的用法，如何灵活运用，如何选用方法B难点：放缩法的三种小方法，数学归纳法解决不等式证明问题的做法及运用技巧教学方法复习课，复习引导为主，通过大量习题，向同

18、学介绍方法，及其运用技巧和选用该方法的原因。教具板书教学板书设计不等式证明的五种典型方法一 公式法 三 数学归纳法；公式法内容 数学归纳法基本做法（基本性质，基本不等式，三角不等式）二 放缩法母建军.例谈“放缩法”证明不等式的基本策略.http：wenku.baiduview92ec8b89680203d8ce2f240e.html.2012年4月3日访问。添加或删除一些正（负）项，先放缩后求和，放缩后列项 （表1）3.2.2 教学过程（师）：今天我们进行高中总复习第一轮有关不等式证明问题的复习专题。（总论）：我们在高二的必修5以及选修4-5中学习并深化了有关不等式的问题。不等式问题笼统可分为

19、两类。一类是解不等式，一种是不等式证明问题。不等式证明问题的考核也是高考中的一个重点。有时候难度很大，也可能与其他知识点综合出题。所以我们今天重点来研究讨论不等式证明的几种典型解法，并研究各种方法的适用条件极其优越性。那么都有哪些方法呢？例1：已知a、b、c都是正数，求证：（ab）（bc）（ca）abc。对于这样的题目，我们在刚学习不等式的时候就经常见到，我们用什么做法？请同学给出证明过程。（生）：直接利用基本不等式。证明：a，b，c都是正数ab20bc20ca20（ab）（bc）（ca）222abc即（ab）（bc）（ca）abc.（师）没错，这就是我们要今天复习的第一种方法，也是最基本最直

20、接的方法，公式法。公式法包括不等式基本性质及推广，基本不等式和三角不等式等。他们的内容，基本不等式和三角不等式的推导证明是在做同学必须掌握的。不等式基本性质：A B C D 由性质引申得到：A ；B ；C 。（亦可直接用于证明）基本不等式：任意a0,b0， a=b,等式成立。基本不等式的推广：设a1,a2,a3,an都是正实数，则基本不等式可推广为： (a1a2a3aan)(1/n)(a1+a2+an)/n (当且仅当a1=a2=an时取等号）三角不等式：|a|-|b|ab|a|+|b|重点：这几个不等式非常重要，是高中生必须掌握的。其中应用基本不等式解决不等式证明问题的题目比较常见。其余公式

21、则更多时候需要结合其他的方法综合解决问题。另外一定要注意基本不等式的使用条件，即各项均为正数。当然若全是负数，提取负号，仍然可以运用基本不等式。同学尚未熟练掌握的下课要重点回顾。第二种方法我们来介绍放缩法。将不等式一边适量放大或缩小，由不等式传递性证明左右两边的不等关系。而放缩法又可细分为添加或删除一些正（负）项，先放缩后求和，放缩后列项等。我们来学习。例2 已知求证：分析：首先必定要先将通项公式带入所需证明的不等式不等式，先计算出的表达式，随后分析该式，舍去一些项，使不等式右边被缩小，从而简化合式，发现缩小后仍然大于左式，利用不等式的传递性，达到证明的目的。证明： 命题得证。例3 函数f（x

22、）=，求证：f（1）+f（2）+f（n）n+.分析：此题不等式左边不易求和,此时根据不等式右边特征, 先将分子变为常数，再对分母进行放缩，从而对左边可以进行求和. 若分子, 分母如果同时存在变量时, 要设法使其中之一变为常量，分式的放缩对于分子分母均取正值的分式。如需放大，则只要把分子放大或分母缩小即可；如需缩小，则只要把分子缩小或分母放大即可。此题步骤为先放缩后求和。证明：由f(n)= =1-得f（1）+f（2）+f（n）. 命题得证。例4 已知:an=n ，求证：3证明：=1 =1 () =1123本题先采用减小分母的两次放缩，再裂项，最后又放缩。难度较大，主要考验的是对放缩法的熟悉度，和

23、对数学的感觉。例5 （综合题）数列满足+2=0(n) =1/2 若b=2(1-n) (n). 证明分析：理清解题步骤：证明不等式求b的表达式求的表达式 因为数列并不是等差等比数列，所以我们已知的公式只有=-。 所以求我们就要先求。 这就是解题步骤。我们先来计算的表达式。解：步骤一：+2=0 =-=-2即：（-）/ =-2。 若=0，则=0或=0，带入+2=0，有=0。 有=0且=0 ，则由+2=0，有=0，=0。 依次递推，有=0。与已知矛盾。所以所以有（-）/ =-2 1/-1/=2。 为等比数列。从第一项起=2+（n-1）2=2n=1/2n当n时，=-=-1/2n(n-1) n=1时，=1

24、/2步骤二：求 b易得，b=1/n，n b=1/n n步骤三：（b）=1/ 运用放缩法 =1+ 1+1/1*2+1/2*3+-1/（n-1）n=2-1/n 2命题得证（师）我们来看前三个例题，体会放缩法。当利用公式法变形等式两边无法直接得出结论时，我们便要考虑用其他方法。当式子有很多项且与数列挂钩时，我们通常考虑两种方法。一种是放缩法，化简不等式两边并利用基本性质中的传递性求解。主要是解决有关数列求和的不等式证明问题。而另一种方法就是我们接下来要研究的数学归纳法。数学归纳法也可以解决有关数列求和的不等式，而更多情况下可解决数列通项的不等式问题。即通过变型把等试两边看为两个数列通项，bn，通过数

25、学归纳法解决其恒不等问题。下边我们就来介绍第三种方法数学归纳法：对于较为复杂的规律性等式或不等式的证明，或有关自然数的不等式时，我们经常运用数学归纳法来证明。先来复习数学归纳法，我们把数学归纳法的步骤一般可类比为什么？（生）多米诺骨牌（师）对，那么他的步骤可以大致分为两步。哪两步？（生）第一步，验证第一项是否满足命题。 第二步，验证如果前一项满足，则递推至后一项同样满足命题。（师）好，基本步骤我们掌握了，具体做法就要通过题目来巩固，熟练。用数学归纳法解决含数列的不等式问题，怎么做呢？我们来看习题。例1.证明：2n2n2，nN吴文尧.用数学归纳法证明不等式的技巧和策略 . 分析：我们不妨把设数列

26、，其通项为2n2，用数学归纳法证明（1）（2）若从而证明不等式。证：(1)当n=1时，左边=212=4；右边=1，左边右边所以原不等式成立 (2)假设当n=k(k3且kN)时，不等式成立即2k2k2因为2k+12=22k2=2(2k2)22k22=k22k1k22k3=(k22k1)(k1)(k3)(因k3，则k30，k10)k2+2k1=(k1)2所以2k+12故当n=k1时，原不等式也成立根据(1)和(2)，原不等式对于任何nN都成立命题得证。3.3 学案二：3.3.1 教程设计：教学内容不等式证明的若干典型方法的教学（二）课型专题教学目的和要求A 加深对不等式的理解，了解掌握不等式的五种

27、典型方法后两种方法。a导数法b变量代换法（三角函数法）B 掌握方法的技巧，原理C 熟悉五种方法的使用范围及优点，大致能够分辨不同题目应选用何种方法解决。教学重点和难点A 重点：后两种方法的技巧，五种方法梳理，如何选用方法B 难点：导数法的构造函数法，二次求导法，三角函数法的构造三角函数的思想和原因。五种方法的选用理论教学方法复习课，复习引导为主，通过大量习题，向同学介绍方法，及其运用技巧和选用该方法的原因。教具板书教学板书设计不等式证明的五种典型方法（二） 四.单调性法： 一.公式法 导数法： 二.放缩法五.变量替换法； 三.数学归纳法三角函数法。 总结 (表2)3.3.2 教学过程：我们继续

28、来研究解决不等式问题的第四种方法。第四种方法是利用函数的单调性解决不等式问题。主要步骤是构造函数，研究函数的单调性从而在区间内得出函数的最大最小值从而证明不等式的恒成立。例1. x0时,求证；xln(1+x)0证明：设f(x)= xln(1+x) (x0), 则f(x)=x0,f(x)0时,f(x)f(0)=0，即xln(1+x)1,x/(1+x)1,，（x2时），为减函数，又因为 命题得证。由此我们可以看出一般来说研究函数单调性的主要方法就是倒数法。而导数法可以分为两类。一种是直接就有函数，运用导数法证明不等式。另一种是根据题目重新构造函数，再利用导数法证明不等式。例3. 证明不等式sinx

29、/x2/ x 东红平.利用二次求导确定函数单调性证明一些不等式.甘肃高师学报，2011（5）.72分析：仍然运用导数法，但是求出倒数之后仍无法判断倒数正负因此要继续以倒数所得的函数为新函数研究其单调性，从而在区间上判断倒数的正负。证明：设f（x）=sinx/x, x求得 令 x则可求得 当x时,即在区间内g(x)为单调减函数。g(x)f(/2)= 2/ sinx/x2/ 命题得证。（师）导数方法在解决没有强调是整数的又不能通过变型直接运用公式法证明的问题时优先考虑。而有一些等式一边本身不需变型就可看做是函数的不等式则确定无疑第一选择便是导数法。（师）接下来我们来看最后一种方法。三角函数法：利用

30、变量代换解决问题是初高中阶段一直以来解决方程等复杂问题的重要方法。而在解决一些不等式证明问题时也会运用变量代换法，主要目的是通过替换简化问题，从而运用其他方法（如公式法）证明不等式。例1（换元法其他方法）已知abc，求证：1/(a-b)+1/(b-c)4/(a-c)分析：直接做无法利用诸多手段。但是经过换元即可利用不等式公式法轻松解决问题。换元的目的：化简、化熟命题，把复杂的、不熟悉的命题化为简单的、熟悉的命题。证明：令x=a-b，y=b-c，则a-c=x+y且x0，y0原不等式转化为：1/x+1/y4/(x+y)因此，只要证 (x+y)/x+(x+y)/y4只要证：1+y/x+1+x/y4只

31、要证：y/x+x/y2，而y/x+x/y2恒成立。1/(a-b)+1/(b-c)4/(a-c) 命题得证。（师）其中我们运用最多的就是三角函数代换法。原理：由于特定题目条件，可以将变量用三角函数代换（如典型条件），而有些量采用三角函数代换后，可以充分利用三角函数之间的特有关系（相等的或不等的），把一个较难的问题简单化或者一般化，使不等式得到证明。例题：先看一道题目。例2 已知，求证：分析：由已知，a-b ,b-c,为正数，而c-a为负数。通分显然过于麻烦，而且即使通分后也没有明显的解题思路。而且也无法直接利用公式法求解。此时观察所要求证得不等式左边，三个分数的分母有这一特征，而显然a-b，b-

32、c小于a-c.因此即可以利用三角函数代换，将a-b ,b-c用a-c和三角函数来代换，此时将a-c提出，（大于零），只需考察三角函数的正负问题。从而解决问题。证明：，均为正数，又，故设 代入原不等式即有：.这是一个显然成立的不等式，从而不等式得证。例3已知a,b,c,d都是实数,且满足a2+b2=1,c2+d2=4,求证:|ac + bd|2分析：典型三角函数换元法。换元的目的：利用两个正数的和等于1进行三角换元，可以将原问题得到极大程度的化简，在各种命题的解题中有着广泛的应用。证明：可设a=cosA b=sinAc=2cosB d=2sinB则|ac+bd|=2|cosAcocB+sinAs

33、inB=2|cos(A-B)| 2命题得证（师）五种方法我们通过这两次专题课讲完了。基本方法，原理，技巧，大家课下要通过多练习，熟练掌握。那么现在我们来分析一下拿过一道题目，如何准确快速的选择使用的方法呢？一般来讲，运用不等式基本性质及推广独立解题的可能性不大，但是基本每道题都要有所运用。等式左右两边一边是加法一边是乘法的，过者通过变型能变为这一形式的，并说明变量均大于或小于零的，第一想法就是基本不等式。而对于绝对值不等式，做法一般两种，一种是左右两边平方，利用单调性证明，另一种是通过变型化简，利用三角不等式证明。一般来说遇到上述类型的题目，首先考虑运用公式法。对于可变型为数列不等式的问题，我

34、们考虑运用数学归纳法和放缩法来证明。对于等式一边能够看为是函数另一边能看为是一个定值或两边通过变型能够看为是一个函数并制定两个变量大小关系的不等式果断运用导数法求解是好的选择。有条件限制，告诉你附加条件并证明不等式时，我们一般希望通过变量替换充分利用附加条件证明不等式。而三角函数替代法更加隐晦一些，需要我们细心分析题目。第四章 总结研究不等式证明的五种典型方法，对于其技巧方法和选用解题原则，总结如下：一般来讲，运用不等式基本性质及推广独立解题的可能性不大，但是基本每道题都要有所运用。等式左右两边一边是加法一边是乘法的，过者通过变型能变为这一形式的，并说明变量均大于或小于零的，第一想法就是基本不

35、等式。而对于绝对值不等式，做法一般两种，一种是左右两边平方，利用单调性证明，另一种是通过变型化简，利用三角不等式证明。一般来说遇到上述类型的题目，首先考虑运用公式法。对于可变型为数列不等式的问题，我们考虑运用数学归纳法和放缩法来证明。对于等式一边能够看为是函数另一边能看为是一个定值或两边通过变型能够看为是一个函数并制定两个变量大小关系的不等式果断运用导数法求解是好的选择。有条件限制，告诉你附加条件并证明不等式时，我们一般希望通过变量替换充分利用附加条件证明不等式。而三角函数替代法更加隐晦一些，需要我们细心分析题目。 这五种方法之间没有从属关系，也不是必定孤立存在的。有的题目解决是需要运用多种方

36、法进行的。也可以通过多种方法解决。因此关于不等式的证明问题难度不一。综合性，灵活性强。以上方法选取也只是通过较多习题总结出的一般规律，也具有一定的片面性，在具体解决不等式证明问题是还需要具体问题具体分析，灵活变形不等式，灵活运用各类方法。附录课前必备知识：一.不等式基本性质及推广，三角不等式基本不等式内容及证明过程。二.数列求和公式三数学归纳法解题四基本初等函数的单调性，求导数的方法，导数与单调性的联系五三角函数的倍角公式，积化合差和差化积公式，正余玄的转化等。参考文献（1） 赵大鹏.3+X高考导练.数学.中国致公出版社，2000.21-64（2） 李建华.高中数学必修5.人民教育出版社（A版

37、）,2009.80-115（3） 刘绍学.高中数学选修4-5.人民教育出版社（A版），2009.21-50（4） 新课标教案.海口14中出版, 2008.51-86（5） 东红平.利用二次求导确定函数单调性证明一些不等式.甘肃高师学报，2011（5）.72（6） 母建军.例谈“放缩法”证明不等式的基本策略.http：wenku.baiduview92ec8b89680203d8ce2f240e.html.2012年4月3日访问。（7） 李剑锋. 用变量代换法证明不等式. 数学教学研究,1990（5）.7-10（8） 吴文尧.用数学归纳法证明不等式的技巧和策略 . （9） 曲一线.五年高考三年模拟.首都师范大学出版A版,2010.325第18页