2022年九年级数学上册第二十二章二次函数知识点总结新版新人教版.doc

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1、第22章 二次函数知识点归纳及相关典型题第一局部 根底知识1.定义：一般地，如果是常数，那么叫做的二次函数.2.二次函数的性质1抛物线的顶点是坐标原点，对称轴是轴.2函数的图像与的符号关系. 当时抛物线开口向上顶点为其最低点；当时抛物线开口向下顶点为其最高点.3顶点是坐标原点，对称轴是轴的抛物线的解析式形式为.3.二次函数 的图像是对称轴平行于包括重合轴的抛物线.4.二次函数用配方法可化成：的形式，其中.5. 二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：；.6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点. 的符号决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；越大，抛物线的开口越小；越小，抛物

2、线的开口越大。 平行于轴或重合的直线记作.特别地，轴记作直线.7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.8.求抛物线的顶点、对称轴的方法 1公式法：，顶点是，对称轴是直线. 2配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为的形式，得到顶点为(,)，对称轴是直线. 3抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称点的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点. 用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.9.抛物线中，的作用 1决定开口方向及开口大小，这与中的

3、完全一样. 2和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线，故：时，对称轴为轴；即、同号时，对称轴在轴左侧；即、异号时，对称轴在轴右侧，“左同右异. 3的大小决定抛物线与轴交点的位置. 当时，抛物线与轴有且只有一个交点0，： ，抛物线经过原点; ,与轴交于正半轴；,与轴交于负半轴.10.几种特殊的二次函数的图像特征如下：函数解析式开口方向对称轴顶点坐标当时开口向上当时开口向下轴0,0轴(0, )(,0)(,)()11.用待定系数法求二次函数的解析式 1一般式：.图像上三点或三对、的值，通常选择一般式. 2顶点式：.图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式. 3交点式：图像与轴的交点坐标、，

4、通常选用交点式：.12.直线与抛物线的交点 1轴与抛物线得交点为(0, ). 2与轴平行的直线与抛物线有且只有一个交点(,). 3抛物线与轴的交点 二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、，是对应一元二次方程的两个实数根.抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定： 有两个交点抛物线与轴相交； 有一个交点顶点在轴上抛物线与轴相切； 没有交点抛物线与轴相离. 4平行于轴的直线与抛物线的交点 同3一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为，那么横坐标是的两个实数根. 5一次函数的图像与二次函数的图像的交点，由方程组 的解的数目来确定：方程

5、组有两组不同的解时与有两个交点; 方程组只有一组解时与只有一个交点；方程组无解时与没有交点. 6抛物线与轴两交点之间的距离：假设抛物线与轴两交点为，由于、是方程的两个根，故中考回忆1.(2022天津中考)抛物线y=x2-4x+3与x轴相交于点A,B(点A在点B左侧),顶点为M.平移该抛物线,使点M平移后的对应点M落在x轴上,点B平移后的对应点B落在y轴上,那么平移后的抛物线解析式为(A)A.y=x2+2x+1B.y=x2+2x-1 C.y=x2-2x+1 D.y=x2-2x-12.(2022四川成都中考)在平面直角坐标系xOy中,二次函数y=ax2+bx+c的图象如下图,以下说法正确的选项是(

6、B)A. abc0B. abc0, b2-4ac0C. abc0, b2-4ac0, b2-4ac03.(2022内蒙古赤峰中考)如果关于x的方程x2-4x+2m=0有两个不相等的实数根,那么m的取值范围是m0), 那么P(m,-m+3), M(m,-m2+2m+3),PM=-m2+2m+3-(-m+3)=-m2+3m=-, PM最大值为(3)如图,过点Q作QGy轴交BD于点G,作QHBD于点H,那么QH=2设Q(x,-x2+2x+3),那么G(x,-x+3),QG=|-x2+2x+3-(-x+3)|=|-x2+3x|.DOB是等腰直角三角形,3=45,2=1=45.sin1=,QG=4.得|

7、-x2+3x|=4,当-x2+3x=4时,=9-160,方程无实数根.当-x2+3x=-4时,解得:x1=-1,x2=4,Q1(4,-5),Q2(-1,0).模拟预测1.二次函数y=kx2-6x+3的图象与x轴有交点,那么k的取值范围是(D)A.k3B.k3,且k0 C.k3D.k3,且k02.假设点M(-2,y1),N(-1,y2),P(8,y3)在抛物线y=-x2+2x上,那么以下结论正确的选项是(C)A.y1y2y3B.y2y1y3 C.y3y1y2 D.y1y3y2解:x=-2时,y1=-x2+2x=-(-2)2+2(-2)=-2-4=-6,x=-1时,y2=-x2+2x=-(-1)2

8、+2(-1)=-2=-2,x=8时,y3=-x2+2x=-82+28=-32+16=-16.-16-6-2,y3y10)的两个实数根x1,x2满足x1+x2=4和x1x2=3,那么二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象有可能是()解析:x1+x2=4,-=4.二次函数的对称轴为x=-=2.x1x2=3,=3.当a0时,c0,二次函数图象交于y轴的正半轴.4.小明在用“描点法画二次函数y=ax2+bx+c的图象时,列了如下表格:x-2-1012y-6-4-2-2-2根据表格中的信息答复以下问题:该二次函数y=ax2+bx+c在x=3时,y=-4.5.假设关于x的函数y=kx2+2x-1与x轴

9、仅有一个公共点,那么实数k的值为k=0或k=-1.6.抛物线y=-x2+bx+c的图象如图,假设将其向左平移2个单位长度,再向下平移3个单位长度,那么平移后的解析式为.解析:由题中图象可知,对称轴x=1, 所以 - =1,即b=2.把点(3,0)代入y=-x2+2x+c,得c=3.故原图象的解析式为y=-x2+2x+3,即y=-(x-1)2+4,然后向左平移2个单位,再向下平移3个单位,得y=-(x-1+2)2+4-3,即y=-x2-2x. 答案:y=-x2-2x7.如图,假设抛物线L1的顶点A在抛物线L2上,抛物线L2的顶点B也在抛物线L1上(点A与点B不重合),我们把这样的两抛物线L1,L

10、2互称为“友好抛物线,可见一条抛物线的“友好抛物线可以有很多条.(1)如图,抛物线L3:y=2x2-8x+4与y轴交于点C,试求出点C关于该抛物线对称轴对称的对称点D的坐标;(2)请求出以点D为顶点的L3的“友好抛物线L4的解析式,并指出L3与L4中y同时随x增大而增大的自变量的取值范围;(3)假设抛物线y=a1(x-m)2+n的任意一条“友好抛物线的解析式为y=a2(x-h)2+k,请写出a1与a2的关系式,并说明理由.解:(1)抛物线L3:y=2x2-8x+4,y=2(x-2)2-4.顶点为(2,-4),对称轴为x=2,设x=0,那么y=4,C(0,4).点C关于该抛物线对称轴对称的对称点D的坐标为(4,4).(2)以点D(4,4)为顶点的L3的友好抛物线L4还过点(2,-4),L4的解析式为y=-2(x-4)2+4.L3与L4中y同时随x增大而增大的自变量的取值范围是2x4.(3)a1=-a2,理由如下:抛物线L1的顶点A在抛物线L2上,抛物线L2的顶点B也在抛物线L1上,可以列出两个方程由+,得(a1+a2)(m-h)2=0,a1=-a2.