第二十五届2014年“希望杯”全国数学邀请赛培训题初中二年级详解.ppt

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1、第二十五届(2014年)“希望杯”全国数学邀请赛培训题1.) (532不是不是无理数无理数的定义：无限不循环不循环小数叫做无理数无理数有理数有理数的定义：有限和无限循环无限循环小数叫做有理数有理数或整数整数与分数分数统称为有理数有理数实数实数的定义：有理数和无理数统称为实数实数 A. 分数. B.实数. C.无理数. D.无限不循环小数.送分题送分题，但考点还是有2点: 是要注意到有个“不不”字，这是个低级“陷阱”。但很多人都会陷下去。 不要看到C选项中的“无理数”，就不看清楚题意就选C。 是要掌握好课本中“实数实数”的分类和定义。就是平时强调的要背书问题。即：实数有理数有理数无理数无理数或：

2、实数正正实数零零负负实数A A 分数分数是用分式表达成分式表达成 （其中a,b均为整数，且b不等于0）的有理数。ba实数实数有理数有理数无理数无理数分数分数整数整数正整数正整数 0负整数负整数正分数正分数负分数负分数自然数自然数正无理数正无理数负无理数负无理数无限不循环小数无限不循环小数有限小数及无限循环小数有限小数及无限循环小数一般有三种情况一般有三种情况、) 1 ( 开不尽的数”“”“23，、00010100100010. 0) 3(类似于、有一定的规律，但不循环的无限小数。这5个数中，有理数的个数是（ ）2.324 ),3324(31 ,2012. 0 ,5 ,31 nn 在在(n是自然

3、数) A.2. B.3. C.4. D.5.考点：要知道是无限不循环小数无限不循环小数；324 可以拆项分解成完全平方式, 然后去根号，化简得出它是一个有理数；B.B. 答案中用反证法证明第五个式子中的(n+4)和(n+2)不可能同时是完全平方数,相对较复杂. 可以简单想像,因为(n+4)和(n+2)只相差2,我们在自然数中是找不到两个相差是2的完全平方数。简单证明:假设(n+4)和(n+2)都是完全平方数.令n+4=x2 2,n+2=y2 2x2 2-y2 2 =2(x+y)(x-y)=2又x,y都是大于0的整数,且xy,只可能x+y=2,x-y=1 解得 2123yx则n不是自然数,与假设

4、矛盾.3.化简(-1)n+1n+1p2 2n n(n为自然数）得（ ） A.p2n2n. B. -p2n2n. C. -pn+2n+2. D. pn+2n+2.(-1)n+1n+1p2 2n n先不-1和p的值，去中括号=(-1)n(n+1)n(n+1)p2n2nan幂幂底数底数指数指数幂的乘方法则：幂的乘方法则：符号叙述：符号叙述：nmnmaa)(语言叙述：语言叙述：幂的乘方，幂的乘方，底数不变，底数不变，指数相乘指数相乘n和(n+1)是连续的自然数， n (n+1)必为偶数原式=p2n2n A. 积的乘方积的乘方法则：积的乘方，等于把积的每一个因式每一个因式分别分别乘方，再把所得的幂相乘。

5、(ab)n=an bn 即 4.4.已知：a5 5a3 3aa2 2a4 4 ,则实数a的取值范围是（ ） A.0a1. C.-1a0. D.a-1.D在a3 3a两边同时乘以a(a0),可得，a2 2a4 4在a3 3a两边同时除以a(a1a0,即a1,a-1b.).2,(, 0)5( nNnbabann那么那么如果如果非负整数集合（自然数集）记号非负整数集合（自然数集）记号N非负整数集合（自然数集）非负整数集合（自然数集）(乘方法则乘方法则)再比较a与c:(a2 2)2 2=32 2=9,c4 4=5, ac.最后比较a与d:(a2 2)5 5=35 5=243,(d5 5)2 2=62

6、2=36, ad.同底数幂的乘法同底数幂的乘法：am an = am+n (m、n都是正整数都是正整数)同底数幂相乘同底数幂相乘底数底数，指数指数 。不变不变相加相加 10.已知二次三项式x2-mx-8(m是整数)在整数范围内可以分解为两个一次因式的积，则m的值可能是（ ）较传统的解法是用待定系数法待定系数法 对所给的数学问题，根据已知条件和要求，先设先设出问题的多多项式表达形式项式表达形式（含待定的字母系数），然后利用已知条件，确定或消去所设所设待定系数待定系数，使问题获解的这种方法叫待定系数法.用待定系数法待定系数法解题目的一般步骤是： 1.根据多项式次数关系，假设一个含待定系数一个含待定

7、系数的等式； 2.利用恒等式对应项系数相等，列出含有待定系数的方程； 3.解方程组,求出待定系数,再代入所设问题的结构中去,得到需求问题的解. A.1. B.2. C.3. D.4.B Bx2-mx-8=(x+a)(x+b)即x2-mx-8=x2+(a+b)x+ab 8abmba有有a,b为整数 781111mba 781222mba 242233mba 242444mba , 0,2,2yayxayx11.若yx则 的值是（ ）由1式-2式，可消去a. 得 A.-1. B.1. C. . D.3.31D D03 yxy0,方程两边可同时除以y.3 yx12.方程组 的解的个数是（ ） 410

8、yxyx A. 1. B.2. C.3. D.4.分类讨论思想分类讨论思想A 在解答某些数学问题时,因为存在一些不确定的因素不确定的因素,解答无法用统一的方法或结论,不能给出统一的表述,对这类问题依情况加以依情况加以分类分类,并逐类求解逐类求解,然后综合求解,这种解题的方法叫分类讨论法分类讨论法. . 分类讨论分类讨论涉及初中数学的所有知识点,其关键是弄清引起分类分类的原因的原因,明确分类讨论的对象和标准分类讨论的对象和标准,分情况加以讨论求解,再将不同结论综合归纳,得出正确答案.分类的原则是分类的原则是既不重复既不重复, ,也不遗漏也不遗漏! !当x0,y0时,方程组是 410yxyx两个方

9、程互相矛盾,原方程组无解;当x0,y0时,方程组是 410yxyx两个方程互相矛盾,原方程组无解;当x0,y0时,方程组是 410yxyx . 37yx解得解得当x0或axb00,这时对应的自变量对应的自变量x x的所有取值为不等式不等式axaxb b00的解集的解集, 同理,一次函数图象在在x x轴下方轴下方的部分对应对应的x的所有取值为axb0的解集解集. 利用一次函数的图象能直观地直观地看到怎样用图形来表示方程的解与不等式的解， 这种用函数观点用函数观点认识问题的方法,对于继续学习数学很重要 一般地,每个二元一次方程组,也对应对应两条直线两条直线, 从“数数”的角度看，解方程组相当于考虑

10、自变量为何值自变量为何值时两个两个函数的值相等函数的值相等，以及这个函数值函数值是何值； 从“形形”的角度看，解方程组相当于确定确定两条直线交点的坐两条直线交点的坐标标 方程(组)、不等式与函数之间互相联系,用函数观点可以把它们统一起来, 解决问题时,应根据具体情况灵活地、有机地把它们结合起来使用.3.3.基本的方法与技巧基本的方法与技巧能用待定系数法待定系数法求求一次函数的关系式， 用两点法两点法准确画出一次函数的图象，借助图象深刻理解一次函数的性质，渗透数形结合的渗透数形结合的思想思想，会利用图象判断k k、b b的取值范围取值范围. 对于实际问题,要根据等量关系等量关系写出函数关系式函数

11、关系式,体现用函数思想解决实际问题能力, 关于函数的分类讨论函数的分类讨论要求,从图象上反映为折线折线,有其丰富的实际背景.函数定义函数定义 在某变化过程中变化过程中有两个变量两个变量x,y，按照某个对应法则某个对应法则，对于给定的x，有唯一确定的有唯一确定的y与之对应与之对应，那么y就叫做x的函数。其中x叫自变量自变量，y叫因变量因变量。 在一个变化过程中，发生变化的量发生变化的量叫变量，有些数值是不随变不随变量而改变的量而改变的，我们称它们为常量常量。 自变量自变量，函数一个与它量它量有关联的变量，这一量中的任何一值都能在它量它量中找到对应的固定值找到对应的固定值。 因变量因变量(函数)，

12、随着自变量的变化而变化随着自变量的变化而变化，且自变量取唯一值时，因变量(函数)有且只有唯一有且只有唯一值与其相对应。 函数值函数值，在y是x的函数中，x确定一个值，Y就随之确定一个值，当x取a时，Y就随之确定为b，b就叫做a的函数值。 16.16.已知A(x1,y1),点B(x2,y2)是一次函数y=(2m-1)x+3的图象上的两点，当x1y2.则m的取值范围是（ ）。一次函数一次函数y ykxkxb b的性质：的性质：它是过 的一条直线 A. . B. . C. . D. .21 m21 m21 m21 mA A(0,b)， bk，0 当k0k0时，y随x的增大而增大增大而增大当k0k0时

13、，y随x的增大而减小增大而减小当x1y2.即y随x的增大而减小增大而减小., 012 m.21 m即即送分题，只是考你对“当当x x1 1xyy2 2”这句话是否理解。 17.17. 当-1x2时，函数y=ax+6满足y10，则a的取值范围是（ ） A.a-4a-4. B.a2. C.-4a2且a0. D.-4a2.当a=0,y=ax+6=6,符合题意.当a0时,函数y=ax+6是一次函数.由题知，当-1x2时，y10，则有x=-1,y=ax+6=-a+610,解得 a-4.a-4.x=2,y=ax+6=2a+610,解得 a2.-4a2,且a0综上所述，a的取值范围是-4a2D D 18.

14、已知反比例函数 （m为常数），当x0时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是（ ）xmy21 A. B. C. D. . 0 m.21 m.21 m.21 mC C当x0, py+1=(5-p)x (4-p)x1.p=4y+1=x,8=x+y+z=2y+1+z2y+1y3.5 另外zx=y+18=x+y+z2y=3,x=4,z=1. 21. 21. 已知质数p,q满足5p2+3q=59，则以p+3,1-p+q,2p+q-4为边长的三角形是（ ） A.锐角三角形锐角三角形.B.直角三角形. C.钝角三角形. D.等腰三角形.5p2+3q=59是奇数，所以p,q一奇一偶。又p,q都是质数， p,q

15、中有一个是2若q=2,则,3532 p不合题意。若p=2,则若q=13.此时p+3=5,1-p+q=122p+q-4=1352+122=132这个三角形是直角三角形。B B22.22.有下列三个命题：五边形的内角中至少有两个钝角;十二边形共有54条对角线;内角和等于外角和的多边形的边数为4.其中正确命题的个数是（ ） 五边形外角和是360，所以5个外角中不能有4个或5个钝角，即外角中至多有3个钝角，内角中至多有3个锐角，至少有2个钝角。考虑内角不要从内角入手,如果从外角入手,问题就可简单化. A. 0 0. B. 1. C. 2. D.3.D D 从十二边形一个顶点出发可引出12-3=9(条)

16、对角线，所有对角线的条数是1292=54. 从“对角线”的定义出发,“连接多边形任意两个不相邻不相邻顶点顶点的线段”,一个顶点可连接多少条？ 根据多边形的内角和公式内角和公式和外角和性质外角和性质，列一个简单的方程方程就可以解决问题.(n-2)180=360n=4. 23.23.在菱形ABCD中,A:B=1:5,若菱形的周长是8,则高是( ) A. . B. 4. C. 1. D.2.21在菱形ABCD中，AD/BC，A+B=180又A:B=1:5A=30菱形的高=AD21周长周长81 =1.=1.C C 24.24.如图,在平行四边形ABCD中,AEBC于E,AB2=2,AE=EC=a,若a

17、使代数式a2+2a-3的值为零,则平行四边形ABCD的面积是( ) A. 4 4. B. 3. C. 2. D.1.C CB BD DA AE EC Ca2+2a-3=0(a+3)(a-1)=0又a0,a=1,在直角ABE中，BE2=AB2-AE2BE=1BC=EB+EC=2平行四边形ABCD的面积是2 25.25. The side of square ABCD is 1, ABCD rotates around The side of square ABCD is 1, ABCD rotates around point A 30point A 30and becomes squsre A

18、and becomes squsre AB BC CD. The area of the D. The area of the overlapping part of the square ABCD and the square Aoverlapping part of the square ABCD and the square AB BC CD D is ( ) is ( ) A. B. C. D. .21.33.331 .431 译文：已知正方形译文：已知正方形ABCDABCD边长是边长是1 1，将正方形，将正方形ABCDABCD绕点绕点A A旋转旋转3030得到正方形得到正方形A AB

19、 BC CD,D,则正方形则正方形A AB BC CD D与正方形与正方形ABCDAABCDA重叠部分的面积重叠部分的面积是（是（ ） 英英 r rtetet t vt.& vi.vt.& vi.（使某物）旋转（使某物）旋转; ; 使转动使转动; ; 美美 rotet rotet B BA AD DC CE EB BC CD DRtABE RtADE ABE = ADE =30AEEB21 222AEBABE 而而33 BE331212 重叠重叠S33 B Boverlapping vlp n.重叠，搭接 BC/x轴，AC/y轴，ABC的面积记为S，则（ ）26.26.如图,A、B是反比例函数

20、xy2 的图象上关于原点对称的两点,A AC CB BO Ox xy y A. S=2 S=2. B. S=4. C. 2S4.设A点的坐标为（x1,y1）,则B点的坐标为（-x1,-y1）,C点的坐标为（x1,-y1）,211 yxABC的面积是BCACS 21. 4211 yxB BA A 27. 27.如图,周长是34的矩形ABCD被分成7个全等的小矩形，则矩形ABCD的面积是（ ）D DC CB BA A A. 208 208. B. 140. C. 70. D.196.设小矩形的长和宽分别是x,y，则有 17352yxyx 25 yx解得解得70527 ABCDS矩形矩形C C 28

21、. 使代数式 的值是整数的所有自然x的和是（ ）1112 xx A. 5 5. B. 6. C. 12. D.22.112122 xx原式原式112)1)(1( xxx原式原式1121 xx为使 是整数，自然x可取0,1,2,3,5,11112 x它们的和是22.D D29. 若自然数p,q满足,1311130112914131211 qp 则p除以197，余数是（ ） A. 0 0. B. 73. C. 157. D.19.)131131211( qp)13014121(2 )131131211( )13024222( )131131211( )65131211( 1311681671661

22、 )991981()1321671()1311661( )99981132621131661(197 1213013112130131qp).99981132621131661(197 A A,)99981132621131661(12130131是整数是整数显然显然 1213013112130131qp).99981132621131661(197 ,12130131197p 整除整除因此因此而而197197是质数是质数, ,19712130131整除整除不被不被 所以所以p p被被197197整除。整除。197 XAqpA整数整数 197qpA197 整数整数qpA 30. If m is

23、 the integer part of m, then the value of m is ( ),)32(6 m A. 2702 2702. B. 2701. C. 2700. D.2699.B Binteger ntd(r) n.整数value vlju: n.价值，价格; 231 13201)32(0666)32()32( 而而)32()32(3)32()32()32()32(2222222 3)347347)(347347(2 )(2233babababa )314(142 )3196(14 3)(2abbaba 19314 2702 )32(27026 m2701 30. If m

24、 is the integer part of m, then the value of m is ( ),)32(6 m A. 2702 2702. B. 2701. C. 2700. D.2699.B Binteger ntd(r) n.整数value vlju: n.价值，价格; 231 10y106y)32(66 mx.270127026y32 , 32 yx令令4 yx134)32)(32(xyxyyxyx2)(22214216)(42242266yyxxyxyx3)(2222222yxyxyx)(3)(2222322yxyxyx.27021413143 31. 分解因式：4x4+3

25、x2+1= .222214)2(xxx222) 12(xx)12)(12(22xxxx32. 分解因式：_)(4)(4)(2222yxyxyx)()(4)(2yxyxyxyx)(8)(2yxyyx222882yxyyxyx2296yxyx2)3(yx22)(4)(4)(yxyxyxyx2)(2)(yxyx2)3(yx解法解法1 1：解法解法2 2：33. 已知, 15a_1127223的值是则aaa15a5) 1(2 a422aa1127223aaa1123)2(222aaaaa112382aaa11632aa11)2(32aa11112解法解法1 1：解法解法2 2：15a5) 1(2 a0

26、422aa1127223aaa1125)42(232aaaaaa1163)42(0222aaaaa1)42(3aa110,3819x若若.1582318262234的值求分式xxxxxx2)138(10)138()26162()138(2223234xxxxxxxxxx原分式3819x22)3(34243434 x. 0138, 3)4(22xxx即即. 5210本例的解法采用的是整体代入整体代入的方法,应用得当会使问题的求解过程大大简化大大简化 这是代入消元法代入消元法的一种特殊类型特殊类型，整体代入法整体代入法 34. 已知A=20142014，B=(122014)2,则A B.（填“”、

27、“”、“k+mk2 2-m,-m,则则 35 1152222mkmkmkmk或或舍去舍去无整数解无整数解其中其中, 11522 mkmk 12mk 113216dcba 用换元法换元法，然后从分解因式和分解因数入手看似很难，但懂得方法就简单了。41. 方程组 的正整数解是 . 152345cadcba令令a a5 5=b=b4 4=k=k2020(k(k是正整数是正整数),),令令c c3 3=d=d2 2=m=m6 6(m(m是正整数是正整数),),则则a=ka=k4 4, b=k, b=k5 5; ;则则c=mc=m2 2, d=m, d=m3 3; ;由由a-c=15,a-c=15,得得

28、k k4 4-m-m2 2=15=15(k(k2 2+m)(k+m)(k2 2-m)=15-m)=151=51=53.3.因为因为 k,mk,m是正整数是正整数, ,k k2 2+mk+mk2 2-m,-m,则则 35 1152222mkmkmkmk或或舍去舍去无整数解无整数解其中其中, 11522 mkmk 12mk 113216dcba 用换元法换元法，然后从分解因式和分解因数入手看似很难，但懂得方法就简单了。 42.若k=4k=47 7+4+410041004+4+4n n,并且k是一个完全平方数,则正整数n= 或 .由由k=(2k=(27 7) )2 2+2+22 27 72 2200

29、02000+(2+(220002000) )2 2,=(2=(27 7+2+220002000) )2 2,得得n=2000n=2000由由k=(2k=(27 7) )2 2+2+22 27 72 210041004+(2+(210041004) )2 2,a a2 2+2ab+b+2ab+b2 2=(a+b)=(a+b)2 24 4n n可以是完全平方式的可以是完全平方式的b b项，项，也可以是完全平方式的也可以是完全平方式的2ab2ab项，项，=(2=(27 7+2+210041004) )2 2,得得n=506.n=506.此题有此题有2个考点：个考点： 必须熟练掌握好完全平方公式必须熟

30、练掌握好完全平方公式不能忘记分类讨论思想分类讨论思想43. 若实数若实数x,yx,y满足满足x x2 2+y+y2 2+x+x2 2y y2 2-4xy+1=0,-4xy+1=0,则则(x+y)(x+y)2 2= = . . 一条等式，要求两个未知数，首先就要联想到以前做过的利用非负数性质非负数性质，即非负数+非负数+非负数=0,各非负数都等于各非负数都等于0。或者是考虑AB=0，得出A=0或B=0。这里的非负数非负数可能是两个完全平方式完全平方式。0)12()2(2222 xyyxyxyx将将-4xy-4xy拆成两个拆成两个-2xy.-2xy.则原式可化为则原式可化为0)1()(22 xyy

31、x 10 xyyx44)()(22 xyyxyx 44.若若n(n0)n(n0)是关于是关于x x的方程的方程x x2 2-mx-5n=0-mx-5n=0的根，则的根，则m-n= m-n= . .要理解要理解“根根”的定义，的定义，若若n代入得代入得n n2 2-mn-5n=0-mn-5n=0AB=0，得出A=0或B=0。 一条等式，要求两个或两个以上未知数，首先就要联想到利用非负数性质非负数性质，非负数非负数没得想，那么就考虑n(n-m-5)=0n(n-m-5)=0n0n-m=5n-m=5即即m-n=-5m-n=-545.观察下列各式：观察下列各式： , 1675, 1453, 123122

32、2 其中的规律可用含n(n为正整数)的等式表示为 .1)2()12)(12(2 nnn两个连续奇数的积 46. 设实数设实数a,b满足满足 则则 的值是的值是 .,1211112 abbaab 11)1()1(21)1)(1()1()1(2abbaab ,1211112 abba)1)(1()1()1(22baab )1)(1()1()1)(1(4)1(422baabab 0)1()1)(1(5)1(422 abab0)1()1()1()1(4 abab或或 0)1()1(4 ab0)1()1( ab或或 4111 ab. 111 abAB=0，得出A=0或或B=0。分解因式分解因式非常重要4

33、7. 若若2232, 511的值是的值是则则yxyxyxyxyx 将分式 的分子、分母都除以除以xyxy,得yxyxyxyx 2232yxyxyxyx 2232xyxy121232 . 125310 从未知入手，化为含有已知已知的式子。再整体代入。也可从已知入手，通过适当变形适当变形,再整体代换整体代换511yx5xyyxxyyx5xyyxxyyxyxyxyxyx23222232xyxyxyxy25352. 177xyxy.2232 . 511的值的值求求已知已知yxyxyxyxyx511yx5xyyxxyyx5. 1772535223222232xyxyxyxyxyxyxyyxxyyxyxy

34、xyxyx整体代换整体代换适当变形适当变形48. 若若abc=1,abc=1,则则._111 caccbbcbaaba111 caccbbcbaababcbacbbcbbcbabcaaba 1bcbacbbcbbcbbcb 111bcbbcbbcbbcb 1111. 111 bbcbbc解法1:利用1=abc,以及中间项不变.若若abc=1，求，求.111的值的值ccacbbcbaaba解法解法1：因为abc=1，所以a，b，c都不为零 111ccacababbbcbaaaaba原式原式ababcabcaabcaababcabaaba1abaaababaaba1111111aababa解法解法

35、2：由abc=1，得 将之代入原式,1bca 1111111cbcccbbcbbcbbcbc原式原式11111bbcbcbbcbbcb已学已学若若abc=1，解方程，解方程112122ccacxbbcbxabcaabax解：解： abc=1，所以原方程可变形为1121212ccacxbbcbxaabax1121) 1(2ccacxbbcxb112) 1(2ccacxabcbbcxb1) 1(2) 1(2ccabbcxxb1)(2bbcbcabcabcbx。x为原方程的解21化简整理为化简整理为化简整理为化简整理为49. 若若a,b,ca,b,c是互不相等的实数是互不相等的实数, ,化简化简._

36、,)()()()()()(222得得babcbacacabacbcbcacba )()()()()()()()(222bacbcaacbaccbacbbacba )()()()()()()()()(222bacbcaacbacacbaacbbacba )()()()()()()()()()(2222bacbcaacbacacacbbaacbbacba )()()()()()(2222bacbcaacbbacacacbcbaba )()()22(2)()22(2)(bacbcabacaccabba )()()()()()(4bacbcabaccacabba 4)()()()()(4 bacbca

37、cbcaba中间项作为桥梁，最主要是把b-c拆成a-b和c-a,然后再利用平方差公式。49. 若若a,b,ca,b,c是互不相等的实数是互不相等的实数, ,化简化简._,)()()()()()(222得得babcbacacabacbcbcacba 用换元法zbacyacbxcba设222zycyxbzxa则有222zyabzxcbyxba)(4)(4)(4222yzxzzxyzyyzxyxx原式)()()(4)(4)(4222zyzxyxyxzzxyzyx)()()()()(4222zyzxyxyxzzyyxyzyx)()()()(42222zyzxyxyxyzzyyx1)()()()()(4

38、zyzxyxyzyxzyyx化简计算(式中a，b，c两两不相等)： .222222abbcaccbacacbcabbacbbcacabacba.)(2)(2)(2bcacbaccbabacbcabacba原式原式是否想起拆项公式的是否想起拆项公式的.11nmmnnm.)()()()()()()()(bcacbcacabcbabcbcabacaba. 0111111acbccbabbaca 50. 若关于若关于x的不等式的不等式axb的解集是的解集是xb的解集是的解集是,52x,52 , 0aba;, 0,)4(bcaccba 那么那么如果如果., 0,bcaccba 那么那么如果如果(乘法法则

39、乘法法则).52ab 即ab52将将 代入不等式代入不等式(a-2b)x+a0(a-2b)x+a0，得，得, 051aax.51aax即 , 0a. 5x51. 若关于若关于x的不等式组的不等式组01456mxxx 的解集是的解集是x5x+20,4x+245x+20,解得解得x 4.又又 x-m.x-m.-m4,-m4,故故 m-4.m-4. 52. 若关于若关于x x的不等式组的不等式组 的解集是的解集是-1x1,-1x1,则则020 xbax（a+b)a+b)20132013= = . .又知又知-1x1,-1x0,y00,且x0y0=k.由题意知,C点的坐标是(x0,0),D点的坐标是(

40、0,y0),),1,(00 xxA点的坐标是),1(00yyB点的坐标是112100yySODB112100 xxSOCA正确.C CD DP PA AB BO Ox xy yxy1xky 四边形PAOB的面积不会发生变化； PA与PB始终相等；当点A是PC的中点时，点B一定是PD的中点.点P在 的图象上,xky 不妨设点P的坐标是(x0,y0),其中x00,y00,且x0y0=k. 由题意知,C点的坐标是(x0,0),D点的坐标是(0,y0),),1,(00 xxA点的坐标是),1(00yyB点的坐标是112100yySODB112100 xxSOCAOCAODBOCPDPAOBSSSS矩形

41、四边形,00是一个定值而矩形kyxSOCPD四边形PAOB的面积不会发生变化;正确. PA与PB的长度随P点的位置变化而变化,所以不正确.当点A是PC的中点时,),2,(00yxA点的坐标是,2100yx, 200yx即, 2k故此时B点的横坐标是,2100 xy所以B点恰好是PD的中点,正确.O Ox xy yB BA A 57.如图如图, ,直角三角形直角三角形AOBAOB中中,O,O为坐标原点为坐标原点,AOB=90,AOB=90B=30B=30, ,若若A A在反比例函数在反比例函数 图象上运动图象上运动, ,那么点那么点B B在函数在函数 的的图象上运动。图象上运动。)0(1xxyM

42、 MN N又又点点B B在第四象限在第四象限, ,解:分别过A、B作ANy轴于N，BMy轴于M，设A(a，b),31OBOA)0(1xxyAA在反比例函数在反比例函数 的图象上的图象上, ,ab=1 ab=1 在OAN与BOM中,AON=90-BOM=OBM，ONA=BMO=90， OANBOM,OBOAOMANBMON在RtAOB中,AOB=90,B=30,31OMaBMbaOMbBM3 ,333abOMBM点B在函数 的图象上运动.xy3 本题应用到相似三角形相似三角形的判定及性质，用待定系数法待定系数法求函数的解析式。O Ox xy yB BA A 57.如图如图, ,直角三角形直角三角

43、形AOBAOB中中,O,O为坐标原点为坐标原点,AOB=90,AOB=90B=30B=30, ,若若A A在反比例函数在反比例函数 图象上运动图象上运动, ,那么点那么点B B在函数在函数 的的图象上运动。图象上运动。)0(1xxyM MN N自A,B分别作y轴的垂线AN,BM,垂足分别为N,M.则,31OBOA,31BMOANOSS,2121ANONSANO,2321BMOMSBMO, 3 BMOM即.3xy想不出面积比为什么会等于1:3 58. 图图7(1)7(1)是一个正三角形是一个正三角形, ,分别连接这个三角形各边上的中分别连接这个三角形各边上的中点得到图点得到图(2),(2),再连

44、接图再连接图(2)(2)中间的小三角形各边上的中点得到图中间的小三角形各边上的中点得到图(3),(3),按此方法继续下去按此方法继续下去. .前三个图形中三角形的个数分别是前三个图形中三角形的个数分别是1 1个个,5,5个个,9,9个个, ,那么第那么第5 5个图形中三角形的个数个图形中三角形的个数是是 个；第个；第n n个图形中三角形的个个图形中三角形的个数是数是 个。个。前三个图形中三角形的个数分别是前三个图形中三角形的个数分别是1 1个个,5,5个个,9,9个个, ,第第2 2个图形中三角形的个数比第个图形中三角形的个数比第1 1个图形中三角形的个数多个图形中三角形的个数多4 4个个,

45、, 第第3 3个图形中三角形的个数比第个图形中三角形的个数比第2 2个图形中三角形的个数也多个图形中三角形的个数也多4 4个个, ,于是第于是第5个图形中三角形的个数是个图形中三角形的个数是 9+4+4=17(个)第第n个图形中三角形的个数是个图形中三角形的个数是1+4(n-1)=4n-3(个). 59.已知已知P P是正方形是正方形ABCDABCD所在平面上的点所在平面上的点, ,使使PAB,PAB,PBC,PBC,PCD,PCD,PDAPDA都是等腰三角形的点都是等腰三角形的点P P有有 个个. .点P可能在正方形内,也可能在正方形外,A AB BC CA AD D P点有9处,如图,以正

46、方形的各边为边向正方形的内或外内或外作等边等边三角形三角形,则这些等边三角形的顶点为所作的P P点点， 还有正方形的对角线的交点也满足条件. 根据正方形的性质可得,满足这样的点首先有:两条对角线的交点; 再以四个顶点为圆心以边长为半径画圆，在正方形里面和外面的交点一共有8个根据半径相等，这些点就是要求的点 59.已知已知P P是正方形是正方形ABCDABCD所在平面上的点所在平面上的点, ,使使PAB,PAB,PBC,PBC,PCD,PCD,PDAPDA都是等腰三角形的点都是等腰三角形的点P P有有 个个. .B BC CA AD D 易知正方形的中心满足条件. 画出正方形平行于边的对称轴，分

47、别以A、B、C、D为圆心，以边长为半径画弧，这些弧线与两条对称轴有8个交点， 60.若若ABCABC的三边长的三边长a,b,ca,b,c满满c c3 3=a=a3 3+b+b3 3, ,则则ABCABC是是 三角形三角形. .( (填填“锐角锐角”、“直角直角”或或“钝角）钝角）显然ca, cb,222bcbacac,22ba 所以所以ABCABC是锐角三角形是锐角三角形. .解:a3+b3=c3C为ABC中的最大角,由余弦定理得:02cos222abcbaCC为锐角 还要用到“余弦定理”其实答案这样说不严谨a3+b3=c3显然ca,cb, 61.过等腰三角形一个过等腰三角形一个底角顶点底角顶

48、点的直线将等腰三角形分为的直线将等腰三角形分为两个两个等腰三角形等腰三角形，则原来的等腰三角形顶角的度数是，则原来的等腰三角形顶角的度数是 . .分类讨论相思分类讨论相思B BC CD DA AD DC CB BA A设设ABCABC中中,AB=AC,A=x,AB=AC,A=x, ,如图,当AD=DB,CB=CD时,A=ABD=xA=ABD=x, ,BDC=CBD=2xBDC=CBD=2x, ,ABC=ACB=3xABC=ACB=3x, ,7x7x=180=180, ,.7180A如图,当AD=DB=CB时,A=ABD=xA=ABD=x, ,BDC=BCD=ABC=2xBDC=BCD=ABC=

49、2x, ,A=ABC=ACB=180A=ABC=ACB=180, ,A=ABC=ACB=180A=ABC=ACB=180, ,5x5x=180=180, , A=36A=36. . 如果过等腰三角形的一个顶点一个顶点的直线将这个等腰三角形分成两个等腰三角形，那么这个等腰三角形的顶角的度数为 .分类讨论相思分类讨论相思经过顶角的顶点顶角的顶点有两种情况，经过底角的顶点底角的顶点也有两种情况,D DB BA AC CB BC CD DA AC CD DB BA AC CB BA AD D 当过顶角的顶点顶点的直线把它分成了两个等腰三角形,则AC=BC,AD=CD=BD， 设A=x 则ACD=A=x

50、,B=A=x,BCD=B=x,4x=180 顶角是90 如图,AC=BC=BD,AD=CD, 设B=x, A=B=ACD=x CDB=BCD=2x 5x=180 则顶角是108.当过底角的的顶点把它分成了两个等腰三角形，如上题一种是顶角是36 一种是顶角是.7180 62.如图，将周长为如图，将周长为8 8的的ABCABC沿沿BCBC方向平移方向平移1 1个单位，得到个单位，得到DEFDEF，则四边形，则四边形ABFDABFD的周长为的周长为 . .E EF FB BD DA AC C又又AB+BC+AC=8AB+BC+AC=8， 将将ABCABC沿边沿边BCBC向右平移向右平移1 1个单位得