等差数列知识点总结与基本题型.docx

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1、等差数列知识点总结与基本题型等差数列知识点总结与基此题型一、基本概念1、等差数列的概念1定义：假如一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。2对于公差d，需强调的是它是每一项与它前一项的差从第2项起要防止把被减数与减数弄颠倒。30d?等差数列为递增数列0d=?等差数列为常数列0d数列中任意两项na与ka，知足：()nkaankd=+-或nkaadnk-=-。在等差数列中，若mnpq+=+，则mnpqaaaa+=+。3、等差数列的等差中项1定义：假如,aAb成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项。2充要

2、条件：,aAb成等差数列2abA+?=。3推论：na是等差数列212nnnaaa+?=。4、等差数列的主要性质若2(,)mnkmnkN*+=，则2mnkaaa+=。na是有穷等差数列，则与首末两项等距离的两项之和都相等，且等于首末两项之和，即1211nniniaaaaaa-+-+=+=+=。若na为等差数列，则123456789,aaaaaaaaa+，仍构成等差数列。na是等差数列，则135,aaa仍成等差数列。下标成等差数列且公差为m的项：2,(,)kkmkmaaakmN*+组成公差为md的等差数列。数列nab+,b为常数是公差为d的等差数列。二、基此题型例1、判定下列数列能否是等差数列：1

3、43nan=+；222nann=+。分析：用定义去判定。解：114(1)3(43)4nnaann+-=+-+=，数列na是等差数列。2由22nann=+得1233,8,15aaa=，则21325,7aaaa-=-=，2132aaaa-，数列na不是等差数列。评注：假如判定一个数列为等差数列，需用定义去证实，但若一个数列不是等差数列，只要取特殊值讲明即可。例2、求等差数列10,8,6,的第20项。解：10(1)(2)212nann=+-=-+，202202128a=-?+=-。例3、在等差数列na中，已知51a=-，82a=，求1a与d。解：由题意知：11(51)1(81)2adad+-=-?+

4、-=?解得15,1ad=-=。例4、已知1na?为等差数列，且241,1aa=，求10a。分析：有的同学习惯于数列na等差数列，对于1na?是等差数列就束手无策了，关键还是对定义理解不透彻。解：1na?为等差数列，42111)1)22daa-=-=-=，1d=-，又21111aa=-，1211111)12aa=+=+=+=，111(1)2(1)(1)3nndmnaa=+-=+-=-，1011037a=-=，则10a=。例5、等差数列na中，已知23101136aaaa+=，则58aa+=。分析：利用等差数列的性质求解，或整体考虑问题，求出1211ad+的值。解法1：根据题意，有1111()(2

5、)(9)(10)36adadadad+=，142236ad+=，则121118ad+=。而58111(4)(7)211aaadadad+=+=+，因而，5818aa+=。解法2：根据等差数列性质，可得5831021136218aaaaaa+=+=+=。评注：解法1设出了1,ad但并没有求出1,ad，事实上也求不出来，这种“设而不求的方法在数学中常用，它体现了整体的思想，解法2实际上运用了等差数列的性质：若pqmn+=+，,pqmnN*，则mnpqaaaa+=+。例6、三个数成等差数列，它们的和等于9，它们的平方和等于35，求这三个数。分析：若设这三个数为,abc，则需列三个方程；若根据等差数列

6、的定义，设这三个数为,adaad-+，只需列两个方程，因而，采用后一种设法更好。解：设这三个数为,adaad-+，由题意得222()()9()()35adaadadaad-+=?-+=?解得3,2ad=，这三个数为1,3,5，或5,3,1。评注：注意最终结果的写法，为了避免引起歧义，这三个数写出来时，就写成数列的形式。例7、等差数列na中，918,apaq=，求36a。分析：由918,apaq=，直接列方程组；解出两个基本量1a和d，这是常规解法，但比拟费事，观察91836,aaa的下标，能够联想到9182736,aaaa成等差数列，利用等差数列的性质，必能提高解题速度。解法1：1891899

7、aaqpd-=-，3618(3618)18329qpaadqqp-=+-=+=-。解法2：9182736,aaaa成等差数列，189272718362,2,aaaaaa=+?=+?3627181891818922(2)3232aaaaaaaaqp=-=-=-=-。例8、在1-与7之间顺次插入三个数,abc，使这五个数成等差数列，则这个数列为。分析：此题可求出公差后，再逐项求解，可以以利用等差数列的性质求解。解法1：设这几个数组成的等差数列为na，由已知151,7aa=-=，71(51)d=-+-。解得2d=，所求数列为1,1,3,5,7-。解法2：可利用等差数列，b是1,7-的等差中项，a是1,b-的等差中项，c是,7b的等差中项。即17173,1,5222bbbac-+-+=。所求数列为1,1,3,5,7-。例9、设na是公差为2-的等差数列，假如1479750aaaa+=，那么36999aaaa+=A、182-B、78-C、62-D、82-解：3699914797(2)(2)(2)(2)aaaaadadadad+=+=14797()33250332(2)82aaaad+?=+?-=-。评注：直接从所求入手，观察已知与未知的联络，将1479750aaaa+=整体代入，使问题简单化。答案： D