等差数列与等比数列知识点及题型归纳总结.docx

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1、等差数列与等比数列知识点及题型归纳总结等差数列与等比数列知识点及题型归纳总结知识点精讲一、基本概念1.数列(1)定义：根据一定顺序排列的一列数就叫做数列.(2)数列与函数的关系.从函数的角度来看,数列是特殊的函数.在()yfx=中,当自变量xN*时,所对应的函数值(1),(2),(3),fffL就构成一数列,通常记为na,所以数列有些问题可用函数方法来解决.2.等差数列(1)定义：一般地,假如一个数列从第2项起,每一项与它前一项的差等于同一常数,则该数列叫做等差数列,这个常数叫做公差,常用字母d表示,即1()nnaadnN*+-=.(2)等差数列的通项公式.若等差数列na的首项是1a,公差是d

2、,则其通项公式为11(1)()naandndad=+-=+-,是关于n的一次型函数.或()nmaanmd=+-,公差nmaadnm-=-(直线的斜率)(,mnmnN*).(3)等差中项.若,xAy成等差数列,那么A叫做x与y的等差中项,即2xyA+=或2Axy=+,.在一个等差数列中,从第2项起(有穷等差数列的末项除外),每一项都是它的前一项与后一项的等差中项;事实上,等差数列中每一项都是与其等距离的前后两项的等差中项.(4)等差数列的前n项和2111()2(1)2222nnaanadnnddSnann+-=+=+(类似于2nSAnBn=+),是关于n的二次型函数(二次项系数为2d且常数项为0

3、).nS的图像在过原点的直线(0)d=上或在过原点的抛物线(0)d上.3.等比数列(1)定义.：一般地,假如一个数列从第2项起,每一项与它前一项的比等于同一个非零常数,则该数列叫做等比数列,这个常数叫做公比,常用字母q表示,即1(q0,)nnaqnNa*+=.(2)等比数列的通项公式.等比数列的通项1111()(,0)nnnaaaqcqcaqq-=?=,是不含常数项的指数型函数.(3)mnmnaqa-=.(4)等比中项假如,xGy成等比数列,那么G叫做x与y的等比中项,即2Gxy=或G=两个同号实数的等比中项有两个).(5)等比数列的前n项和111(1)(1)(1)11nnnnaqSaaqaq

4、qqq=?=-?=?-?注等比数列的前n项和公式有两种形式,在求等比数列的前n项和时,首先要判定公比q能否为1,再由q的情况选择相应的求和公式,当不能判定公比q能否为1时,要分1q=与1q两种情况讨论求解.已知1,(1),aqqn(项数),则利用1(1)1nnaqSq-=-求解;已知1,(1)naaqq,则利用11nnaaqSq-=-求解.111(1)(0,1)111nnnnaqaaSqkqkkqqqq-=?+=-,nS为关于nq的指数型函数,且系数与常数互为相反数.例如等比数列na,前n项和为212nnSt+=+,则t=.解:等比数列前n项和21224nnnStt+=+=?+,则2t=-.二

5、、基本性质1.等差数列的性质(1)等差中项的推广.当(,)mnpqmnpqN*+=+时,则有mnpqaaaa+=+,十分地,当2mnp+=时,则有2mnpaaa+=.(2)等差数列线性组合.设na是等差数列,则(,)nabbR+也是等差数列.设,bnna是等差数列,则1212(,)nnabR+也是等差数列.(3)有限数列.对于项数为2n的等差数列,有:()21()nnnSnaa+=+.()11,nnnnSaSnaSnaSSndSa+=-=偶奇奇偶偶奇.对于项数为21n-的等差数列,有;()21(21)nnSna-=-.(),(1),1nnnSnSnaSnaSSaSn=-=-奇奇奇偶偶偶. (4

6、)等差数列的单调性及前n项和nS的最值.公差0nda?为递增等差数列,nS有最小值;公差0nda?,则nS有最小值(所有负项或非正项之和).(5)其他衍生等差数列.若已知等差数列na,公差为d,前n项和为nS,则:等间距抽取2(1),pptptpntaaaa+-LL为等差数列,公差为td.等长度截取232,mmmmmSSSSS-L为等差数列,公差为2md.算术平均值312,123SSSL为等差数列,公差为2d.2.等差数列的几个重要结论(1)等差数列na中,若,(,)nmamanmnmnN*=,则0mna+=.(2)等差数列na中,若,(,)nmSmSnmnmnN*=,则()mnSmn+=-+

7、.(3)等差数列na中,若(,)nmSSmnmnN*=,则0mnS+=.(4)若na与bn为等差数列,且前n项和为nS与nT,则2121mmmmaSbT-=.3.等比数列的性质(1)等比中项的推广.若mnpq+=+时,则mnpqaaaa=,十分地,当2mnp+=时,2mnpaaa=.(2)设na为等比数列,则na(为非零常数),na,mna仍为等比数列.设na与bn为等比数列,则bnna也为等比数列.(3)等比数列na的单调性(等比数列的单调性由首项1a与公比q决定).当101aq?或1001aq?时,na为递减数列.(4)其他衍生等比数列.若已知等比数列na,公比为q,前n项和为nS,则:等

8、间距抽取2(1),pptptpntaaaa+-LL为等比数列,公比为tq.等长度截取232,mmmmmSSSSS-L为等比数列,公比为mq(当1q=-时,m不为偶数).4.等差数列与等比数列的转化(1)若na为正项等比数列,则log(c0,c1)cna为等差数列.(2)若na为等差数列,则c(c0,c1)na为等比数列.(3)若na既是等差数列又是等比数列)na?是非零常数列.题型归纳及思路提示题型1等差、等比数列的通项及基本量的求解思路提示利用等差(比)数列的通项公式或前n项和公式,列出关于1,()adq基本量的方程或不等式进而求出所求的量.一、求等差数列的公差及公差的取值范围例6.1记等差

9、数列na的前n项和为nS,若244,20SS=,则该数列的公差d=().A.7B.6C.3D.2解析212124Saaad=+=+=414620Sad=+=由式可解得3d=,故选C.评注求解基本量用的是方程思想.变式1(2021福建理2)等差数列na中,15410,7aaa+=则数列na的公差为().A.1B.2C.3D.4变式2已知等差数列首项为31,从第16项起小于1,则此数列公差d的取值范围是().A.(,2)-B.15,27?-?C.(2,)-+D.15,27?-?二、求等比数列的公比例6.2在等比数列na中,202120208aa=,则公比q的值为().A.2B.3C.4D.8解析由

10、于202120208aa=,所以3202120208,aqa=则2q=,故选A.变式1等比数列na的前n项和为nS,且1234,2,aaa成等差数列,若11a=,则4S=().A.7B.8C.15D.16变式2(2021浙江理13)设公比为(0)qq的等比数列na的前n项和为nS,若224432,32SaSa=+=+,则q=.变式3等比数列na的前n项和为nS,若123,2,3SSS成等差数列,则na的公比为.三、求数列的通项na例6.3(1)(2021广东理11)已知递增等差数列na知足21321,4aaa=-,则na=.(2)(2021辽宁理14)已知等比数列na为递增数列,且251021

11、,2()5nnnaaaaa+=+=,则数列na的通项公式na=.解析(1)利用等差数列的通项公式求解.设等差数列公差为d,则由2324aa=-得,212(1)4dd+=+-,所以24d=,得2d=,又该数列为递增的等差数列,所以2d=.故1(1)21()naandnnN*=+-=-.(2)由数列na为等比数列,设公比为q,由212()5nnnaaa+=,得22()5nnnaaqaq+=,即22(1)5qq+=,解得12q=或2.又25100aa=,且数列na为递增数列,则2q=.因而5532qa=,所以2()nnanN*=.变式1nS为等差数列na的前n项和,264,1SSa=,则na=.变式

12、2已知两个等比数列,bnna,知足11122331,1,2,4abababa=-=-=-=,求数列na的通项公式.例6.4在等差数列na中,138aa+=,且4a为2a和9a的等比中项,求数列na的前n项和为nS.解析设该数列的公差为d,前n项和为nS.由已知,得211228,(3)adad+=+=11()(8)adad+,所以114,(3)0addda+=-=,解得14,0ad=或11,3ad=,即数列na的首项为4,公差为0,或首项文档视界等差数列与等比数列知识点及题型归纳总结等差数列与等比数列知识点及题型归纳总结整理得363(21)0qqq-=,又0q,故63210qq-=,即33(21

13、)(1)0qq+-=.由于31q,所以312q=-,所以q=变式1设数列na是等比数列,其前n项和为nS,且333Sa=,则其公比q=.变式2求和2311357(21)(2,)nnSxxxnxnnNxR-*=+-L.三、关于奇偶项求和问题的讨论例6.7已知数列na的通项公式为12(1)nnan-=-,求其前n项和为nS.解析(1)当n为偶数时,222221234(1)nSnn=-+-+-L22222(12)(34)(1)nn=-+-+-L37(21)n=-+-L(321)(1)222nnnn+-+=-=-.(2)当n为奇数时,则1n+为偶数,所以211(1)(2)(1)(1)22nnnnnnn

14、SSan+=-=-+=.综上,(1)()2(1)()2nnnnSnnn+?-?=?+?为正偶数为正奇数.评注：此题中，将n为奇数的情形转化为n为偶数的情形，能够避免不必要的计算，此技巧值得同学们借鉴和应用。变式1已知数列na中，通项?-=为正偶数为正奇数nnnann(3(12，求其前n项和nS.四、对于含绝对值的数列求和例6.8已知数列na的前n项和nS210nn-=，数列nb的每一项都有nnab=，求数列nb的前n项和nT解析：由nS210nn-=，当2n时，1-nS2)1()1(10-=nn，1121+-=-=-nSSannn当1=n时，911=Sa知足112+-=nan，故112+-=n

15、an*Nn由nnab=，当5n时，112+-=nabnn此时nT=+=+=nnaaaa11nS210nn-=当6n时，112-=-=nabnn此时nTnnaaaaaaaa-+=+=65165150102)(251+-=+-=nnSaan故数列nb的前n项和nT?+-=),6(5010),5(10*2*2NnnnnNnnnn评注：由正项开场的递减等差数列na的绝对值求和的计算题解题步骤如下：(1)首先找出零值或者符号由正变负的项0na(2)在对n进行讨论，当0nn时，nnST=，当n0n时，nnnSST-=02变式1在等差数列na中，22,232510-=aa，其前n项和为nS(1)求使0qpn

16、maaaa+=+；在等比数列nb中，有qpnmbbbb=求解。例6.9已知等差数列na的前n项和为nS，若5418aa-=，则8S等于A、18B、36C、54D、72解析：由5418aa-=得1854=+aa，8S=?+=28)(81aa=?+=28)(54aa72故选D变式1设数列na，nb都是等差数列，若711=+ba，2133=+ba，则=+55ba_变式2在等差数列na中，已知1684=+ba，则该数列的前11项和11S等于A、58B、88C、143D、176变式3在等差数列na中，24)(3)(2119741=+aaaaa，则该数列的前13项和13S等于A、13B、26C、52D、1

17、56变式4在等差数列na中，39741=+aaa，27963=+aaa，则该数列的前9项和9S等于A、66B、99C、144D、297二、利用等差数列中,232mmmmmSSSSS-成等差数列；等比数列中,232mmmmmSSSSS-当1-=q时m不为偶数成等比数列求解。例6.10等差数列na的前n项和为nS，若22=S,104=S,则6S等于A、12B、18C、24D、42解析：由46242,SSSSS-成等差数列且22=S，824=-SS知1446=-SS，可得6S=14+4S=24故选C评注：此题除了使用本法求解之外，还有几种求解方法，如1基本量法；2使用?nSn为等差数列求解；3使用b

18、nanSn+=2)(*Nn求解变式1等差数列na的前n项和为nS，若3184=SS，则=168SSA、103B、31C、91D、81变式2等比数列na的前n项和为nS，若336=SS，则=69SSA、2B、37C、38D、3三、用有限等差数列的性质求解例6.11已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为A、5B、4C、3D、2解析：依题意有1597531=+=aaaaaS奇，30108642=+=aaaaaS偶，可知155=-dSS奇偶，得3=d，故选C变式1已知等差数列na的前n项和为377，项数n为奇数，且奇数项的和与偶数项的和之比为7:6，求中项变式2已知

19、数列na与nb都是等差数列，且前n项和为nS与nT，且3457+=nnTSnn，则使得nnba为整数的正整数n的个数是A、2B、3C、4D、5四、利用等差、等比数列的单调性求解例6.12已知数列na是递增数列，且对*Nn，都有nnan+=2，则实数的取值范围是A、),27(+-B、)+,0C、)+-,2D、),3(+-解析：由递增数列的定义，nnaa+1*Nn，得0121+=-+naann，即12-n，*Nn恒成立，则3-，故选D评注：1【错解】由于nnan+=2=4)2(22-+n，由题意知na是递增数列，所以nnan+=2在)+,1上是单调递增函数。因而可得212-?-，即所求的取值范围是

20、2-.以上解答由na是递增数列断定nnan+=2在)+,1上是单调递增函数，这是错误的，由于数列通项公式中的n是正整数，而不是取)+,1上的任意实数。如图6-1所示的数列na显然是递增数列，但不知足12-，事实上，2323数列)(nfan=的单调性与)(xfy=，)+,1x的单调性不完全一致。一般情况下我们不应把数列的单调性转化为相应连续函数的单调性来处理。但若数列对应的连续函数是单调函数，则能够借助其单调性来求解数列的单调性问题。即“离散函数有单调性/?连续函数由单调性；连续函数有单调性?离散函数有单调性。变式1已知函数?-=-)7(,)7(,3)3()(6xaxxaxfx，若数列na知足)

21、(nfan=(*Nn),且na是递增数列，则实数a的取值范围是A、?3,49B、)3,49(C、)3,2(D、)3,1(例6.13在等差数列na中，已知201=a，前n项和为nS，且1510SS=，求当n为何值时，nS取最大值，并求此最大值。分析：由201=a及1510SS=，可求出d，进而求出通项，由通项得到此数列前多少项为正，或利用nS是关于n的二次函数，利用二次函数求最值的方法求解。解析解法一：由于201=a，1510SS=，所以dd21415202129102020?+?=?+?，得35-=d，所以)35()1(20-?-+=nan36535+-=n，故013=a，当12n时，0na；当14n时， 0