高中数学双曲线抛物线知识点总结_4.docx

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1、高中数学双曲线抛物线知识点总结双曲线平面内到两个定点，的距离之差的绝对值是常数2a(2a22221(0,0)yxabab-=简图范围,xaxayR-或,yayaxR-或顶点(,0)a(0,)a焦点(,0)c(0,)c渐近线byxa=ayxb=离心率(1)ceea=(1)ceea=对称轴关于x轴、轴及原点对称关于x轴、y轴及原点对称准线方程2axc=2ayc=、b、c的关系222cab=+考点题型一求双曲线的标准方程1、给出渐近线方程nyxm=的双曲线方程可设为2222(0)xymn-=,与双曲线22221xyab-=共渐近线的方程可设为2222(0)xyab-=。2、注意：定义法、待定系数法、

2、方程与数形结合。【例1】求合适下列条件的双曲线标准方程。1虚轴长为1,离心率为54；2焦距为6,且经过点M(0,1；3与双曲线221916xy-=有公共渐进线，且经过点(3,23A-。_x_O_y_x_O_y上一页下一页解:(1)设双曲线的标准方程为22221xyab-=或22221yxab-=(0,0)ab。由题意知，2b12，cea=54。b=6，c=0,a=8。标准方程为236164x-=或2216436yx-=。2双曲线经过点M0，12)，M(,1为双曲线的一个顶点，故焦点在轴上,且a=12。又c=26,c3。222144bca=-=。标准方程为22114425yx-=。3设双曲线的方

3、程为2222xyab-=(3,23A-在双曲线上(22331916-=得14=所以双曲线方程为224194xy-=题型二双曲线的几何性质方法思路:解决双曲线的性质问题,关键是找好体重的等量关系,十分是e、b、c四者的关系,构造出cea=和222cab=+的关系式。【例2】双曲线22221(0,0)xyabab-=的焦距为2，直线l过点(a,0)和(0,b),且点(1,0到直线l的距离与点-1，)到直线l的距离之和45c。求双曲线的离心率e的取值范围。解：直线的方程为1xyab-=,级b+y-ab0。由点到直线的距离公式，且a1,得到点(1，0)到直线的距离122dab=+,同理得到点(-1，0

4、到直线的距离222dab=+上一页下一页122absddc=+=。由s45c，得2abc45c,即252c。于是得22e，即42425250ee-+。解不等式,得2554e。由于10，所以e的取值范围是2e【例3】设F1、F2分别是双曲线22221xyab-=的左、右焦点，若双曲线上存在点A,使1290FAF=,且AF13A,求双曲线的离心率。解：1290FAF=222124AFAFc+=又AF13AF，12222AFAFAFa-=即2AFa=，222222212222910104AFAFAFAFAFac+=+=，2ca=即e=。题型三直线与双曲线的位置关系方法思路：1、研究双曲线与直线的位置

5、关系，一般通过把直线方程与双曲线方程组成方程组，即2222220AxByCbxayab+=?-=?,对解的个数进行讨论,但必须注意直线与双曲线有一个公共点和相切不是等价的。2、直线与双曲线相交所截得的弦长：2121lxxyy=-=-【例4】如图,已知两定点12(FF,知足条件212PFPF-=的点P的轨迹是曲线，直线kx-1与曲线交于A、B两点,假如AB=,且曲线上存在点C，使OAOBmOC+=，求1)曲线E的方程；2直线B的方程;上一页下一页当前位置：文档视界高中数学双曲线抛物线知识点总结高中数学双曲线抛物线知识点总结点8)Cm。将点C的坐标代入曲线E的方程，的2280641mm-=，得4m

6、=,但当4m=-时,所得的点在双曲线的右支上,不合题意。4m=,C点的坐标为(2)，C到AB13=,BC的面积1123S=?=一、抛物线高考动向：抛物线是高考每年必考之点，选择题、填空题、解答题皆有,要求对抛物线定义、性质、直线与其关系做到了如指掌,在高考中才能做到应用自若。一知识归纳二典例讲解题型一抛物线的定义及其标准方程方法思路:求抛物线标准方程要先确定形式,因开口方向不同必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为2ymx=或2(0)xmym=。上一页下一页【例5】根据下列条件求抛物线的标准方程。1抛物线的焦点是双曲线22169144xy-=的左顶点;(2)经过点2,3)；(3焦点在直线2y

7、-4=0上；4抛物线焦点在轴上，直线y-3与抛物线交于点A,A=.解:(双曲线方程可化为221916xy-=,左顶点是(-3，0)由题意设抛物线方程为22(0)ypxp=-且32p-=-,p=6.方程为212yx=-2解法一：经过点A，3的抛物线可能有两种标准形式:y2=2x或x=-2py点A2,)坐标代入，即9=4p,得2p29点2,-3)坐标代入x2=2py,即46p,得2p=34所求抛物线的标准方程是y229x或2-34y解法二：由于A2，3)在第四象限且对称轴为坐标轴，可设方程为2ymx=或2xny=,代入A点坐标求得=29，=34,所求抛物线的标准方程是y=29x或=34y(3)令x

8、=0得y，令y0得x=4,直线x-4与坐标轴的交点为0,2，(4，0)。焦点为,-2,)。抛物线方程为28xy=-或216yx=。()设所求焦点在x轴上的抛物线方程为22(0)ypxp=，(,3，由抛物线定义得p52AFm=+，又2(3)2pm-=，1p=或9p=,故所求抛物线方程为22yx=或218yx=。题型二抛物线的几何性质上一页下一页方法思路：1、凡设计抛物线上的点到焦点距离时,一般运用定义转化为到准线l的距离处理，例如若(x,y为抛物线22(0)ypxp=上一点,则02pPFx=+。2、若过焦点的弦A,11(,)Axy,22(,)Bxy，则弦长12ABxxp=+，12xx+可由韦达定

9、理整体求出，如碰到其他标准方程,则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似得到。【例6】设P是抛物线24yx=上的一个动点。1求点P到点A(-1,1的距离与点到直线1x=-的距离之和的最小值；2若B3,2)，求PBPF+的最小值。解：(1)抛物线焦点为F(,0),准线方程为1x=-。点到准线1x=-的距离等于点到F1,)的距离，问题转化为：在曲线上求一点P,使点P到A(-，1)的距离与到F(1,0的距离之和最小。显然P是AF的连线与抛物线的交点,最小值为5AF=()同理PF与P点到准线的距离相等，如图：过B做B准线于Q点，交抛物线与P1点。11PQPF=,114PBPFPBPQBQ+=。PB

10、PF+的最小值是4。题型三利用函数思想求抛物线中的最值问题方法思路：函数思想、数形结合思想是解决解析几何问题的两种重要的思想方法。【例】已知抛物线yx2,动弦B的长为2，求AB的中点纵坐标的最小值。分析一：要求B中点纵坐标最小值，可求出y+y2的最小值，从形式上看变量较多，结合图形能够观察到、2是梯形ABCD的两底,这样使得中点纵坐标成为中位线,能够利用几何图形的性质和抛物线定义求解。解法一:设A(x1,1,B(x2,y2),B的中点为M(x,y)由抛物线方程y=2知焦点1F(0,)4,准线方程14y=-，设点A、B、M到准线的距离分别为|AD|、|C1|、|MN|,则|D1|C1|2|，且1

11、MN=2(y+)4,根据抛物线的定义，有|AD1|=|AF|、yxAOPF上一页下一页=B,12(y+)4|ABF|AB|=2，12(y+)243y4,即点M纵坐标的最小值为34。分析二：要求AB中点的纵坐标的最小值，可列出y关于某一变量的函数，然后求此函数的最小值。解法二:设抛物线y=x2上点A(a,a)，B(b，b),A的中点为(x，y)，则2,222baybax+=+=|AB|2,ab2(2b24,则ab)-4ab+(a2+b2)2-4a2b2=4则2xab,2a2+b2,得ab22-y,x24(22)+y42x2y)4整理得14122+=xxy434114141241141)14(41

12、22=-=-+=xxy即点M纵坐标的最小值为3/4。练习：、以y=32x为渐近线的双曲线的方程是()A、322x2=6B、9y2=C、322=1D、y2x2=6【答案D】解析:A的渐近线为y=,B的渐近线为y=3x的渐近线为y=，只要D的渐近线符合题意。2、若双曲线221xy-=的左支上一点Pa，b到直线y=x，则a+b的值为()上一页下一页当前位置：文档视界高中数学双曲线抛物线知识点总结高中数学双曲线抛物线知识点总结、已知A、B是抛物线22(0)ypxp=上两点,O为坐标原点,若O=OB,且AOB的垂心恰是此抛物线的焦点，则直线B的方程是A、x=、x=p、x=32pD、=52p【答案】解析:

13、设A(22yp,y，B22yp,-y),(p，0)是AB的垂心，221222yyypypp?=-整理得225yp=2522yxpp=、过点P(4，1)，且与双曲线221916xy-=只要一个公共点的直线有条。【答案】两条解析：由于4，1)位于双曲线的右支里面，故只要两条直线与双曲线有一个公共点，分别与双曲线的两条渐近线平行。这两条直线是：41(4)3yx-=-和41(4)3yx-=-8、双曲线C与双曲线2212xy-=有共同的渐近线，且过点A(2,-2),则C的两条准线之间的距离为。解析：设双曲线C的方程为22(0)2xykk-=，将点A代入，得-2。故双曲线C的方程为：22124yx-=a=c=所以两条准线之间的距离是223ac=。上一页下一页