高中数学双曲线抛物线知识点总结_2.docx

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1、高中数学双曲线抛物线知识点总结双曲线平面到两个定点,的距离之差的绝对值是常数2a(2a22221(0,0)yxabab-=简图围,xaxayR-或,yayaxR-或顶点(,0)a(0,)a焦点(,0)c(0,)c渐近线byxa=ayxb=离心率(1)ceea=(1)ceea=对称轴关于x轴、y轴及原点对称关于x轴、y轴及原点对称准线方程2axc=2ayc=a、b、c的关系222cab=+考点题型一求双曲线的标准方程1、给出渐近线方程nyxm=的双曲线方程可设为2222(0)xymn-=，与双曲线22221xyab-=共渐近线的方程可设为2222(0)xyab-=。2、注意：定义法、待定系数法、

2、方程与数形结合。【例1】求合适下列条件的双曲线标准方程。1虚轴长为12，离心率为54；2焦距为26，且经过点M0，12；3与双曲线221916xy-=有公共渐进线，且经过点(3,23A-。_x_O_y_x_O_y上一页下一页解：1设双曲线的标准方程为22221xyab-=或22221yxab-=(0,0)ab。由题意知，2b=12，cea=54。b=6，c=10，a=8。标准方程为236164x-=或2216436yx-=。2双曲线经过点M0，12，M0，12为双曲线的一个顶点，故焦点在y轴上，且a=12。又2c=26，c=13。222144bca=-=。标准方程为22114425yx-=。3

3、设双曲线的方程为2222xyab-=(3,23A-在双曲线上(222331916-=得14=所以双曲线方程为224194xy-=题型二双曲线的几何性质方法思路：解决双曲线的性质问题，关键是找好体重的等量关系，十分是e、a、b、c四者的关系，构造出cea=和222cab=+的关系式。【例2】双曲线22221(0,0)xyabab-=的焦距为2c，直线l过点a，0和0，b，且点1，0到直线l的距离与点-1，0到直线l的距离之和s45c。求双曲线的离心率e的取值围。解：直线l的方程为1xyab-=，级bx+ay-ab=0。由点到直线的距离公式，且a1，得到点1，0到直线l的距离122dab=+，同理

4、得到点-1，0到直线l的距离222dab=+，上一页下一页122absddc=+=。由s45c，得2abc45c，即252c。于是得22e，即42425250ee-+。解不等式，得2554e。由于e10，所以ee【例3】设F1、F2分别是双曲线22221xyab-=的左、右焦点，若双曲线上存在点A，使1290FAF=，且AF1=3AF2，求双曲线的离心率。解：1290FAF=222124AFAFc+=又AF1=3AF2，12222AFAFAFa-=即2AFa=，222222212222910104AFAFAFAFAFac+=+=，ca=即e=。题型三直线与双曲线的位置关系方法思路：1、研究双曲

5、线与直线的位置关系，一般通过把直线方程与双曲线方程组成方程组，即2222220AxByCbxayab+=?-=?，对解的个数进行讨论，但必须注意直线与双曲线有一个公共点和相切不是等价的。2、直线与双曲线相交所截得的弦长：2121lxxyy=-=-【例4】如图，已知两定点12(FF，知足条件212PFPF-=的点P的轨迹是曲线E，直线y=kx-1与曲线E交于A、B两点，假如AB=，且曲线E上存在点C，使OAOBmOC+=，求1曲线E的方程；2直线AB的方程；上一页下一页当前位置：文档视界高中数学双曲线抛物线知识点总结高中数学双曲线抛物线知识点总结点8)Cm。将点C的坐标代入曲线E的方程，的228

6、0641mm-=，得4m=，但当4m=-时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意。4m=，C点的坐标为(2)，C到AB13=，ABC的面积1123S=?=一、抛物线高考动向：抛物线是高考每年必考之点，选择题、填空题、解答题皆有，要求对抛物线定义、性质、直线与其关系做到了如指掌，在高考中才能做到应用自若。一知识归纳二典例讲解题型一抛物线的定义及其标准方程方法思路：求抛物线标准方程要先确定形式，因开口方向不同必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为2ymx=或2(0)xmym=。上一页下一页【例5】根据下列条件求抛物线的标准方程。1抛物线的焦点是双曲线22169144xy-=的左顶点；2经过点A2，

7、3；3焦点在直线x-2y-4=0上；4抛物线焦点在x轴上，直线y=-3与抛物线交于点A，AF=5.解：1双曲线方程可化为221916xy-=，左顶点是-3，0由题意设抛物线方程为22(0)ypxp=-且32p-=-，p=6.方程为212yx=-2解法一：经过点A2，3的抛物线可能有两种标准形式：y22px或x22py点A2，3坐标代入，即94p，得2p29点A2，3坐标代入x22py，即46p，得2p34所求抛物线的标准方程是y229x或x234y解法二：由于A2，-3在第四象限且对称轴为坐标轴，可设方程为2ymx=或2xny=，代入A点坐标求得m=29，n=-34，所求抛物线的标准方程是y2

8、29x或x234y3令x=0得y=2，令y=0得x=4，直线x-2y-4=0与坐标轴的交点为0，-2，4，0。焦点为0，-2，4，0。抛物线方程为28xy=-或216yx=。4设所求焦点在x轴上的抛物线方程为22(0)ypxp=，Am，-3，由抛物线定义得p52AFm=+，又2(3)2pm-=，1p=或9p=，故所求抛物线方程为22yx=或218yx=。题型二抛物线的几何性质上一页下一页方法思路：1、凡设计抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线l的距离处理，例如若Px0，y0为抛物线22(0)ypxp=上一点，则02pPFx=+。2、若过焦点的弦AB，11(,)Axy，22(,)B

9、xy，则弦长12ABxxp=+，12xx+可由韦达定理整体求出，如碰到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似得到。【例6】设P是抛物线24yx=上的一个动点。1求点P到点A-1，1的距离与点P到直线1x=-的距离之和的最小值；2若B3，2，求PBPF+的最小值。解：1抛物线焦点为F1，0，准线方程为1x=-。P点到准线1x=-的距离等于P点到F1，0的距离，问题转化为：在曲线上求一点P，使点P到A-1，1的距离与P到F1，0的距离之和最小。显然P是AF的连线与抛物线的交点，最小值为5AF=2同理PF与P点到准线的距离相等，如图：过B做BQ准线于Q点，交抛物线与P1点。11P

10、QPF=，114PBPFPBPQBQ+=。PBPF+的最小值是4。题型三利用函数思想求抛物线中的最值问题方法思路：函数思想、数形结合思想是解决解析几何问题的两种重要的思想方法。【例7】已知抛物线yx2，动弦AB的长为2，求AB的中点纵坐标的最小值。分析一：要求AB中点纵坐标最小值，可求出y1y2的最小值，从形式上看变量较多，结合图形能够观察到y1、y2是梯形ABCD的两底，这样使得中点纵坐标y成为中位线，能够利用几何图形的性质和抛物线定义求解。解法一：设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点为M(x,y)由抛物线方程yx2知焦点1F(0,)4,准线方程14y=-，设点A、B、M到准线的

11、距离分别为|AD1|、|BC1|、|MN|，则|AD1|BC1|2|MN|，且1MN=2(y+)4，根据抛物线的定义，有|AD1|AF|、yxAOPF上一页下一页|BC1|BF|,12(y+)4|AF|BF|AB|2，12(y+)243y4,即点M纵坐标的最小值为34。分析二：要求AB中点M的纵坐标y的最小值，可列出y关于某一变量的函数，然后求此函数的最小值。解法二：设抛物线yx2上点A(a,a2),B(b,b2)，AB的中点为M(x，y)，则2,222baybax+=+=|AB|2，(ab)2(a2b2)4，则(ab)24ab(a2b2)24a2b24则2xab,2ya2b2,得ab2x2y

12、,4x24(2x2y)4y24(2x2y)4整理得14122+=xxy434114141241141)14(4122=-=-+=xxy即点M纵坐标的最小值为3/4。练习：1、以y=32x为渐近线的双曲线的方程是、3y22x2=6、9y28x2=1C、3y22x2=1D、9y24x2=36【答案D】解析：A的渐近线为y=，B的渐近线为y=3xC的渐近线为y=，只要D的渐近线符合题意。2、若双曲线221xy-=的左支上一点Pa，b到直线y=x，则a+b的值为上一页下一页当前位置：文档视界高中数学双曲线抛物线知识点总结高中数学双曲线抛物线知识点总结6、已知A、B是抛物线22(0)ypxp=上两点，O

13、为坐标原点，若OA=OB，且AOB的垂心恰是此抛物线的焦点，则直线AB的方程是A、x=pB、x=3pC、x=32pD、x=52p【答案D】解析：设A22yp，y，B22yp，-y，Fp，0是AOB的垂心，221222yyypypp?=-整理得225yp=2522yxpp=7、过点P4，1，且与双曲线221916xy-=只要一个公共点的直线有条。【答案】两条解析：由于P4，1位于双曲线的右支里面，故只要两条直线与双曲线有一个公共点，分别与双曲线的两条渐近线平行。这两条直线是：41(4)3yx-=-和41(4)3yx-=-8、双曲线C与双曲线2212xy-=有共同的渐近线，且过点A(2,-2)，则

14、C的两条准线之间的距离为。解析：设双曲线C的方程为22(0)2xykk-=，将点A代入，得k=-2。故双曲线C的方程为：22124yx-=a=b=2,c=所以两条准线之间的距离是22ac=。上一页下一页9、已知抛物线22(0)ypxp=，一条长为4P的弦，其两个端点在抛物线上滑动，则此弦中点到y轴的最小距离是【答案】32p解析：设动弦两个端点为A、B，中点为C，作AA，BB，CC垂直于准线的垂线，垂足分别为A、B、C，连接AF、BF，由抛物线定义可知，AF=AA，BF=BBCC是梯形ABBA的中位线CC=1()2AABB+=1()2AFBF+12AB=2p当AB经过点F时取等号，所以C点到y轴

15、的距离最小值为32p-22pp=。10、抛物线212yx=-的一条弦的中点为M(2,3)-，则此弦所在的直线方程是。【答案】2x-y+1=0解析：设此弦所在的直线l方程为3(2)ykx+=+，l与抛物线的交点坐标分别是A(x1,y1),B(x2,y2),则124xx+=-将l的方程代入抛物线方程整理得2222(4612)(23)0kxkkxk+-+-=由韦达定理得2122(4612)4kkxxk-+=-=-解得2k=此直线方程为32(2)yx+=+即2x-y+1=011、已知双曲线的中心在原点，焦点在y轴上，焦距为16，离心率为43，求双曲线的方程。解：由题意知，216c=8c=又43cea=6a=22228bca=-=2213628yx-=12、已知双曲线22221(0,0)xyabab-=的离心率e=(0,)Ab-和Ba，0的直线与原点的距离为2。上一页下一页