高二数学空间向量教案(一_两个向量的数量积).docx

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1、高二数学空间向量教案(一_两个向量的数量积)空间向量教案一:两个向量的数量积(关键要设基底,把要求的量用基底表示)考点一：空间向量数量积的定义、运算律及性质例1：已知向量,36abacbc=且|1,|2,|3abc=，求向量abc+的模解：依题意22|()17abcabc+=+=+，所以|176abc+=+。考点二：垂直问题例1：已知空间四边形OABC中，M、N、P、Q分别为BC、AC、OA、OB的中点,若AB=OC,求证:.PMQN证实:如图,设,OAaOBbOCc=又P、M分别为OA、BC的中点，221().21().21|4PMOMOPbacQNbacPMQNbac=-=-+=-?=-同

2、理，又AB=OC，即|,bac-=0,.PMQNPMQNPMQN?=即考点三：夹角问题例1：如图，已知E是正方体111111ABCDABCDCD-的棱的中点，试求向量11AC与DE所成的角。解:设正方体的棱长为m,1,ABaADbAAc=|,0abcmabbcac=?=?=?=则又111111111,2ACABBCabDEDDDECa=+=+=+=+221111115,|2,|22ACDEamACmDEm?=又1111111110cos,10|cos10ACDEACDEACDEACDEarc?=?与所成的角为考点四：长度问题例1：如图1，在60ABCCCDC?中，为的平分线，AC=4，BC.过

3、B点作,BNCD垂足为N，BN的延长线交CA于点E,将图形沿CD折起，使120,BNE?=求折后所得线段AB的长度。解：如图2，sin302AAMCDMAMAC?=?=过点作，垂足为，则4cos302cos302sin301MNMCCNNB?=-=-=OPAMBNQCABDCA1EC1B1D160又AMNE,AM,NB=EN,NB=|10ABAMMNNB=+=即AB二:空间向量的坐标运算考点一：平行问题例1：如下图，在长方体1111OAEBOAEB-1中，|OA|=3,|OB|=4,|OO|=2,点P在棱AA1上，且1|2|,APPA=点S在棱BB1上，且1|2|,SBBS=点Q、分别是棱O1

4、B1、AE的中点。求证：PQRS证实：如图，建立空间直角坐标系，则A(3,0,0),B(0,4,0),O1(0,0,2),A1(3,0,2),B1 ()()42,0,2,2,3,2,0,0,4,.33QRS?由定比分点公式得，P3,0,23,2,.,3PQRSPQRSRPQPQ?=-=?于是RS.评析：利用向量坐标运算证实线线平行时，1需证实两向量共线【312123123123(,)(,)aaabbaaaaabbbbabbbb?=?=或者若，则】2证实其中一个向量所在直线上一点不在另一个向量所在的直线上。例2：在如下图的正方体AC1中，P是C1D1的中点，M、N分别是面对角线AC、DA1上的点

5、，且知足AM:MC=DN:NA1=1:2.11(1);(2).BDMNDPBCMND证实：平面证实：平面平面证实：如图，建立空间直角坐标系，并设正方体棱长为3. ()()()()()()()()11111(1)3,0,0,0,3,0,1,1,1,1,3,3,0,0,0,3,3,3,33.ACAMMCMNBDBDMNMNBDBDMNDBDMND=-=-=?2,M2,1,0，同理可得N1,0,1又又平面平面()11333(2)0,30,3.,3.2223.23,0,33,PCPCPxDMDNxyCPDMDNCPDMDNCPDMNCPDMNDNDNCBDMNCB?=-?=-=?-?=?11令y则3、

6、共面。又平面平面同理可得CBCB又平面.DMN平面ABCDNE(1)ABCDNEM(2)1.CPBCMND?=?1又CPCB平面平面,.(2)bpbxypxybABAB?评析：(1)共面向量定理：假如a不共线，与a共面存在唯一实数对、使a要证直线平行于平面，只需证实与平面中的一组基向量共面。考点二：垂直问题例1：在如下图的正方体AC1中，已知E、F、G、H分别是CC1、BC、CD和A1C1的中点。1证实：11;(2).ABEHAGEFD证实：平面证实：以A点为原点建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),A1(0,0,1),

7、B1(1,0,1),C1(1,1,1),D1(0,1,1)由中点性质得111111,1,1,0,1,0,1,22222EFGH?()111111(1)1,0,1,0,222,ABEHABEHABEHEH?=-?=?1即AB11111111(2),1,1,1,0,1,0,0,0222,AGDFDEAGDFAGDEAGDEAGDFEFD?=-=-=?=?=?1，即AG平面评析：123123112233(,)(,).aaaabbbbabababab=?+若，三:用空间向量求直线和平面所成的角与二面角法向量：假如表示向量a的有向线段所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作.a假如,a那么向量a

8、叫做平面的法向量。用向量法求二面角：过棱上一点作棱的两个垂直向量，利用其夹角。也能够借助于两个半平面的法向量的夹角求解，但一定要注意向量的方向与二面角的平面角的关系。考点一：线面角的向量求法例1：已知正方体AC1的棱长为2，求DD1与平面A1BD所成的角。解：如图，建立空间直角坐标系，则()()()()112,0,0,2,0,2,0,2,0,0,0,2.DDBA()()()112,2,0,2,0,2,0,0,2.DBDADD=-=-= ()110220200220BDnxyDBnxyxyDAnx=?=?-+=?=?-+=?1设平面A的法向量，则()11111111cos|232DDDDDDDDABD=-=平面的法向量为n，。n