空间向量 高中数学教案.docx
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1、空间向量高中数学教案空间向量1理解空间向量的概念;把握空间向量的加法、减法和数乘2了解空间向量的基本定理;理解空间向量坐标的概念;把握空间向量的坐标运算3把握空间向量的数量积的定义及其性质;把握用直角坐标计算空间向量数量积的公式;把握空间两点间的距离公理解空间向量的夹角的概念;把握空间向量的数量积的概念、性质和运算律;了解空间向量的数量积的几何意义;掌握空间向量的数量积的坐标形式;能用向量的数量积判定向量的共线与垂直.第1课时空间向量及其运算空间向量是平面向量的推广在空间,任意两个向量都能够通过平移转化为平面向量因而,空间向量的加减、数乘向量运算也是平面向量对应运算的推广本节知识点是:1空间向
2、量的概念,空间向量的加法、减法、数乘运算和数量积;(1)向量:具有和的量(2)向量相等:方向且长度(3)向量加法法则:(4)向量减法法则:(5)数乘向量法则:3共线向量(1)共线向量:表示空间向量的有向线段所在的直线相互或(2)共线向量定理:对空间任意两个向量a、b(b0),ab等价于存在实数,使(3)直线的向量参数方程:设直线l过定点A且平行于非零向量a,则对于空间中任意一点O,点P在l上等价于存在Rt,使4共面向量(1)共面向量:平行于的向量(2)共面向量定理:两个向量a、b不共线,则向量P与向量a、b共面的充要条件是存在实数对(yx,),使P共面向量定理的推论:5空间向量基本定理(1)空
3、间向量的基底:的三个向量(2)空间向量基本定理:假如a,b,c三个向量不共面,那么对空间中任意一个向量p,存在一个唯一的有序实数组zyx,,基础过关考纲导读高考导航空间向量定义、加法、减法、数乘运算数量积坐标表示:夹角和距离公式求距离求空间角证实平行与垂直2线性运算律(1)加法交换律:ab(2)加法结合律:(ab)c(3)数乘分配律:(ab)使空间向量基本定理的推论:设O,A,B,C是不共面的的四点,则对空间中任意一点P,都存在唯一的有序实数组zyx,,使6空间向量的数量积(1)空间向量的夹角:(2)空间向量的长度或模:(3)空间向量的数量积:已知空间中任意两个向量a、b,则ab空间向量的数量
4、积的常用结论:(a)cosa、b;(b)?a?2;(c)ab?例1已知正方体ABCDA1B1C1D1中,点F是侧面CDD1C1的中心,若1AAy,求xy的值.解:易求得0,21=-=yxyx变式训练1.在平行六面体1111DCBAABCD-中,M为AC与BD的交点,若=11BAa,=11DAb,=AA1c,则下列向量中与MB1相等的向量是()A?21a21bcB21a21bcC21a?21bcD?21a?21bc解:A例2.底面为正三角形的斜棱柱ABCA1B1C1中,D为AC的中点,求证:AB1平面C1BD.证实:记,1cAAbACaAB=则cbCCDCDCbaADABDBcaAB+=+=-=
5、-=+=21,21,11111ABcaDCDB=+=+,11,DCDBAB共面.B1?平面C1BD,AB1/平面C1BD.变式训练2:正方体ABCDEFGH中,M、N分别是对角线AC和BE上的点,且AMEN(1)求证:MN平面FC;(2)求证:MNAB;(3)当MA为何值时,MN取最小值,最小值是多少?解:(1)设.)1(,BFkBCkMNkACMCEBNB+-=则(2).0)1(=?-?-=?ABBFkABBCkABMN(3)设正方体的边长为a,也即时ACAM21=,aMN22min=例3.已知四面体ABCD中,ABCD,ACBD,G、H分别是ABC和ACD的重心求证:(1)ADBC;(2)
6、GHBD典型例题ABCDAC1B1(4)空间向量的数量积的运算律:(a)交换律ab;(b)分配律a(bc)证实:(1)ADBC?0=?BCAD由于ABCD0=?CDAB,0=?BDACBDAC,而0)()(=+?+=?DCBDBDABBCAD所以ADBC(2)设E、F各为BC和CD的中点欲证GHBD,只需证GHEF,AHGAGH+=32(AFEA+)32EF变式训练3:已知平行六面体1111DCBAABCD-,E、F、G、H分别为棱ABCCCDDA和11111,的中点求证:E、F、G、H四点共面解:CGHCHG+=1GCHC+1FCGFHC+GFFCFA+11GFEF+2,所以EHEGEF,共
7、面,即点E、F、G、H共面例4.如图,平行六面体AC1中,AE3EA1,AFFD,AGGB21,过E、F、G的平面与对角线AC1交于点P,求AP:PC1的值解:设1ACmAP=AFmAEmAGmAP2343+=又E、F、G、P四点共面,12343=+mmm193=mAPPC1316变式训练4:已知空间四边形OABC中,M为BCOC,求证QNPM证实:法一:)(21OCOBOM+=)(21OCABOMPOPM+=+=故QNPM1立体几何中有关垂直和平行的一些命题,可通过向量运算来证实对于垂直,一般是利用ab?ab0进行证实对于平行,一般是利用共线向量和共面向量定理进行证实2运用向量求解距离问题,
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