2020年全国数学建模大赛A题获奖论文.docx

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1、2020年全国数学建模大赛A题获奖论文城市表层土壤重金属污染分析摘要本文旨在对城市土壤地质环境的重金属污染状况进行分析，建立模型对金属污染物的分布特点、污染程度、传播特征以及污染源确实定进行有效的描绘、评价和定位。对于重金属空间分布问题，首先基于克里金插值法，应用Surfer8软件对各数据点的分布情况进行模拟，得到了直观的重金属污染空间分布图形；随后，分别用内梅罗综合污染指数以及模糊评价标准和模型对城区内不同区域重金属的污染程度进行了评判。对于金属污染的主要原因分析问题，基于因子分析法、问题一的结果和对各个金属污染物的来源分析等因素，判定出金属污染的主要原因有：工业生产、汽车尾气排放、石油加工

2、并揣测该区域是镍矿富集区。随后讨论了污染源之间的互相关系和不同金属的污染奉献率。针对污染源位置确定问题，我们建立了两个模型：模型一以流程图的形式出现，基于污染传播的一般规律建立模型，求取污染源范围，模型作用更倾向于确定污染源的位置；模型二基于最小二乘法原理，建立了拟合二次曲面方程，在有效确定污染源的同时也反映了其传播特征，模型愈加清楚，理论性也更强。在研究城市地质环境的演变形式问题中，我们对针对污染源位置确定问题所建模型的优缺点进行了评价，同时建立了考虑了时间，地域环境和传播媒介的污染物传播模型，进而反映了地质的演变。综上所述，本文模型的特点是从简单的模型建立起，强更准确的数学模型发展，逐步到

3、达目的期望。关键词：重金属污染，克里金插值最小二乘法因子分析流程图一、问题重述1.1问题背景随着城市经济的快速发展和城市人口的不断增加，人类活动对城市环境质量的影响日显突出。对城市土壤地质环境异常的查证，以及怎样应用查证获得的海量数据资料开展城市环境质量评价，研究人类活动影响下城市地质环境的演变形式，日益成为人们关注的焦点。评价和研究城市土壤重金属污染程度，讨论土壤中重金属的空间分布，研究城市土壤重金属污染特征、污染来源以及在环境中迁移、转化机理，并对城市环境污染治理和城市进一步的发展规划提出科学建议，不仅有利于城市生态环境良性发展，有利于人类与自然和谐，也有利于人类社会健康和城市可持续发展1

4、。根据功能划分，城区一般可分为生活区、工业区、山区、主干道路区及公园绿地区等，不同的区域环境受人类活动影响的程度不同。现对某城市城区土壤地质环境进行调查。为此，将所考察的城区划分为间距1公里左右的网格子区域，根据每平方公里1个采样点对表层土010厘米深度进行取样、编号，并用GPS记录采样点的位置。应用专门仪器测试分析，获得了每个样本所含的多种化学元素的浓度数据。另一方面，根据2公里的间距在那些远离人群及工业活动的自然区取样，将其作为该城区表层土壤中元素的背景值。1.2目的任务(1)给出8种主要重金属元素在该城区的空间分布，并分析该城区内不同区域重金属的污染程度。(2)通过数据分析，讲明重金属污

5、染的主要原因。(3)分析重金属污染物的传播特征，由此建立模型，确定污染源的位置。(4)分析所建立模型的优缺点，为更好地研究城市地质环境的演变形式，分析还应采集的信息，并进一步探索如何利用采集的信息建立模型及解决问题。二、模型假设1忽略地下矿源对污染物浓度的影响；2以为海拔对污染物的分布较小，故只在少数模型中讨论其作用；3以为题目中的采样方式是科学的，能够客观反映污染源的分布。三、符号讲明3.1第一问中的符号讲明ip污染物i的环境污染指数iC污染物i的实测值iS污染物i的背景值max(/)iiCS土壤污染指数的最大值(/)iiavgCS土壤污染指数的平均值ixi区域土壤的平均值max()ixi区

6、域土壤评价因素上限min()ixi区域土壤评价因素下限3.2问题三中模型一的符号讲明,xyz采样点空间坐标值q所在功能区L污染源C浓度R基准半径rr污染源范围半径3.3问题三中模型二的符号讲明,xy采样点坐标值Z浓度C模型系数Q总误差3.4问题四符号讲明t城市历史时间统计值()itY第i种元素在t时刻的污染浓度；i=1,2,8,依次代表As、Cd、Cr、Cu、Hg、Ni、Pb、ZnilV第i种元素在液态载体中的迁移矢量；igV第i种元素在气态载体中的迁移矢量；isV第i种元素在固态载体中的迁移矢量；()igt、()ilt、()ist第i种元素在气、液、固三种状态下在t时刻的加权值()Nt其他因

7、素四、模型的建立与求解4.1问题一4.1.1金属元素在该城区的空间分布针对题目中对于地理坐标的要求，我们选用Surfer8软件对各数据点的分布情况进行直观的图形求解。首先将数据收集进该软件，接下来对数据点进行网格化处理。在这里我们采用的是克里金Kriging插值法。该插值法是一种地质统计网格化方法。它首先考虑的是空间属性在空间位置上的变异分布，确定对一个待插值点有影响的距离范围，然后用此范围内的采样点来估计待插点的属性值。由于它考虑了采样点的形状、大小及与待估计地段互相间的空间位置等集合特征以及档次的空间构造之后，为到达线性、无偏和最小估计方差的估计，而对每个采样点赋予一定的系数，最后加权平均

8、来估计块段档次的方法。2同时由于克里金插值法是一种光滑插值法，相对于多元回归插值法以及最小曲率插值法等其他插值法在解决像此题这一类数据点较多的问题内插的结果可信度较高，且在空间问题上具有合理的解决方式，所以采用该插值法。最后进行制图和统计，详细方法如下：1利用该软件的地图中的等值线图和线框图功能制作出金属浓度地理分布图；2综合等值线图及线框图对重金属高浓度区域进行标注，分别求出其二维坐标范围；3从统计数据中分理处该范围内的取样点数据，得到该城区8种主要重金属元素在该城市的空间分布。图1各取样点的As含量分布图500010000150002000025000x(m)各取样点中As含量的分布图05

9、0001000015000y(m)当前位置：文档视界2020年全国数学建模大赛A题获奖论文2020年全国数学建模大赛A题获奖论文As、Cd、Ni、Pb的变异系数均较大，变异系数超过100%；Cr达76%，均达强变异程度，讲明土壤中Zn、Pb、Cd、Hg受外界干扰比拟明显，空间分异较大；其余元素的变异系数为27%-58%之间，变异强度属中等，讲明它们受外源影响相对稍微或更普遍更均匀。412污染指数模型这里我们首先采用土壤重金属的单项污染指数评价方法，在此基础之上采用内梅罗综合污染指数法并参照土壤污染水平分极标准国家二级标准GB15618-1995。其中ip为污染物i的环境污染指数，iC为污染物i

10、的实测值，iS为污染物i的标准值，max(/)iiCS为土壤污染指数的最大值，(/)iiavgCS为土壤污染指数的平均值。单项污染指数模型：/iiipCS=内梅罗综合污染指数：22max(/)(/)2iiiiavgiCSCSP+=将各个功能区的内梅罗综合污染指数计算出来的值见表3表3各功能区综合污染指数区域P(As)P(Cd)P(Cr)P(Cu)P(Hg)P(Ni)P(Pb)P(Zn)12.56425.896217.053913.590711.26952.160410.891929.751424.52566.31756.627135.6196273.04982.654110.142316.90

11、532.30022.36684.05253.8144.25894.34762.72732.471946.02349.025521.04673.1892323.37488.25454.385938.620952.60325.77982.41127.845427.15731.88985.368614.3258根据土壤污染水平分级标准采用国家土壤环境二级标准GB15618-1995。土壤污染综合污染指数可分为下面等级：1综合污染指数3为重污染；2综合污染指数2-3为中污染；3综合污染指数1-2为轻污染；4综合污染指数0.7-1为警戒级；5综合污染指数0.7为安全级。从表中我们能够直观的看到，五个功能

12、区的环境污染都特别的严重，最轻的也为轻度污染，交通区和工业区的污染尤其严重所有元素都为，而居民区的铅和锌污染很严重，山区的污染程度最轻。但是这组数据评判标准有一些问题：某些污染指数如Hg超标特别严重，超出标准几百倍且在山区也为重污染，这不禁使我们感到这套评价体系很可能并不使用于该地区的土壤环境评估。对此，我们引入模糊评价标准和模型，并以Hg为例讲明其使数据的评价作用更符合实际。4.1.3土壤环境标准从属函数模型土壤清洁度的从属函数:1max()()max()min()0iiiiixxuxxx?-?=?-?min()min()max()max()iiiiiiixxxxxxx其中ix为i区域土壤的

13、平均值，max()ix为i区域土壤评价因素上限，min()ix为i区域土壤评价因素下限。其中max()ix和min()ix可由国家评价标准结合此题的背景数据共同完成。以Hg为例，其国家标准见表4表4土壤环境质量标准GB156181995级别元素一级二级三级汞mg/g0.150.300.501.01.5上表中的一级标准即对应的是背景值，这与题目数据中所给的背景值相差较大，故将其更改为我们的背景值，同时，为了愈加明晰的看到各区的污染程度，我们采用五级标准制，见表5表5结合此题制定的Hg土壤质量标准值Hg土壤环境质量标准值污染等级一级二级三级四级五级污染严重程度清洁轻度污染中度污染严重污染极严重污染

14、Hg标准浓度ng/g3530050010001500如今我们由Hg的模糊从属函数即可求出其污染等级，见表6Hg土壤环境标准从属函数：11,35;300(),35300;2650,300.Hgixxuxxx?-?=当前位置：文档视界2020年全国数学建模大赛A题获奖论文2020年全国数学建模大赛A题获奖论文里以Hg、Cd、Pb、As、Cu、Cr、Ni、Zn八种重金属元素指标作因子分析，这样在解释各指标变化异常时能够着重讨论综合指标因子，同时为题中重金属污染成因的解释提供一定的理论根据。下面对各功能区土壤采点样重金属元素含量的数据标准化处理后，经SPSS13.0forwindows统计软件进行因子

15、分析，可得出下面结果。1给出题中表层土壤Hg、Cd、Pb、As、Cu、Cr、Ni、Zn八种重金属原始含量数据的相关系数矩阵。表8相关系数矩阵CorrelationMatrix1.000.255.189.160.064.317.290.247.2551.000.352.397.265.329.660.431.189.3521.000.532.103.716.383.424.160.397.5321.000.417.495.520.387.064.265.103.4171.000.103.298.196.317.329.716.495.1031.000.307.436.290.660.383.52

16、0.298.3071.000.494.247.431.424.387.196.436.4941.000AsCdCrCuHgNiPbZnCorrelationAsCdCrCuHgNiPbZn表中可见，Ni和Cr的相关系数最大，为0.716，相关性最好，从成因上来分析，相关性较好的元素可能在成因和来源上有一定的关联。其原因肯能是：1.工业生产的互相关联性，镍和铬合金是工业上常用的合金。2.考虑到表7中山区也含有很高浓度的镍，能够推断该城区富含镍矿，而对镍矿的开采和镍铬合金的冶炼是其污染的主要原因。其次为Pb和Cd，相关系数为0660，这确实出乎我们的意料，由于一般镍镉合金出如今一起比拟多，但了解了

17、Pb和Cd的物理性质后，我们不难发现这两种金属的一些共同点：1.它们都广泛用于蓄电池的制造且易于以气态的方式进行传播2.它们都是工业废水的主要组成部分4。所以推断其污染原因是工业废水的排放。另外，我们从表7中能够看到Pb的污染等级很平均，那是由于像铅在石油中含量很大，故在工业区中其污染原因是石油能源的燃烧与化工产品的生产；而汽车也以石油为动力源，故在交通区，其也有广泛的分布；而化工产品的使用，生活区的铅含量有时会很大，这在附件数据中也有反映，铅的最大浓度出如今生活区。下面依次是Cr和Cu，Pb和Cu，相关系数分别为0.532，0.520，其它元素之间的相关性并不是很好。2利用相关系数矩阵求出相

18、应的因子的特征值和累计奉献率，见表9表9特征值和累计奉献率TotalVarianceExplained3.56044.50044.5003.56044.50044.5002.05925.73325.7331.15014.37758.8771.15014.37758.8771.76722.08747.820.96512.06370.941.96512.06370.9411.21715.21563.035.7689.59680.537.7689.59680.5371.02612.82475.858.5787.22087.756.5787.22087.756.95211.89887.756.4325

19、.39993.156.3013.76996.924.2463.076100.000Component12345678Total%ofVarianceCumulative%Total%ofVarianceCumulative%Total%ofVarianceCumulative%InitialEigenvaluesExtractionSumsofSquaredLoadingsRotationSumsofSquaredLoadingsExtractionMethod:PrincipalComponentAnalysis.从表中可见，在累积方差为87.756(85)的前提下，分析得5个主因子，能够看

20、到5个主因子提供了源资料87.756的信息，知足因子分析的原则。从上表能够看出旋转前后总的累计奉献率有发生变化，即总的信息量没有损失。而且，表中显示旋转之后，主因子1和主因子2的方差奉献率均为22左右，主因子2到主因子5的方差奉献率的范围为11.898到15.215之间。这能够解释为因子1和因子2可能为本市土壤重金属污染的最重要的污染源，进而揣测出金属污染的原因主要是本市重金属污染的奉献最大，因子3、因子4、因子5对本市重金属污染有重要作用。而从上面分析和下面的因子组成可知因子1和因子2主要是工业污染和交通废气污染，故愈加确定了污染原因。3因子的相关分析因子分析的主要目的是将具有相近的因子荷载

21、的各个变量置于一个公因子之下，正交方差最大旋转使每一个主因子只与最少个数的变量有相关关系，而使足够多的因子负荷均很小，以便对因子的意义作出更合理的解释。输出结果见表。表10正交方差最大旋转后的矩阵RotatedComponentMatrixa.882.209.002.014.146.864.089.019.222.196.614.362.505-.022.029.170.877.082.102.132.195.832.191.121.208.013.134.953.030.083.131.154.023.970.076.271.285.101.091.904CrNiCuCdPbHgAsZn12

22、345ComponentExtractionMethod:PrincipalComponentAnalysis.RotationMethod:VarimaxwithKaiserNormalization.Rotationconvergedin5iterations.a.基于旋转理论：变量与某一个因子的联络系数绝对值(载荷)越大，则该因子与变量关系越近。正交因子讲解明：因子1为Cr、Ni和Cu的组合，这讲明这几种土壤重金属污染物可能是同一来源或类似来源；因子2为Cd和Pb的组合表明两者可能有类似的来源；因子3为Hg；因子4为As；因子5为Zn。这里，我们对Hg的污染原因作出分析。Hg在土壤的污染

23、严重，污染区域大多处于某一工业区或某大型污染企业，其来源比拟单一，废气和废水是其污染的主要来源。5表11中国土壤重金属污染物来源6来源重金属矿产开采、冶炼、加工排放的废气、废水和废渣CrHgAsPbNiMo煤和石油燃烧经过中排放的飘尘CrHgAsPb电镀工业废水CrCdNiPbCuZn塑料、电池、电子工业排放的废水HgCdPbNiZnHg工业排放的废水Hg染料、化工制革工业排放的废水CrCd汽车尾气Pb农药、化肥AsCuCd4.3问题三4.3.1模型综述对于问题的第三问我们主要采取了两个模型：一是以全体坐标为研究对象，通过假设污染源来进行比拟和检索，进而确定污染源的范围。二是以第一问中的图像和

24、污染源范围为基础，利用已经挑选了的数据，基于最小二乘法的原理，作出其污染源的目的函数，直接求出污染源的空间坐标。4.3.2模型一根据第一问所得出的8种主要重金属元素在该城区的空间分布图，以及统计得出的八种元素的浓度排序，首先在元素浓度集中分布区选择一个浓度较高点(,)iiiiLxyzq，其中,xyz为其空间坐标，q为其所在功能区，由于题目中所提到的采样特点，我们能够找到其相邻的两个采样点1111(,)iiiiLxyzq-和1111(,)iiiiLxyzq+，我们根据污染物扩散的基本原理，以为一般情况下：污染物浓度与距污染源的空间距离成反比关系，反映到所选的浓度最高点上，即：1222111()()()iiiiiiinCCxxyyzz=-+-+-我们在这里设这个最初距离为1iR。所以我们要做的第一步是：若现实情况下1iiCC1mC，则将1m赋值给m，r的值赋值给R，继续顺藤摸瓜。若mC