九年级数学图形的类似(带答案).docx

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1、九年级数学图形的类似(带答案)第3章图形的类似【经典例题】1.2021湖北咸宁，6，3分如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，O为位似中心，类似比为12，点A的坐标为(1，0)，则E点的坐标为A(2，0)B(23，23)C(2，2)D(2，2)【解析】由已知得，E点的坐标就是点A坐标的2倍【答案】C【点评】此题着重考察了位似图形的坐标特点，注意此题是同向位似2.(2021山东日照，8，3分)在菱形ABCD中，E是BC边上的点，连接AE交BD于点F,若EC=2BE,则FDBF的值是A.21B.31C.41D.51解析：如图，由菱形ABCD得ADBE,，所以BEFADF,又由EC=2BE

2、,得AD=BC=3BE,故FDBF=ADBE=31.解答：选B点评：此题主要考察了棱形的性质、类似三角形的断定与性质，正确画出图形是解题的关键.3.2021湖南省张家界市10题3分已知ABC与DEF类似且面积比为425，则ABC与DEF的类似比为【分析】类似三角形类似比等于面积比的算术平方根.【解答】ABC与DEF的类似比为254=52.【点评】类似三角形面积比等于类似比的平方.4.2021山东省滨州，18，4分如图，锐角三角形ABC的边AB，AC上的高线CE和BF相交于点D，请写出图中的两对类似三角形：用类似符号连接【解析】由于BDE=CDFBED=CFD=90，可得BDECDF。由于A=A

3、，AFB=AEC=90，可得ABFACE。解：1在BDE和CDF中BDE=CDFBED=CFD=90，BDECDF2在ABF和ACE中，A=A，AFB=AEC=90，ABFACE【答案】BDECDF，ABFACE【点评】此题考察类似三角形的断定方法三角形类似的断定方法有，AA，AAS、ASA、SAS等5.(2021贵州黔西南州，17，3分)如图5，在梯形ABCD中，ADBC，对角线AC、BD相交于点O，若AD=1，BC=3，AOD的面积为3，则BOC的面积为_ABCDFE第6题yxAOCBDEF【解析】由题意知ADBC，所以OAD=OCB，ODA=OBC，所以OADOCB又AD=1，BC=3，

4、所以OAD与OCB的类似比为1:3，面积之比为1:9，而AOD的面积为3，所以BOC的面积为27【答案】27【点评】理解类似三角形的类似比与周长比、面积比之间的关系，是解决此题的关键6.2021贵州遵义，7,3分如图，在ABC中，EFBC，=，S四边形BCFE=8，则SABC=求出的值，推出AEFABC，得出，把解：=，=，7.2021南京市，15，2如图，在平行四边形ABCD中，AD=10厘米，CD=6厘米，E为AD上一点，且BE=BC,CE=CD，则DE=厘米.解析：BCE与CDE均为等腰三角形，且两个底角DEC=BCE，BCECDE，CDBC=DECE,610=DE6,DE=3.6厘米.

5、答案：3.6.点评：在图形中，利用类似，得出比例式，能够求出线段的长.8.(2021山东日照，21，9分)如图，在正方形ABCD中，E是BC上的一点,连结AE，作BFAE，垂足为H,交CD于F,作CGAE,交BF于G.(1)求证CG=BH;(2)FC2=BFGF;(3)22ABFC=GBGF.解析：(1)可证ABHBCG；(2)证CFGBFC可得；(3)先证BCGBFC得BC2=BFBG,结合AB=BC可得.证实：1BFAE，CGAE,CGBF,CGBF.在正方形ABCD中，ABH+CBG=90o,CBG+BCG=90o,BAH+ABH=90o,BAH=CBG,ABH=BCG,AB=BC,AB

6、HBCG,CG=BH;(2)BFC=CFG,BCF=CGF=90o,CFGBFC,FCGFBFFC=,即FC2=BFGF;(3)由2可知，BC2=BGBF,AB=BC,AB2=BGBF,22BCFC=BFBGBFFG?=BGFG即22ABFC=GBGF点评：此题考察了正方形的性质、全等三角形和类似三角形的断定与性质，解题的关键是找到全等或类似三角形，并找到三角形全等或类似的条件.9.(2021海南省，12，3分12、如图3，在ABC中，ACB=090，CDAB，于点D，则图中类似三角形共有A、1对B、2对C、3对D、4对【解题思路】由射影定理可知图中类似三角形共有三对：BDCBCACDA【答案

7、】C【点评】此题主要考察类似三角形基本图形中的一种，也是很重要的一种：射影定理。难度中等。102021四川内江，11，3分如图，在等边三角形ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且ADE=60，BD=4，CE=34，则ABC的面积是A83B15C93D123AF【思路分析】ADC=ADE+EDC=B+BAD，ADE=B=60，EDC=BAD又C=B=60，ABDDEC,EC:BD=DC:AB=1:3,AB=BC=3DC,BD=2DC，DC=2，BC=6，ABC的面积是93【答案】C【点评】图形中不存在全等形、不存在直角，可通过类似列比例式求解11.山东省威，3,3分在ABCD中，点E为

8、AD的中点，连接BE，交AC于点F，则AF:CF=().A.1:2B.1:3C.2:3D.2:5【解题思路】利用AEF与CBF类似，将AF:CF转化成AE:BC的比值.【答案】A.【点评】此题考察到了平行四边形的性质、类似三角形的性质与断定，求两线段的比值一般情况都利用类似来进行转化.难度较小.122021广东省，3，3分将左下列图中的箭头缩小到原来的21，得到的图形是A.【答案】A【点评】此题考察图形的变换规律，解决关键要捉住图形是“大小变化而形状不变这一本质，即图形类似.难度较小.132021山东潍坊，3，3分如图，ABC中，BC=2，DE是它的中位线，下面三个结论：DE=1；ADEABC

9、；ADE的面积与ABC的面积之比为1:4。其中正确的有A0个B1个C2个D3个【解题思路】由于DE是三角形的中位线，所以DE=12BC=1，DEBC，所以ADEABC，所以SADE：SABC=2()DEAB=21()2=14【答案】D【点拨】此题考察了三角形的中位线和类似三角形的性质和断定三角形的中位线是指连接三角形任意两边中点的线段，它平行于第三边且等于第三边的一半所构成的三角形与原三角形类似类似三角形的面积比等于类似比的平方难度中等14.2021年广西玉林市，10，3如图，正方形ABCD的两边BC、AB分别在平面直角坐标系内的x轴、y轴的正半轴上，正方形ABCD与正方形ABCD是以AC的中

10、点O为中心的位似图形，已知AC=23，若点A的坐标为1，2，则正方形ABCD与正方形ABCD的类似比是分析：延长AB交BC于点E，根据大正方形的对角线长求得其边长，然后求得小正方形的边长后即可求两个正方形的类似比解：在正方形ABCD中，AC=23BC=AB=3，延长AB交BC于点E，点A的坐标为1，2，OE=1，EC=AE=3-1=2，正方形ABCD的边长为1，正方形ABCD与正方形ABCD的类似比是31故选B点评：此题考察了位似变换和坐标与图形的变化的知识，解题的关键是根据已知条件求得两个正方形的边长15.2021陕西18，6分如图，在ABCD中，ABC的平分线BF分别与AC、AD交于点E、

11、F1求证：ABAF=；ABD题3图FEDCBA2当35ABBC=，时，求AEAC的值【解析】1由等角对等边来进行证实；2由AEFCEB先求出AEEC，再求AEAC.【答案】解：1如图，在ABCD中，/ADBC，23=BF是ABC的平分线，12=13=ABAF=223AEFCEB=，AEFCEB，35AEAFECBC=，38AEAC=【点评】此题综合考察了平行四边形的性质、平行线的性质、等角对等边、类似三角形的性质等.难度中等.16.已知：如图正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP=3PC，Q是CD的中点求证：ADQQCP思路点拨：因ADQ与QCP是直角三角形，虽有相等的直角，但不知AQ与PQ

12、能否垂直，所以不能用两个角对应相等断定而四边形ABCD是正方形，Q是CD中点，而BP=3PC，所以可用对应边成比例夹角相等的方法来断定详细证实经过如下：是CD的中点，=2证实：在正方形ABCD中，Q=3，=4又BC=2DQ，=2在ADQ和QCP中，=，C=D=90，ADQQCP17.已知：如图，AD是ABC的高，E、F分别是AB、AC的中点求证：DFEABC思路点拨：EF为ABC的中位线，EF=BC，又DE和DF都是直角三角形斜边上的中线，DE=AB，DF=AC因而考虑用三边对应成比例的两个三角形类似证实：在RtABD中，DE为斜边AB上的中线，DE=AB，即=同理=EF为ABC的中位线，EF

13、=BC，即=DFEABC总结升华：此题证实方法较多，可先证EDF=EDA+ADF=EAD+FAD=BAC，再证夹这个角的两边成比例，即=，可以证实FED=EDB=B，同理EFD=FDC=C，都能够证出DEFABC18ABCDEF，若ABC的边长分别为5cm、6cm、7cm，而4cm是DEF中一边的长度，你能求出DEF的另外两边的长度吗？试讲明理由.思路点拨：因没有讲明长4cm的线段是DEF的最大边或最小边，因而需分三种情况进行讨论.解：设另两边长是xcm，ycm，且x(3)当DEF中长4cm线段与ABC中长7cm线段是对应边时，有，进而x=cm，y=cm.综上所述，DEF的另外两边的长度应是c

14、m,cm或cm，cm或cm，cm三种可能.总结升华：一定要深入理解“对应，若题中没有给出图形，要十分注意能否有图形的分类.19如下图，已知ABC中，AD是高，矩形EFGH内接于ABC中，且长边FG在BC上，矩形相邻两边的比为1：2，若BC=30cm，AD=10cm.求矩形EFGH的面积.思路点拨：利用已知条件及类似三角形的断定方法及性质求出矩形的长和宽，进而求出矩形的面积.解：四边形EFGH是矩形，EHBC，AEHABC.ADBC，ADEH，MD=EF.矩形两邻边之比为1：2，设EF=xcm，则EH=2xcm.由类似三角形对应高的比等于类似比，得，.EF=6cm，EH=12cm.总结升华：解决

15、有关三角形的内接矩形、内接正方形的计算问题，经常利用类似三角形“对应高的比等于类似比和“面积比等于类似比的平方的性质，若图中没有高能够先作出高.20.ABC中，DEBC，M为DE中点，CM交AB于N，若，求.解：DEBC，ADEABCM为DE中点，DMBC，NDMNBC=1：2.总结升华：图中有两个“字形，已知线段AD与AB的比和要求的线段ND与NB的比分别在这两个“字形，利用M为DE中点的条件将条件由一个“字形转化到另一个“字形，进而解决问题.21.如图：小明欲测量一座古塔的高度，他站在该塔的影子上前后移动，直到他本身影子的顶端正好与塔的影子的顶端重叠，此时他距离该塔18m，已知小明的身高是

16、1.6m，他的影长是2m (1)图中ABC与ADE能否类似为何(2)求古塔的高度解：(1)ABCADEBCAE，DEAEACB=AED=90A=AABCADE(2)由(1)得ABCADEAC=2m，AE=2+18=20m，BC=1.6m答：古塔的高度为16m.22.已知：如图，阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下1.5m宽的亮区DE.亮区一边到窗下的墙脚距离CE=1.2m，窗口高AB=1.8m，求窗口底边离地面的高BC？思路点拨：光线AD/BE，作EFDC交AD于F.则，利用边的比例关系求出BC.解：作EFDC交AD于F.由于ADBE，所以又由于，所以，所以.由于ABEF，ADBE，所以四边形

17、ABEF是平行四边形，所以EF=AB=1.8m.所以m.23已知：如图，在ABC与CAD中，DABC，CD与AB相交于E点，且AEEB=12，EFBC交AC于F点，ADE的面积为1，求BCE和AEF的面积思路点拨：利用ADEBCE，以及其他有关的已知条件，能够求出BCE的面积ABC的边AB上的高也是BCE的高，根据ABBE=32，可求出ABC的面积最后利用AEFABC，可求出AEF的面积解：DABC，ADEBCESADESBCE=AE2BE2AEBE=12，SADESBCE=14SADE=1，SABCSBCE=ABBE=32，SABC=6EFBC，AEFABCAEAB=13，SAEFSABC=

18、AE2AB2=19SAEF=总结升华：注意，同底(或等底)三角形的面积比等于这底上的高的比；同高(或等高)三角形的面积比等于对应底边的比当两个三角形类似时，它们的面积比等于对应线段比的平方，即类似比的平方举一反三24.有同一三角形地块的甲、乙两地图，比例尺分别为1200和1500，求：甲地图与乙地图的类似比和面积比.解：设原地块为ABC，地块在甲图上为A1B1C1，在乙图上为A2B2C2.ABCA1B1C1A2B2C2且，.25.如图，已知：ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，PQ/AB，P点在AC上(与点A、C不重合)，Q点在BC上 (1)当PQC的面积与四边形PABQ的面积相等时，求C

19、P的长；(2)当PQC的周长与四边形PABQ的周长相等时，求CP的长；解：(1)SPQC=S四边形PABQSPQC：SABC=1：2PQAB，PQCABCSPQC：SABC=(CP：CA)2=1：2CP2=42，CP=.(2)SPQC的周长与四边形PABQ的周长相等，PC+CQ=PA+AB+QB=(ABC的周长)=6PQAB，PQCABC，即：解得，CP=【经典练习】1.如图，已知PN/BC,ADBC交BC于点D，交PN于点E。1若AP:PB=1:2,ABCS?=18cm2，求APNS?的值。2若21=?四边边形PBCAPNss，求ADAE的值。3若BC=15cm,AD=10cm,且PN=ED

20、=x，求x的值。2.请阅读下面材料，并回答问题。三角形内角平分线的性质定理：三角形的内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例。已知：如图，在ABC中，AD是角平分线，试讲明ACABDCBD=。3.如图，D为ABC的边AB上一点，已知AB=12,AC=15,AD=AB32，假如AC上有一点E，使ADE与原三角形类似，求AE的长。4.如下图，ABC=ADB，若AB=5cm，AC=9cm，DB=3cm，那么AD=，BC=，ABCS?：ABDS?=。5在ABC中，B=250，AD是BC边上的高，并且AD2=BDDC，则BCA为。6在ABC中，BC=8cm，AC=6cm，点P从B出发，沿B

21、C方向以2m/s的速度移动。点Q从C出发，沿CA方向以1m/s的速度移动，若点P、Q分别从B、C同时出发，设运动的时间为t，则CPQ能否与CBA类似？若能，求出BP的长；若不能，请讲明理由。7如下图，在ABC中，AB=10cm，BC=20cm，点P从点A开场沿AB边向B点以2cm/s的速度移动，点Q从点B开场沿BC边向C点以4cm/s的速度移动，假如P，Q分别从A，B同时出发，多长时间后PBQ与ABC类似？8晚上，小亮走在大街上，他发现：当他站在大街两边的两盏路灯之间，并且自已被两边路灯照在地上的两个影子成一直线时如图，自已右边的影子长3米，左边的影子长1.5米，又知自已身高1.8米，两盏路灯之间的距离为12米，则路灯的高度为多少米？9如图，ABC是等边三角形，CE是外角平分线，点D在AC上，连接BD并延长与CE交于点E。1求证：ABDCED。2若AB=6，AD=2CD，求BE的长。10如图，把矩形ABCD对折，折痕为MN，矩形DMNC与矩形ABCD类似，已知AB=4.1求AD的长。2求矩形DMNC与矩形ABCD的类似比。11如图，在矩形ABCD中，AB=15-，AD=2，且四边形ABEF是一个正方形，则矩形EFDC矩形ADCB吗？讲明你的现由。