华中科技大学考研数学分析真题答案.docx

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1、华中科技大学考研数学分析真题答案2020年华中科技大学招收硕士研究生.入学考试自命题试题数学分析一、求极限1111lim(1.)23nnIn=+解:一方面显然1I另一方面1111.23nn+，且1lim1nnn=由迫敛性可知1I=。注：1lim1nnn=可用如下两种方式证实11nh=+，则22(1)2(1)1(2)2nnnnnnnhhhnn-=+?即lim0nnh=，进而1lim1nnn=2=有lim11nnnn=-。二、证实2232(38)(812)yxyxydxxxyyedy+为某个函数的全微分，并求它的原函数。证实：记22(,)38Pxyxyxy=+，32(,)812yQxyxxyye=

2、+，则2316Pxxyy?=+?，2316Qxxyx?=+?PQyx?=?PdxQdy+是某个函数的全微分设原函数为(,)xy，则xyddxdyPdxQdy=+=+2232238(,)4()xxyxyxyxyxyy?=+?=+32328()812yyxxyyxxyye?=+=+()12()12(1)yyyyeyyeC?=?=-+322(,)412(1)yxyxyxyyeCC=+-+所求原函数为为常数三、设是空间区域且不包含原点，其边界为封闭光滑曲面：用n表示的单位外法向量，(,)rxyz=和2rrxy=+，证实：cos(,)2nrdSr=?证实：设n的方向余弦为cos,cos,cos。由于r的

3、方向余弦为,xyzrrr，所以cos(,)coscoscosxyznrrrr=+，由于原点不在空间区域，根据高斯公式，有11cos(,)(coscoscos)22121()()()2xyznrdSdSrrrxyzdydzdzdxdxdyrrrxyzdxdydzxryrzrdxdydzr=+=+?=+?=?注：当原点也在该区域时，结论也成立，具体参考课本P296第8题答案。四、设()ft为连续函数，证实：11()()()()1bybnnaaadyyxfxdxbxfxdxn+-=-+?证实：记(,)()()nFxyyxfx=-，(,)|,Dxyaxyayb=由于()ft为连续函数，故(,)Fxy在

4、D上连续，进而在D上可积。而对每个,yab，(,)yaFxydx?存在，进而累次积分(,)byaadyFxydx?也存在，同理(,)bxaadxFxydy?也存在。于是(,)(,)(,)bybxaaaaDFxydxdydyFxydxdxFxydy=?即11()()()()1bybnnaaadyyxfxdxbxfxdxn+-=-+?五、设1x=11,2,3,.)nxn+=，证实nx收敛并求其极限。2nx，即nx有界。另一方面2117)024nnnxxx+-=-+于是nx单调，进而nx收敛。设limnnxx=，则x=解得2x=nn六、设反常积分0()fxdx?绝对收敛且lim()0xfx=，证实20()fxdx?收敛。证实：由于lim()0xfx=，故10A?，当1xA时，()1fx，20A?有2()Afxdx?发散；233sin1xdxdxxx为常数。解：记112001sinsinsinpppxxxIdxdxdxIIxxx=+=+?1先讨论1I能够用瑕积分收敛判别的推论由0sinlim1xxx=可知，0?，当0x，由101(2)2pdxpx-?发散知0sinpxdxx?发散。2再讨论2I当1p时，sin1ppxxx，由11pdxx?收敛知1sinpxdxx?绝对收敛当01p