数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第十二章.docx

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1、数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第十二章第十二章数项级数证实题1证实下列级数的收敛性,并求其和:(1)+-+1)4)(5n(5n111.1616.1111.61;(2)+?+?+?+nn22312131213121;(3)+2)1)(nn(n1;(4)+-+)n1n22n(;(5)-n212n.2.证实:若级数nu发散,则nCu也发散(c0).3.证实:若数列an收敛于a,则级数a-a)a(a11nn=+.4证实:若数列bn有+=nnblim,则(1)级数)b(bn1n-+发散; (2)当bn0时,级数=?-+11nb1b1n15.证实级数nu收敛的充要条件是:任给正数,有某自然数N,对

2、一切nN总有|uN+un+1+un|N0,有n1nn1nvvuu+7.设正项级数na收敛,证实级数2na也收敛;试问反之是否成立?8.设an0,且数列nan有界，证实级数2na收敛.9.设正项级数nu收敛,证实级数+1nnuu也收敛.10.证实下列极限:(1)0)(n!nlim2nn=;(2)1)0(aa)(2n!limn!n=.11.设an为递减正项数列,证实:级数=1nna与=0m2mma2同时收敛或同时发散.12.设an0,bn0,Cn=bn1nnaa+bn+1,证实:(1)若存在某自然数N0及常数K,当nN0时,有Cnk0,则级数=1nna收敛;(2)若nN0时有Cn0,且=+=n1k

3、knb1lim,则级数=1nna发散.13.设级数2na收敛,证实级数0)(anann也收敛.14.设an0,证实数列(1+a1)(1+a2)(1+an)与级数na同时收敛或同时发散.15.应用阿贝耳判别法或狄利克雷判别法判定下列级数的收敛性:(1)+-0)(x,x1xn1)(nnn;(2)0)(0,20,x,nsinnx;(3)-nncos1)(2n.16.设an0,anan+1(n=1,2,)且nliman=0,证实级数+-naaa1)(n211n是收敛的.17.设2u|u|g,2u|u|pnnnnnn-=+=,证实:若nu条件收敛,则级数np与nq都是发散的.二、计算题1.试讨论几何级数

4、(也称为等比级数)a+r+ar2+arn+(a0)的敛散性.2.设级数nu与nv都发散,试问)v(unn+一定发散吗?又若un与vn(n=1,2,)都是非负数,则能得出什么结论?3.求下列级数的和:(1)+-+n)1)(an(a1;(2)+-+1)n(n12n1)(1n;(3)+11)1)(n(n12n22.4.应用柯西准则判别下列级数的敛散性: (1)nn2sin2;(2)+12nn(-1)221-n;(3)n(-1)n;(4)+2nn1.5.应用比拟原则判别下列级数的敛散性.(1)+22an1;(2)nn3sin2;(3)+2n11;(4)=2nn(lnn)1;(5)?-n1cos1;(6)nnn1;(7)?-+0)(a,2n1an1a;(8)=2nlnn(lnn)1.6.用积分判别法讨论下列级数的敛散性:(1)+1n12;(2)+1nn2;(3)=3n)nlnnln(lnn1;(4)=3nqp(lnlnn)n(lnn)1.7.判别下列级数的敛散性:(1)nnnn!3;(2)+2n2nn2;(3)=2nlnn1;(4)-1)(a1),a(n;(5)+?-?12n12n421)(2n31;(6)+0)(x,n)(x1)(xn!.8.求下列极限(其中P1):此页面能否是列表页或首页？未找到适宜正文内容。