数学分析试题有答案.docx

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1、数学分析试题有答案二十一数学分析期终考试题一叙述题：每题5分，共15分1开集和闭集2函数项级数的逐项求导定理3Riemann可积的充分必要条件二计算题：每题7分，共35分1、?-9131dxxx2、求)0()(222babbyx2设函数项级数=1)(nnxu知足1),2,1)(=nxun在a，b连续可导a)=1)(nnxu在a，b点态收敛于)(xSb)=1)(nxun在a，b一致收敛于)(x则)(xS=1)(nnxu在a，b可导，且=11)()(nnnnxudxdxudxd3、有界函数)(xf在a，b上可积的充分必要条件是，对于任意分法，当0)(max1?=inix时Darboux大和与Dar

2、boux小和的极限相等二、1、令31xt-=2分7468)1(31233913-=-=-?-dtttdxxx5分2、222221,xabyxaby-=-+=，2分所求的体积为：badxyyaa2222212)(=-?-5分3、解：由于ennnnnnnn1)111(1)111()11(lim(11=+?+收敛半径为e1(4分，当ex1=时，)(01)1()1()11(2+nennnn，所以收敛域为)1,1(ee-(3分4、2)11(lim)11)(11()11)(lim11lim2200222222220222200=+=+-+=-+yxyxyxyxyxyxyxyxyxyx7分5、解：设极坐标方

3、程为4)2,1,2(.0)2,1,2(,2)2,1,2(-=-=-=-zyxfff4分136)2,1,2(=-lf3分三、1、解、?=+-+=000)1cos11(sin22222222222yxyxyxyxyxxfx4分由于22221cos1yxyx+当趋于0，0无极限。所以不连续，同理可的yf也不连续，2分2、解：11211lnlim222=-+nnnn5分=-1212nn收敛，所以原级数收敛5分3、解：部分和1)(1+-=+nxxxSnn3分，,0?取?=1N，Nn时有?00,.,0，使得00)(xf，3分又由于在fx在a,上一致连续函数，axx?0,),1,0(，只要0，不妨设0)(0

4、xf，则对任意知足00-xfxf取A和A分别等于20-x和20+x，则002)(?AAdxxf有，由Cauchy收敛定理，?+adxxf)(不收敛，矛盾4分2、证实：Dyx?),(00，由Lipschitz条件),(),(),(),(),(),(000000yxfyxfyxfyxfyxfyxf-+-),(),(0000yxfyxfyyL-+-1，6分又由二元函数),(yxf在开集2RD?内对于变量x是连续的，1式的极限为0，),(yxf在),(00yx连续，因而),(yxf在D内连续4分二十二数学分析期末考试题一叙述题：每题5分，共15分1Darboux和2无穷限反常积分的Cauchy收敛原理

5、3Euclid空间二计算题：每题7分，共35分1、nnnn!lim+2、求由下列两条曲线围成的平面图形的面积3、dxxeInxn?+-=0(n是非负整数4、设fxyzzyxfu),(222+=具有二阶连续偏导数，求xzu?25、求xexf=)(的幂级数展开式三讨论与验证题：每题10分，共20分1、讨论二元函数连续、偏可导、可微之间的关系。对肯定的结论任选一进行证实；对否认的结论，给出反例2、讨论级数)0(cos10，证实?=xxdttfdtttfxg00)()()(在0，+上单调增加2设正项级数=1nnx收敛，nx单调减少，证实0lim=nnnx3yxyyxf+=2),(，证实：),(lim0

6、0yxfyx不存在参考答案一、1、有界函数)(xf定义在,ba上，给一种分法P，bxxxan=?.0使得Nnm?，成立3、解：dxxeInxn?+-=0=+-0|xnex+dxxennx?+-01=1-nnIdxxenx?-1+dxxenx?+-16分!nIn=(1分4、：xu?=212yzfxf+3分)2()2(22221212112xyfzfyzyfxyfzfxxzu+=?4分5、解：由于余项)(0)!1()(1+nxnexrnxn，3分所以+=!212nxxxenx4分三、1、解、可微必可偏导和连续，证实可看课本133页4分，可偏导不一定连续和可微例子可看课本135页6分2、解：当1p时

7、，级数绝对收敛，4分当10ppppnnxnnnxnnx22cos21coscos2+=，所以=1|cos|npnnx发散，即级数条件收敛4分，当0p时，级数的一般项不趋于0，所以级数不收敛2分四、证实题每题10分，共30分1证实：0)()()()()()()()()()(22-=-=?xxxxxdttfdtttftxfxfdttfdtttfxfdttfxxfxg8分所以函数单调增加2分2证实：mnm?,，有mnmxxxmn?可取定0m使得时，有2时，有201、11214042?+xdxtdtdxdx2、求由下列两条曲线围成的平面图形的面积3、求=+1)2(nnxnn的收敛半径和收敛域4、设ye

8、xeuzyz+=-，求偏导数和全微分5、xyxyyx11lim-+三讨论与验证题：(每题10分，共30分1讨论22222)(),(yxyxyxyxf-+=的二重极限和二次极限2讨论?epxxdx10ln的敛散性3、讨论函数项)10()(1-=+xxxxfnnn的一致收敛性。四证实题：(每题10分，共20分1设fx连续，证实dudxxfduuxufxux?=-00)()(2证实)(22yxyu-=?知足uyxyuxxuy=?+?参考答案一、1、设)(xf在,ba连续，)(xF是)(xf在,ba上的一个原函数，则成立)()()(aFbFdxxfba-=?。2、设函数)(xf在),+a有定义，且在任

9、意有限区间,Aa上可积。若极限?AaAdxxf)(lim存在，则称反常积分收敛，否则称反常积分发散3、假如S的任意一个开覆盖U中总存在一个有限子覆盖，即存在U中的有限个开集kiiU1=，知足SUiki?=1Y，则称S为紧集二、1、11214042?+xdxtdtdxdx=8041212xxtdtdxdx+=+?7分2、解：两曲线的交点为-2，4，1，1，2分所求的面积为：29)2(122=-?-dxxx5分3：1)2(lim=+nnnn，收敛半径为14分，由于1=x时，级数不收敛，所以级数的收敛域为-1，13分4：xu?=yzeyu?=1+yzxzezu?=zyzexye-+4分dzexyed

10、yxzedxeduzyzyzyz)()1(-+=3分5、解：21)11()11)(11(lim11lim0000=+-+=-+xyxyxyxyxyxyyxyx7分三、1、解、由于沿kxy=趋于0，0时，?=-+1110)(lim22222)0,0(),(kkyxyxyxkxx，所以重极限不存在5分0)(limlim,0)(limlim22222002222200=-+=-+yxyxyxyxyxyxxyyx，5分2：10p，由于)(ln121+xxxxpp4分故?epxxdx10ln收敛，1=p，-=?exxdx10ln，发散2分。3、)(0)(limxfxfnn=3分，0)11()1(limsuplim)()(suplim1=+-+=-=-+nnnnxxxfxfnnnnxnnn，所以函数列一致收敛7分四、证实题每题10分，共20分1证实：dudxxfxu?00)(=?-=-xxxxuduuufduufxduuufdxxfu0)()()()(=?-xduuxuf0)(10分2、证实：)(222yxxyxu-=?，)(2)(22222yxyyxyu-=?6分uyxyxxyuxxuy=-=?+?)(224分