韦达定理与习题.docx

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1、韦达定理与习题一.本周教学内容：韦达定理的应用二.重点、难点：灵敏应用韦达定理与推论(韦达定理的逆定理)三.知识回首在初中数学的学习中，韦达定理及其逆定理的应用是很广泛的，主要有如下的应用：1.已知一元二次方程的一根，求另一根。2.已知一元二次方程的两根，求作新的一元二次方程。3.不解方程，求关于两根的代数式的值。4.一元二次方程的验根。5.解一类特殊的二元二次方程组和通过换元等方法求解二次根式方程。6.与判别式的综合应用。【典型例题】例1：已知关于x的方程2xm1x1m=0的一个根为4，求另一个根。解：设另一个根为x则相加，得x例2：已知方程x5x8=0的两根为x，x，求作一个新的一元二次方

2、程，使它的两根分别为和解：又代入得，新方程为例3：判定是不是方程9x10x2=0的一个实数根解：二次实数方程实根共轭。若是，则另一根为，。以为根的一元二次方程即为.例4：解方程组解：设.A=5.x-y=5又xy=-6.解方程组可解得例5：已知RtABC中，两直角边长为方程x2m7x4mm2=0的两根，且斜边长为13，求S的值解：不妨设斜边为C=13，两条直角边为a，b。则2。又a，b为方程两根。ab=4mm-2S但a，b为实数且m=5或6当m=6时，m=5S.例6：M为何值时，方程8xm1xm7=0的两根均为正数均为负数一个正数，一个负数一根为零互为倒数4.已知两个数的和比a少5，这两个数的积

3、比a多3，则a为何值时，这两个数相等5.已知方程a3x1=ax有负数根，求a的取值范围。6.已知方程组的两组解分别为，求代数式a1b2+a2b1的值。7.ABC中，AB=AC，A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=3,b和c是关于x的方程xmx2m=0的两个实数根，求ABC的周长。【试题答案】1.12.4，13.A4.a=1或135.3a2提示：分a=3以及a3讨论求解6.13例1已知pq198，求方程x2pxq0的整数根(94祖冲之杯数学邀请赛试题)解：设方程的两整数根为x1、x2，不妨设x1x2由韦达定理，得x1x2p，x1x2q于是x1x2(x1x2)pq198，即x1x2x1x21

4、199(x11)(x21)199注意到x11、x21均为整数，解得x12，x2200；x1198，x20例2已知关于x的方程x2(12m)xm10的两个根都是正整数，求m的值解：设方程的两个正整数根为x1、x2，且不妨设x1x2由韦达定理得x1x212m，x1x2m1于是x1x2x1x211，即(x11)(x21)12x1、x2为正整数，解得x11，x25；x12，x23故有m6或7例3务实数k，使得方程kx2(k1)x(k1)0的根都是整数解：若k0，得x1，即k0符合要求若k0，设二次方程的两个整数根为x1、x2，由韦达定理得x1x2x1x22，(x11)(x21)3由于x11、x21均为

5、整数，所以例4已知二次函数yx2pxq的图像与x轴交于(，0)、(，0)两点，且1，求证：pq1(97四川省初中数学竞赛试题)证实：由题意，可知方程x2pxq0的两根为、由韦达定理得p，q于是pq，(1)1(1)(1)11(因1)一元二次方程根的判别式、判别式与根的个数关系、判别式与根、韦达定理及其逆定理大纲要求1.把握一元二次方程根的判别式，会判定常数系数一元二次方程根的情况。对含有字母系数的由一元二次方程，会根据字母的取值范围判定根的情况，也会根据根的情况确定字母的取值范围；2.把握韦达定理及其简单的应用；3.会在实数范围内把二次三项式分解因式；4.会应用一元二次方程的根的判别式和韦达定理

6、分析解决一些简单的综合性问题。内容分析1.一元二次方程的根的判别式一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根的判别式b2-4ac0时，方程有两个不相等的实数根当0时，方程有两个相等的实数根，当0时，方程没有实数根2.一元二次方程的根与系数的关系(1)假如一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的两个根是x1，x2，那么x1+x2=-b/a，x1x2=c/a(2)假如方程x2+px+q=0的两个根是x1，x2，那么x1+x2=-P，x1x2=q(3)以x1，x2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x2-(x1+x2)x+x1x2=03.二次三项式的因式分解(公式法)在分解二次三项式ax2+b

7、x+c的因式时，假如可用公式求出方程ax2+bx+c=0的两个根是x1,x2，那么ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)考察重点与常见题型1.利用根的判别式判别一元二次方程根的情况，有关试题出如今选择题或填空题中，如：关于x的二、考点训练：1、不解方程，判别下列方程根的情况：1x2x=5(2)9x262+2=0(3)x2x+2=02、当m=时，方程x2+mx+4=0有两个相等的实数根；当m=时，方程mx2+4x+1=0有两个不相等的实数根；3、已知关于x的方程10x2(m+3)x+m7=0，若有一个根为0，则m=，这时方程的另一个根是；若两根之和为3/5，则m=，这时方程的两个根为.4、

8、已知32是方程x2+mx+7=0的一个根，求另一个根及m的值。5、求证：方程(m2+1)x22mx+(m2+4)=0没有实数根。6、求作一个一元二次方程使它的两根分别是15和1+5。7、设x1,x2是方程2x2+4x3=0的两根，利用根与系数关系求下列各式的值：(1)(x1+1)(x2+1)(2)x2/x1+x1/x23x12+x1x2+2x1解题指导1、假如x22(m+1)x+m2+5是一个完全平方式，则m=;2、方程2x(mx4)=x26没有实数根，则最小的整数m=;3、已知方程2(x1)(x3m)=x(m4)两根的和与两根的积相等，则m=;4、设关于x的方程x26x+k=0的两根是m和n

9、，且3m+2n=20，则k值为;5、设方程4x27x+3=0的两根为x1,x2，不解方程，求下列各式的值:(1)x12+x22(2)x1x23x1x24x1x2212x16.实数s、t分别知足方程19s299s10和且1999tt20求代数式(st4s1)/t的值。7.已知a是实数，且方程x2+2ax+1=0有两个不相等的实根，试判别方程x2+2ax+1(1/2)(a2x2a21)=0有无实根8.求证：不管k为何实数，关于x的式子(x1)(x2)k2都能够分解成两个一次因式的积。9实数K在什么范围取值时，方程kx22k1xK10有实数正根独立训练一1、不解方程，请判别下列方程根的情况；(1)2

10、t2+3t4=0,;(2)16x2+9=24x,;(3)5(u2+1)7u=0,;2、若方程x2(2m1)x+m2+1=0有实数根，则m的取值范围是;3、一元二次方程x2+px+q=0两个根分别是2+3和23，则p=,q=;4、已知方程3x219x+m=0的一个根是1，那么它的另一个根是，m=;5、若方程x2+mx1=0的两个实数根互为相反数，那么m的值是;6、m,n是关于x的方程x2-(2m-1)x+m2+1=0的两个实数根，则代数式mn=。7、已知关于x的方程x2(k+1)x+k+2=0的两根的平方和等于6，求k的值;8、假如和是方程2x2+3x1=0的两个根，利用根与系数关系，求作一个一元二次方程，使它的两个根分别等于+(1/)和+(1/);9、已知a,b,c是三角形的三边长，且方程(a2+b2+c2)x2+2(a+b+c)x+3=0有两个相等的实数根，求证：这个三角形是正三角形10.取什么实数时，二次三项式2x2(4k+1)x+2k21可因式分解.11.已知关于X的一元二次方程m2x223mx10的两实数根为,，若s1/1/，求s的取值范围。独立训练二1、已知方程x23x+1=0的两个根为,，则+=,=;