泛函分析习题解答.docx

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1、泛函分析习题解答第七章习题解答1设X，d为一度量空间，令),(,|),(,),(,|),(0000=-=xxdn则易验证noxU?),(0，这就证实了no是开集显然Bonn?=1。若nnox=?1则对每一个n，有Bxn使nxxd1),(12因),(),(),(zydzxdyxd+而tt+1在),o上是单增函数，于是),(),(1),(),(),(),(1),(),(_zydzxdzydzxdyxdyxdyxdyxd+=+=),(),(1),(),(),(1),(zydzxdzydzydzxdzxd+),(1),(),(1),(zydzydzxdzxd+=),(),(_zydzxd+。5.证实点

2、列nf按习题2中距离收敛与,baCf的充要条件为nf的各阶导数在a，b上一致收敛于f的各阶导数。证实若nf按习题2中距离收敛与,baCf，即)()(1)()(max21),()()()()(0tftftftfffdrrnrrnbtarrn-+-=0)(?n因而对每个r，)()(1)()(max21)()()()(0tftftftfrrnrrnbtarr-+-=0)(?n，这样btamax)()()()(tftfrrn-0)(?n，即)()(tfrn在a，b上一致收敛于)()(tfr。反之，若的nft各阶导数在a，b上一致收敛于ft，则任意o，存在0r，使2211时，max)()()()(tft

3、frrn-00,2,1,0,2rrr=N时，)()(1)()(max21),()()()()(0tftftftfffdrrnrrnbtarrn-+-=即),(nffd0)(?n。6.设,baB?，证实度量空间,baC中的集f|当tB时ft=0为,baC中的闭集，而集A=f|当tB时，|ft|aa0为开集的充要条件是B为闭集。证实记E=f|当tB时ft=0。设Efn，nf按,baC中度量收敛于f，即在a，b上)(tfn一致收敛于ft。设Bt，则0)(lim)(=-tftfnn，所以fE，这就证实了E为闭集充分性。当B是闭集时，设fA。因f在B上连续而B是有界闭集，必有Bt0，使)(max)(0t

4、ftfBt=。设0)(0=-tfa。我们证实必有AfU?),(。设),(fUg，则若Bt，必有-)(?n，必有Bt0。假使Bt_0，则定义|)(0ttatfo-=。于是对任意Bt，attatfo，当fCa，b且-=nttffdnn因而当),(，证实必有不相交开集O及G分别包含E及F。证实设oFEd=),(。令2),(|,2),(|=FxdxGExdxo则,GFOE?且?GO，事实上，若?GO，则有?GOz，所以存在E中的点x使2),(zxd，F中点y使2),(zyd，于是),(),(),(zydzxdyxd+，此与),(yxd，FEd=矛盾。8.设Ba，b表示a，b上实有界函数全体，对Ba，b

5、中任意两元素f，gBa，b，规定距离为|)()(|sup),(tgtfgfdbta-=。证实Ba，b不是可分空间。证实对任意0ta，b，定义),2),1)(00btttattfot=则)(0tftBa，b，且若21tt，1),(21=ttffd。假使Ba，b是不可分的，则有可数稠密子集ngn=1，对任意0ta，b，)21,(0tfU必有某ng，即21),(0体是不可数集。这样必有某ng，21,tt，使ng)21,(1tfU，ng)21,(2tfU，于是12121),(),(),(2121=+，存在Ay0，使200)(2),(inf),(+=+=。则当x，使=?2),(FxUx，令)2,(11x

6、FxxUG=Y，类似)2,(22yFxyUG=Y，其中=?1),(FyUy，显然21,GG是开集，且2211,FGFG?。假使,21?GG，则必有,1Fx2Fy，使)2,()2,(xyxUyUI。设)2,()2,(xyxUyUzI。不妨设yx，则xyxyxyzdzxdxyd+=-是开集。这样)(,|cxfXxx=)(,|cxfXxxC是闭集。同理)(,|cxfXxx是闭集。反之，若对每个实数c，)(,|cxfXxx和)(,|cxfXxx都是闭集，则)(,|cxfXxx都是开集。设G是直线上的开集，则Y=1),(iiibaG或YniiibaG1),(=，其中),(iiba是G的构成区间。不妨设Y

7、=1),(iiibaG于是)(,|()(,|()(,|)(111iiiiiibxfXxxaxfXxxbxfaXxxGf=0，存在N，使当n，mN时，.1),(设nx是S中的柯西点列，),(.)()(2)(1Kninnnx=对每一个固定的i，由于)0(0212-tttii，因而对任意,0存在0，当t0时，存在n，mN时，-nini。令),(21Kix=，故有Sx，且对任意给定o，存在0i，使+=时，0)(2|iini时，=-+-，存在N，使当n，mN时-ntxtxn，由于n，mN时-m，得-|)()(|txtxn，这样+|)(|)(|txtxn，于是+0,存在N，当n，mN是21),(N,21)

8、,(N是Nnxx=。因而)(-nxxNn，即X，d是完备的度量空间。16.证实l与C0，1的一个子空间等距同构。证实若),(21Kix=l，定义1,0(,1,0(),(tCtxT，若),(21Kix=l，),(21Kiy=l，则),(|),(),(|sup|sup),(1,0(TyTxdtyTtxTyxdtii=-=-=因而T到l到0，1的子空间的一个同构映射，即l到0，1的一个子空间等距同构。17.设F是n维欧几里得空间nR的有界闭集，A是F到本身中的映射，并且合适下列条件：对任何Fyx,)(yx，有),(),(yxdAyAxdr内合适又A在闭球),(|),(00rxxdxrxS=上连续，并

9、且.)1(),(00rAxxd-证实：A在),(0rxS中有不动点。证实设nx=nA0x，2,1=n。则rxAxdxAxAdxAxAdxxdnnnnnnnn)1(),(),(),(),(00102020101-0，存在N，使Nr且Nmn,，有.)1()1()1(),(),(),(),(1211211-。由于A在),(0rxS上连续。*1*limlimxxAxAxnnnn=+-，即*x是A在),(0rxS中的不动点。A的不动点不一定是唯一的。例如X是离散的度量空间。A是X中的恒等映射。在开球)1,(0xU内只要0x一点，自然知足条件.10),(),(此页面能否是列表页或首页？未找到适宜正文内容。