概率论(计算)习题要点.docx

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1、概率论(计算)习题要点概率论计算：1已知在10只晶体管中有2只次品，在其中取两次，作不施加抽样，求下列事件的概率。1两只都是正品？2两只都是次品？3一只是正品，一只是次品？4第二次取出的是次品？解：设A1、A2表示第一、二次取到正品的事件，由等可能概型有：(1)452897108)1|2()1()21(=?=AAPAPAAP(2)45191102)1|2()1()2,1(=?=AAPAPAAP(3)45169810292108)1|2()1()1|2()1()21()21(=?=+=+AAPAPAAPAPAAPAAP(4)519110292108)1|2()1()1|2()1()2(=?=+=

2、AAPAPAAPAPAP2某电子设备制造厂所用的晶体管是由三家元件厂提供的，根据以往记录有如下数据设三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的，且无区别的标志。1在仓库中随机地取一只晶体管，求它是次品的概率。2在仓库中随机地取一只晶体管，发现是次品，问此次品是一厂产品的概率？解：设BiI=1,2,3表示任取一只是第I厂产品的事件，A表示任取一只是次品的事件。1由全概率公式0125.003.005.001.080.002.05.0)3|()3()2|()2()1|()1()(=?+?+?=+=BAPBPBAPBPBAPBPAP2由贝叶斯公式24.00125.002.015.0)()1|()1()|1(=

3、?=APBAPBPABP3房间里有10个人，分别佩戴从1号到10叼的纪念章，任选三人记录其纪念章的号码，求：1最小号码为5的概率；2最大号码为5的概率。解：由等可能概型有：11211025=CCP;211024=CCP46件产品中有4件正品和2件次品，从中任取3件，求3件中恰为1件次品的概率。解：设6件产品编号为1，26，由等可能概型53361224=CCCP5设随机变量X具有概率密度?-=0,00,3)(xxxkexf。1确定常数k；2求PX0.1解：1由1)(=-+?dxxf有333303301=-+=-+-?kkxdxekdxxke所以27408.0331.0)1.0(=-+=?dxxe

4、xP6一大楼装有5个同类型的供水设备，调查表明，在任一时刻t，每个设备被使用的概率为0.1，问在同一时刻1恰有2个设备被使用的概率是多少？2至多有3个设备被使用的概率是多少？3至少有1个设备被使用的概率是多少？解：由题意，以X表示任一时刻被使用的设备的台数，则Xb(5,0.1)，于是10729.039.021.025)2(=CXP29995.051.0559.041.0451)5()4(1)3(1)3()2()1()0()3(=+-=+=-=-=+=+=+=CCXPXPXPXPXPXPXPXP340951.059.001.0051)0(1)1(=-=-=CXPXP7设随机变量X的概率密度为,0

5、,40,8)(?解：15328.0)5.0()1()232()235()52(-=-=-=xPxPxP5.0)0(1)3(=-=XP2由Pc=P(xc)，即3,02321)23()23()23(1=-=-=-ccccc所以求Y=X的分布律。解：Y=X2的全部取值为0，1，4，9且PY=0=PX=0=51，PY=1=PX=-1+PX=1=30715161=+，PY=4=PX=-2=51，PY=9=PX=3=3011故Y的分布律为11设二维随机变量x，y具有概率密度?+-=其它,00,0,)2(2)(yxyxexf1求分布函数Fx，y；2求概率PYX解：1?-=?+-=-=?其它其它,00,0),

6、1)(21(,00,0)2(200),(),(yxyexeyxdxyxexdyydxdyyxfyxyxF231)2(20),()(=+-+=?dydxyxeydxdyyxfXYP求X及Y的边缘分布律。13设随机变量X，Y的联合概率密度为?=其它,010,6),(xyxf，边缘概率密度)(),(yyfxxf。解：?-=?=-+=?其它其它,010),2(6,010,62),()(xxxxdyxxdyyxfxxf?-=?=-+=?其它其它,010),(6,010,6),()(yyyydxyydxyxfyyf14设X，Y的概率密度为?-=?XEXEXDdxxeXXEdxxeXXEXDXExxxexf

7、解求常数是其中19已知XN，2，求EX，DX。22222)()2()(2222)(21)(2)(212)2(2)(21)(2)(21)(:222222=-+=-=+=+-+=-=+-=+-+=-=+-=?XEXEXDdttettxdxxexXEdttettxdxxexXE设设为解20在总体N52，6.33中随机抽一容量为36的样本，求样本平均值X落在50.8到53.8之间的概率。8293.0)14.1()71.1(05.12.105.18.163.6528.5363.65263.6528.50)8.538.50(:=-=?-?=?-?-=?+-=iiXnniixndLdnXXXnnixLnic

8、niXnniixcnndLdnXXXncnniixcLxxxfccxcxxcxf12)ln(2?,01ln212)(ln1).21(211)()2(1lnln?,10lnln)(ln)1().21(1)1()()1(:,0,010,1)()2(,0,0,0,)1()()1(解得似然方程为似然函数为解得似然方程为似然函数为解为未知参数其中其它为未知参数为已知其中23设总体为随机变量X，且EX=a常数，未知，试讲明样本平均值X是a的无偏估计量。的无偏估计量是即解aXniananiXEnniiXnEXE=?=?=11)(111)(:24设总体X在a,b上服从均匀分布，a,b未知，nXXX,.2,1是

9、一个样本，试求a,b的矩估计量。2)12(3(?2)12(3(?2124/2)(12/2)(12/)(4/2)(12/2)()2(22/)()(1:AAXbAAaiXnAbaabXAbabaabXEbaXE-+=-=?=+-=+-=+=解得令解25设某种清漆的9个样品，其枯燥时间以小时计分别为6.1,6.0,5.7,5.8,6.5,7.0,6.3,5.6,5.0。设枯燥时间总体服从正态分布N，2，求的置信度为0.95的置信区间。1若由以往经历知=0.6小时；2若为未知。)4416.6,5584.5()8(025.035745.00.6)1(2)1(2,)2()392.6,608.5(96.12

10、.00.622,)1(:所以置信区间为如今置信区间为未知时所以置信区间为如今置信区间为已知时解tnatnXnatnSXaznXaznX=-?-?=?26随机地取某种炮弹9发做试验，得炮口速度的样本标准差S=11m/s，设炮口速度服从正态分布，求这种炮弹的炮口速度的标准差的置信度为0.95的置信区间。)1.21,43.7(,)1(222)1(,)1(222)1(95.0,:查表计算得代入有关数值的置信区间为置信度为标准差由题条件解?-naxSnnaxSn27某种电子元件的寿命x以小时计服从正态分布，2均未知，现测得16只元件的寿命如下：159280101212224379179264222362

11、168250149260485170问能否有理由以为元件的平均寿命大于225小时取a=0.05小时于以为元件平均寿命不大故接原假设由于计算得拒绝域为此检验如下解225,0,7531.16685.07531.1)15(05.0,6685.0)1(/0225:1225:0:HttnatnSxtHH=求X及Y的边缘分布律8.23.0223.0204.02)2()2(2.0=?+?+?-=-=XE30盒子有4个新乒乓球，2个旧乒乓球，甲从中任取一个用后放回此球下次算旧球，乙再从中取一个，那么乙取到新球的概率是多少？95923164622164)|()()|()()(2;1:=+=?+?=+=BAPBP

12、BAPBPAPB件由全概率公式次取到新球的事表示第事件次取到新球的表示第设解31对于正态总体的大样本n30，S近似服从正态分布N(，2/2n)，其中为总全的标准差，试证：的100r2%的置信区间为nxZSnxZSxZnSxZxxZnSxZPNnSnNSnxZSnxZS2/212/2122/2122/2)1,0(2/)2/2,(:2/212/21-=?-=+=+=-=kktPktPksuZPksuXPKksuXPiiZS有解值的试求知足33已知离散型随机变量X服从对数为2的泊松分布，即.2,112)(=KKkKZP求X=3X-2的数学期望EX。4)(42232)(3)23()(2)(:=-?=-

13、=-=XEXEXEXEXE解34设随机变量X与Y独立，且XN1，2YN0，1试求X=2X-Y+3的概密度。18)5(231)(9)()(4)32()(53)()(2)32()(:2-=+=+-=+-=+-=xegzfYDXDYXDXDYEXEYXEXE解35设随机变量的分布律为PZ=K=0.)2,1,0(1=kkka，确定a。eaaekkikakkkakKZP=010101)(:解36设X，Y的密度函数为?-=其它,0,0,),(xyxyeyxf求X，Y的边缘密度函数判别其独立性。不独立与其它同理其它时当解YZyyfxzfyxfyyyeyyfxxeyxfxexdyyedyyxfXzfX?-=?

14、-=-=+-=+-=?)()(),(,00,)(,00,),(),()(,0:37设随机变量X，Y的概率密度为?+-=其它,00,0,)43(),(yxyxCeyxf求：常数C及联合分布主数FX，Y。?-=-=+-+-=+=?-=+-+-+-+-=?其它解,00,0)41)(31(),()41)(31(),(),(1212003),(1),(:yxyexeyxFyexedxdyyxfyxFCcdyyedxxeCdxdyyxfdxdyyxf38设二维随机变量X，Y的联合分布函数?-+-=其它当,00,03331),(yxyxyxyxF求二维随机变量X，Y的联合x,y解：可验证Fx,y是连续型二维

15、随机变量的分布函数，则?-=-=?-=?=其它,00,0,)3(ln3),(2)3(ln323ln33ln32),(2yxyxyxyxyxFyxxXFyxFyx39测定某种溶液中的水份，它的10个测定值给出S=0.037%，设测定值总体为正态分布，2为总体方差试在水平a=0.05下检验假设H0:=0.04%,H1:a=?=-=-=?0是未知参数，nXXX,.2,1是来自总体X的容量为n的样本，记=niiZnZ11。证实：的无偏估计为Z32?=。=?=?=?2332)(32)32()?(23)(232)(,02,1)(:ZEZEEEZEdxxZExxPX其它的分布概率密度函数解45设随机变量X，Y的联合概率密度函数为?51设随机变量X，Y的概率密度为?-=其它,00),22/(22)(xxexxf其中0，为未知参数，求的极大似然估计值。=+-=-+=+-=-=niixnniixnniixniixnLnLnixeixnniixfLi1221?012312)1222(1ln2)(ln12221),()(:22令解53设总体Z的概率密度为?-=其它,010,1)(xxxf其中0,为未知参数，求的矩估计量。1101)(:+=-=?dxxXZEiw解21?-=+ZZZa令54设随机变量Z服从0，2上的均匀分布，则随机变量Y=Z2在0，4内的概率分布密度函数fy(y)，求fy(y)。?