数学建模城市空气质量评估及预测.docx

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1、数学建模城市空气质量评估及预测城市空气质量评估及预测摘要:本文对我国十个城市的空气质量进行了深化的研究，利用统计学等相关原理，结合我国现行的“创模和“城考体系中的环境空气质量指标，就城市空气污染程度，空气质量的预测和影响因素等问题建立出相应的数学模型。利用层次分析法和Perron-Frobenions等相关原理建立数学模型对中国十大城市的空气污染严重程度给出分析并排名。运用GM1,1灰色预测模型，结合相关数据运用excel软件进行数据统计，对成都市2020年11月份的空气质量状况进行预测。使用优势分析原理分析空气中可吸入颗粒、二氧化硫、二氧化氮等因素对空气质量的影响程度。关键词：空气质量，层次

2、分析，判定矩阵，相对权重，排名，灰色预测，优势分析，可吸入颗粒，二氧化硫，二氧化氮一、问题的提出1.1背景介绍随着中国经济的进一步发展，环境问题已是制约我国发展的关键因素之一，而环境问题最突出的就是空气污染。“十一五“创模考核指标“空气污染指数要求：API指数100的天数超过全年天数85%。“城考根据API指数100的天数占全年天数的比例来确定空气质量得分。“API指数100的天数，通常又被称为空气质量到达二级以上的天数。根据已有数据，运用数学建模的方法，对中国空气质量做出分析和预测是一个重要问题，同时通过对影响空气质量因素的分析，以正确做好环境保护措施也极为重要。本文主要针对下面几个问题进行

3、相关分析：1利用已知的数据，建立数学模型通过分析给出十个城市空气污染严重程度的科学排名。2建立模型对成都市11月的空气质量状况进行预测。3采集必要的数据，建立模型分析影响城市空气污染程度的主要因素是什么。二、基本假设1表格中已有的数据具有权威性，值得相信，具有使用价值。2空气质量一样等级的污染程度一样。3假设该市各种影响空气质量的软因素如工业发展，人口数量保持平稳变化。4不考虑突发事件即人为因素如工业事故造成的空气质量突变。5假设各种因素对环境的影响最终主要表如今可吸入颗粒、二氧化硫、二氧化氮上，不考虑其他随机因素的影响。三、问题的分析31第一问所涉及的问题是一个具有一般性的，又有代表性的排序

4、问题，鉴于每个城市的空气质量状况等级的权重有所不同，我们利用层次分析法对题中所测得城市空气质量状况进行排序，首先建立层次分析构造：最上层为目的层O：各城市空气质量污染程度。Pi中间层为准则层P：空气质量状况等级。共7个等级，依次为(1,2,(7)i最底层为对象层(C)：为排序对象。由各层次之间的关系，C与P关联，且P与O相关联。3.2第二问涉及对系统行为特征的发展变化规律进行估计预测，故能够运用GM模型对其进行灰色预测，从把握的历史数据能够看出，每年11月的空气质量级别分布较为类似，全月的平均值较好的反响了相关指标的变化规律，这样我们能够将预测评估分为两个部分：1利用灰色理论建立GM1,1模型

5、，由2005-2020年11月份空气质量指数的平均值预测2020年的平均值。2通过历史数据计算天天指标值与全月总值的关系，进而能够预测出正常情况下2020年11月份天天的指标值，即空气质量指数。3.3第三问是要分析影响空气质量的因素，本文主要考虑计入空气污染指数的三个指标。通过计算可吸入颗粒、二氧化硫、二氧化氮的关联度，分析得知哪个因素对空气质量影响较大，哪个因素对空气质量影响较小。四、模型的建立及求解4.1运用层次分析法，将研究目的O，空气质量状况P和对象C相应的分为目的层，中间层，最底层。层次关系图如下：根据层次分析法的步骤，构造城市排名模型：1建立层次构造图如上图；2构造比拟矩阵A，比拟

6、7个空气质量状况P对目的层O的影响程度，即确定它在O中所占得比重。对任意两个和，用ija表示iP和jP对O的影响程度之比，按19的比例标度来度量ija(,1,2.)ijn=,由此可得到两两成比照较矩阵()ijnnAa?=，ija0,1jiijaa=,ija=1(,1,2.)ijn=比例标度确实定：ija取19的9个等级，而jia取ija的倒数。比例标度值3)确定相对权重由两两成比照较的判定矩阵。结合Perron-Frobenions定理，得非负矩阵存在正的最大模特征值，对应着正的特征向量。用“和法求出矩阵的最大特征根和最大特征向。再将所求的特征向量单位化后得到的就是空气质量状况P对目的O相对影

7、响性的权重，记为。和法求矩阵的最大特征根和最大特征向a将A的每一列向量归一化得1/nijijijiaa=,矩阵ij如下：0.50110.67970.45750.38100.32480.28320.22500.12530.16990.36600.31750.27840.24780.20000.10020.04250.09150.19050.18560.17700.17500.08350.03390.03050.06350.13920.14160.15000.07160.02830.02290.02120.04640.10620.12500.06260.02430.01830.01590.0155

8、0.03540.10000.05570.02120.01310.01060.00930.00890.0250b对ij按行求和得i：0.40750.24360.1375i=0.09180.06020.03890.0206c将i归一化得71/iiii*=，=127(,.)T即为特征向量。d7max1()17iiiA=()iA表示A的第i个分量。结果如下3.53822.1734()iA=1.13480.71410.44370.27760.1530由此得出：max1(8.68278.72208.05317.27897.17047.13627.4272)7=+7.78=一致性检验：1一致性指标：max1

9、nCIn-=-得CI=0.132随机一致性指标：RI如图表： (3)一致性比率0.130.0980.11.32CICRRI=当前位置：文档视界数学建模城市空气质量评估及预测数学建模城市空气质量评估及预测通过以上模型的求解，得到10个城市空气质量污染程度的综合排名：由重到轻况。结论显示乌鲁木齐的空气污染程度在10个城市里最严重，由于乌鲁木齐有大量的石油开采基地有大量污染物体产生，以及连续出现静风天气和乌鲁木齐上空的逆温层阻碍了污染物的扩散，使其越积越多，导致空气污染随之加重。4.2对成都市2020年11月份空气质量指数建立灰色预测模型GM1,1由已知数据，对2005-2020年十一月份的空气指数

10、记为矩阵A=530(a)ij?，计算每年的年平均值，记为:(0)(0)(0)(0)(1),(2)(5),xxxx=1并要求级比()0(0)()(1)/()(0.7165,1.3956)ixixi=-(2,35)i=.，对(0)x作一次累加，则：(1)(0)(1)1(1),()kikxxxix=0(2,35)i=，2记(1)(1)(1)(1)(1),(2)(5),xxxx=取(1)x的加权平均值则(1)(1)(1)()()(1)(1)(2,35),zkxkxkk=?+-?-=?为确定参数，记：(1)(1)(1)(1)(2),(3),(5),zzzz=3于是GM1,1的白化微分方程模型为(1)()

11、/,ttxddaxb+=其中a是发展灰度，b是内生控制灰度。由于(1)(1)(0)()(1)(),xkxkxk-=取(0)()xk为灰导数，(1)()zk为背景值，则可得出相应的灰微分方程：(0)(1)()()(2,3,5)xkazkbk-=运用最小二乘法可求：22()/(),anxyxynxx=-byax=+4其中x为(1)()zk，y为(0)()xk；于是方程有响应特解(1)(0)?(1)(1)/)/atxtxbaeba-+=-?+，则(1)(0)(1)?(1)(1)/)()akakxkxbaee-+=-。5则由上式可得到2020年11月份空气指数的平均值，则预测2020年11月份的空气指

12、数总值为30Xx=，根据历年数据，则能够统计出2020年11月份天天的空气指数占整月总值的比例iu，即：5305111/(1,230),iijijjijuaai=6则1230(,),uuuu=于是可得2020年11月天天的空气指数值为YXu=。由数据表，结合1，2两式计算可得月平均值，一次累加值分别为：(0)(98,67,88,82,86)x=(1)(98,165,253,335,421)x=注：由于空气指数均为整数，故求均值时进位取整。显然(0)x的所有级比都在可容区域内，经检验，在这里参数0.5?=适宜，则由3可得：(1)(131.5,209,294,378)z=则所得对应灰微分方程为：6

13、7131.5;88209;82294;86378;abababab+=+=+=+=运用最小二乘法公式4可求得：0.06079;96.1375;ab=由式5可得2020年11月份空气质量指数平均值为69x，则月总指数值：302070Xx=，由式6得到天天的比例为：(0.0256,0.0297,0.035,0.0362,0.0389,0.0358,0.0408,0.0412,0.0503,0.0477,0.0412,0.0338,0.0337,0.0296,0.0287,0.024,0.0214,0.0275,0.0266,0.0288,0.02930.03,0.0301,0.0294,0.033

14、5,0.0312,0.0358,0.0335,0.0363u=,0.0345)；故2020年11月1-30天的空气质量指数预测值为：(53,61,72,75,80,74,84,85,104,99,85,70,70,61,59,49,44,57,55,59,60,62,62,61,69,64,74,69,75,71)YXu=通过上述所建模型我们对2005-2020年10月空气质量指数进行预测，将预测值与实际统计值进行比拟，如下表所示：从上图能够较为直观地看出，通过所建模型计算预测出所得的预测值在较大程度上与实际值吻合，故所建模型是正确可行的。4.3建立空气质量影响因素模型：灰色系统理论中的关联分析法是一种因素比拟分析法，是以数据间差值大小作为关联程度的衡量尺度，通过求解关联度来确定各指标对目的值的影响度。(1)绝对关联度：设序列0X与Xi长度一样，则称(2)000011iiiiSSSSSS+=+-