曹显兵.概率论讲义(打印版).docx

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1、曹显兵.概率论讲义(打印版)第一讲随机事件与概率考试要求1.了解样本空间的概念,理解随机事件的概念,把握事件的关系与运算.2.理解概率、条件概率的概念,把握概率的基本性质,会计算古典型概率和几何型概率,把握概率的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式,以及贝叶斯公式.3.理解事件独立性的概念,把握用事件独立性进行概率计算；理解独立重复试验的概率,把握计算有关事件概率的方法.一、古典概型与几何概型1试验，样本空间与事件.2古典概型：设样本空间为一个有限集，且每个样本点的出现具有等可能性，则基本事件总数中有利事件数AAP=)(3几何概型：设为欧氏空间中的一个有界区域,样本点的出现具有等可能性，则

2、、体积的度量长度、面积、体积A的度量长度、面积=)(AP【例1】一个盒中有4个黄球,5个白球,现按下列三种方式从中任取3个球,试求取出的球中有2个黄球,1个白球的概率.1一次取3个；2一次取1个,取后不放回；3一次取1个,取后放回.【例2】从0，1中随机地取两个数，试求下列概率：1两数之和小于1.2；2两数之和小于1且其积小于163.一、事件的关系与概率的性质1.事件之间的关系与运算律与集合对应,其中十分重要的关系有：1A与B互斥互不相容?=AB2A与B互逆对立事件?=AB,=BA3A与B互相独立?PAB=PAPB.?PB|A=PBPA0.?(|)(|)1PBAPBA+=0?PB|A=PB|A

3、0PABC=PAPBPC.2.重要公式1)(1)(APAP-=2)()()(ABPAPBAP-=-3)()()()(ABPBPAPBAP-+=)()()()()()()()(ABCPACPBCPABPCPBPAPCBAP+-+=4若A1,A2,An两两互斥,则=niiniiAPAP11)()(.5若A21,A,An互相独立,则)(1)(11ininiiAPAP=-=)(111iniAP=-=.=niiniiAPAP11)()(.6条件概率公式:)()()|(APABPABP=PA0【例3】已知ABBA+BABA+C,且PC31,试求PB.【例4】设两两互相独立的三事件A,B,C知足条件:ABC

4、,PAPBPC11()(|)(),.iiijiiiPBPBAPAAAijA=3Bayes公式：11(|)()(|),.(|)()jjjijiiiiiPBAPAPABAijAPBAPA=A4二项概率公式:()(1),0,1,2,.kknknnPkCPPkn-=-=,【例10】10件产品中有4件次品,6件正品,现从中任取2件,若已知其中有一件为次品,试求另一件也为次品的概率.【例11】设10件产品中有3件次品,7件正品,现每次从中任取一件,取后不放回.试求下列事件的概率.1第三次获得次品;2第三次才获得次品;3已知前两次没有获得次品,第三次获得次品;4不超过三次取到次品;【例12】甲,乙两人对同一

5、目的进行射击,命中率分别为0.6和0.5,试在下列两种情形下,分别求事件“已知目的被命中,它是甲射中的概率.1在甲,乙两人中随机地挑选一人,由他射击一次;2甲,乙两人独立地各射击一次.【例13】设有来自三个地区的各10名、15名和25名考生的报名表,其中女生的报名表分别为3份,7份和5份.随机地取一个地区的报名表,从中先后任意抽出两份.(1)求先抽到的一份是女生表的概率p;(2)已知后抽到的一份是男生表,求先抽到的一份是女生表的概率q.第二讲随机变量及其分布考试要求1.理解随机变量及其概率分布的概念.理解分布函数()()FxPXx=的概念及性质.会计算与随机变量有关的事件的概率.2.理解离散型

6、随机变量及其概率分布的概念，把握01分布、二项分布、几何分布、超几何分布、泊松Poisson分布及其应用.3.了解泊松定理的结论和应用条件，会用泊松分布近似表示二项分布.4.理解连续型随机变量及其概率密度的概念，把握均匀分布、正态分布2(,)N、指数分布及其应用，其中参数为(0)的指数分布的概率密度为,0,()0,0.xexfxx-?=?5.会求随机变量函数的分布.一、分布函数1随机变量：定义在样本空间上，取值于实数的函数称为随机变量.2分布函数：+-=),()(xxXPxFFx为分布函数?10Fx12Fx单调不减3右连续Fx+0=Fx41)(,0)(=+=-FF3离散型随机变量与连续型随机变

7、量1离散型随机变量=1i10,2,1,)(iiiippnipxXP分布函数为阶梯跳跃函数.2连续型随机变量?-=xttfxFd)()(fx为概率密度?1fx0,2?+-fx1d=x?=的指数分布,试求随机变量Y=minX,2的分布函数【例4】设某个系统由6个一样的元件经两两串联再并联而成,且各元件工作状态互相独立每个元件正常工作时间服从参数为0的指数分布,试求系统正常工作的时间T的概率分布.【例5】设随机变量X的概率密度为?3Poisson分布)(P：,2,1,0,0,e!)(=-kkkXPk.4均匀分布?-=.,1)(:),(其他，bxaabxfbaU5正态分布N，2：0,e21)(222)

8、(+=-xxf6指数分布?=-.,00,e)(:)(其他xxfEx0.7几何分布.2110,)1()(:)(1,k,pppkXPpGk=-=-8超几何分布HN,M,n:,min,1,0,)(MnkCCCkXPnNknMNkM=-.【例6】某人向同一目的独立重复射击,每次射击命中目的的概率为p0B2)1(6pp-.C22)1(3pp-.D22)1(6pp-.【例7】设X,2,则PX1【】A随的增大而增大.B随的增大而减小.C随的增大而不变.D随的增大而减小.【例8】设X,2,()Fx为其分布函数，0B()()1.FaFa-+=C()()1.FaFa-+)4,21(-F.第三讲多维随机变量及其分布

9、考试要求1.理解多维随机变量的概念，理解多维随机变量的分布的概念和性质，理解二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布，理解二维连续型随机变量的概率密度、边缘密度和条件密度.会求与二维随机变量相关事件的概率.2.理解随机变量的独立性及不相关的概念，把握随机变量互相独立的条件.3.把握二维均匀分布，了解二维正态分布的概率密度，理解其中参数的概率意义.4.会求两个随机变量简单函数的分布，会求多个互相独立随机变量简单函数的分布.一、各种分布与随机变量的独立性1.各种分布1一般二维随机变量Fx,y=PXx,Yy,x?,+,y?,+的性质Fx,y为联合分布函数?10Fx,y1,?x?,+,y?,+

10、;2F?,y=Fx,?=0,F+,+=1;3Fx,y关于x,y均为单调不减函数；4Fx,y关于x,y均分别右连续.2二维离散型随机变量的联合概率分布、边缘分布、条件分布联合概率分布律PX=xi,Y=yj=pij,i,j=1,2,?,pij0,1=ijjip.边缘分布律pi?=PX=xi=jjip,i=1,2,?,p?j=PY=yj=ijip,j=1,2,?,条件分布律PX=xi|Y=yj=jjipp?,PY=yj|X=xi=?ijipp.二维连续型随机变量的联合概率密度、边缘密度和条件密度fx,y为联合概率密度?1?fx,y0,2?1=?+-+-),(dxdyyxf.设X,Yfx,y则分布函数

11、:?-=xydxdyyxfyxF),(),(;边缘概率密度:?+-=),()(dyyxfxfX,?+-=),()(dxyxfxfY.条件概率密度:)(),()|(|yfyxfyxfYYX=,)(),()|(|xfyxfxyfXXY=.?=DdxdyyxfDYXP),(),(.),(),(yxyxFyxf?=22.随机变量的独立性和相关性X和Y互相独立?Fx,y=FXxFYy;?pij=pi?p?j离散型?fx,y=fXxfYy连续型【注】1?X与Y独立,fx,gx为连续函数?fX与gY也独立.2?若X1,?,Xm,Y1,?,Yn互相独立,f,g分别为m元与n元连续函数?fX1,?,Xm与gY1

12、,?,Yn也独立.3?常数与任何随机变量独立.3.常见的二维分布1二维均匀分布X,YUD,D为一平面区域.联合概率密度为?=.,.),(,)(),(其他01DyxDSyxf2二维正态分布X,YN1,2,12,22,?0,20,|【例3】设随机变量X与Y独立同分布,且X的概率分布为313221PX记YXVYXU,min,max=.I求U,V的概率分布;II求U,V的协方差CovU,V.【详解】I易知U,V的可能取值均为:1,2.且)1,min,1,(max)1,1(=YXYXPVUP)1,1(=YXP94)1()1(=YPXP,0)2,min,1,(max)2,1(=YXYXPVUP,)1,mi

13、n,2,(max)1,2(=YXYXPVUP)2,1()1,2(=+=YXPYXP)2()1()1()2(=+=YPXPYPXP94=,)2,min,2,(max)2,2(=YXYXPVUP)2()2()2,2(=YPXPYXP91=,故U,V的概率分布为:II9122941209411)(?+?+?=UVE916=,而914952941)(=?+?=UE,910912981)(=?+?=VE.故814910914916)()()(),(=?-=-=VEUEUVEVUCov.【例4】设随机变量X在区间0,1上服从均匀分布,在)10(Y的概率密度;概率1+YXP.二、二维或两个随机变量函数的分布

14、1分布的可加性1若XBm,p,YBn,p,且X与Y互相独立，则X+YBm+n,p.2若XP1,YP2,且X与Y互相独立，则X+YP1+2.3若XN211,YP222,且X与Y互相独立，则X+YN221212,+.一般地，若XiN2,ii,i=1,2,n,且X1，X2，Xn互相独立，则Y=C1X1+C2X2+CnXn+C仍服从正态分布，且此正态分布为2211(,),nniiiiiiNCCC=+其中C1，Cn为不全为零的常数.2.两个随机变量函数的分布.【例5】设X与Y互相独立,且(1),(2),XPYP则max(,)0_;PXY=min(,)0_.PXY=【例6】设X与Y互相独立,其密度函数分别

15、为:1,01,()Xxfx=?0,其他.求Z2XY的概率密度.【例7】设二维随机变量X,Y的概率密度为2,01,01,(,)0,xyxyfxy-；II求Z+的概率密度)(zfZ.【详解】IYXP2?=yxdxdyyxf2),(?-=12210)2(ydxyxdy247=.II方法一：先求Z的分布函数:?+=+=zyxZdxdyyxfZYXPzF),()()(当z3)2(311z-=；当2z时,1)(=zFZ.故Z+的概率密度)(zfZ=)(zFZ?离散型iipxXP=,=iiipxXE)(连续型)(xfX,xxxfXEd)()(?+-=方差：222)()()()(XEXEXEXEXD-=-=标准差：)(XD,2.期望的性质：1)()(,)(XEXEECCE=2)()()(2121YECXECYCXCE+=+3)()()(YEXEXYE，YX=则独立与若4)()()(222YEXEXYE3.方差的性质：10)(,0)(,0)(=XDDXEDCD2)()()(YDXDYXDYX+=互相独立，则与3)()(2121XDCCXCD=+4一般有),Cov(2)()()(YXYDXDYXD+=)()(2)()(YDXDYDXD+=52()()CDXEX