量子力学的矩阵形式及表象理论.docx

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1、量子力学的矩阵形式及表象理论当前位置：文档视界量子力学的矩阵形式及表象理论量子力学的矩阵形式及表象理论第三章目录3.1一般性质(2)1定理1：一维运动的分立能级束缚态，一般是不简并的.22不同的分立能级的波函数是正交的。.43振荡定理.44在无穷大位势处的边条件.53.2阶梯位势.63.3位垒穿透(8)1E.103结果讨论.113.4方位阱穿透.113.5一维无限深方位阱(12)1能量本征值和本征函数.122结果讨论.133.6宇称，一维有限深方势阱，双位势.(14)1宇称.142有限对称方位阱.153求粒子在双位阱中运动.183.7束缚能级与反射振幅极点的关系.错误！未定义书签。1半壁位阱的

2、散射.错误！未定义书签。2有限深方位阱.错误！未定义书签。3.8一维谐振子的代数解法.错误！未定义书签。1能量本征值.错误！未定义书签。2能量本征函数.错误！未定义书签。3讨论和结论.错误！未定义书签。3.9相干态.错误！未定义书签。1湮灭算符a?的本征态.错误！未定义书签。2相干态的性质.错误！未定义书签。第三章一维定态问题现将所学得的原理和方程应用于最简单的问题：一维、不显含时间的位势，即一维定态问题。当)r(V)t,r(V=则薛定谔方程)t,r()p?,r(H?)t,r(ti=?有特解/iEtEEe)r(u)t,r(-=?而)r(uE知足)r(Eu)r(u)p?,r(H?EE=事实上，当

3、)r(V有一定性质时，如)Z(V)y(V)x(V)r(V+=或)r(V)r(V=时，三维问题可化为一维问题处理，所以一维问题是解决三维问题的基础。在解一维问题之前，先介绍一些解的性质。需要指出，现讨论的)x(V是实函数，进而保持不含时间的S.eq中E为实数。3.1一般性质设粒子具有质量m，沿x轴运动，位势为)x(V。于是有)x(Eu)x(u)x(Vdxdm2(EE222=+-。由于)x(uE是知足一定条件或边条件下的解，所以不是所有E都有非零解。1定理1：一维运动的分立能级束缚态，一般是不简并的简并度degeneracy：一个力学量的测量值，可在n个独立的线性无关的波函数中测得，则称这一测量值

4、是具有n重简并度。某能量本征值有n个独立的定态相对应，则称这能量本征值是n重简并的。证：假设21u,u是具有同样能量的波函数)x(Eu)x(u)x(Vdxdm2(11222=+-(1)x(Eu)x(u)x(Vdxdm2(22222=+-(2)2(u)1(u12?-?进而得0)x(udxdu)x(udxdu22211222=-于是c)x(uu)x(uu2112=-(c是与x无关的常数)。对于束缚态0u,xi或在有限区域有某值使0)x(uu)x(uu2112=-所以0c=，进而有0)x(uu)x(uu2112=-若)x(u)x(u12不是处处为零，则有)u(ln)u(lnuuuu121122=?=

5、进而有)x(Au)x(u21=。二者仅差一常数因子，所以是同一波函数。也就是讲，一个E只对应一个独立的波函数，因而，是不简并的。应当注意.分立能级是不简并的。而对于连续谱时，若一端0u，那也不简并。但如两端都不趋于0如自由粒子，则有简并。当变量在允许值范围内包括端点，波函数无零点，就可能有简并存在。因常数c0。当)x(V有奇异点，简并可能存在。因这时可能导致)x(u)x(u12处处为零。推论：一维束缚态的波函数必为实函数当然可保留一相因子。证)x(uE)x(u)x(Vdxdm2(nnn222=+-令)x(iI)x(R)x(unnn+=)x(I),x(R(nn都是实函数则)x(RE)x(R)x(

6、Vdxdm2(nnn222=+-)x(IE)x(I)x(Vdxdm2(nnn222=+-这表明nR和nI都是能量为E的解。但对束缚态，没有简并，所以只要一个解，因此nR和nI应是线性相关的。所以nnRI=因而，)x(R)i1()x(unn+=)x(RAeni=所以波函数只能取这一形式A,都为实数，nR为实函数。由此可得另一推论：一维束缚态，其几率流密度矢恒为0因波函数为实函数。2不同的分立能级的波函数是正交的。)x(uE)x(u)x(Vdxdm2(111222=+-3)x(uE)x(u)x(Vdxdm2(222222=+-4*1*2)2(u)1(u?-?)x(u)x(u)EE()x(u)x(u

7、)x(u)x(u(m21*221211*22-=-*所以?-=-)uuuu(dxdm2dxuu)EE(*211*221*2210)x(u)x(u)x(u)x(u(m2211*22=-=-进而证实得0dxuu1*2=?。这在物理上是显然的，因假如不正交，那就有)x(v)x(u)x(u212+=)x(v2是与)x(u1正交的。从态叠加原理看，体系可能处于)x(u1态，可以处于)x(v2态，即在)x(u2中可测得H?的本征值为E1，其几率2，这与)x(u2是能量E2的本征态的假设相矛盾，所以必须为零，)x(u2与)x(u1一定正交。3振荡定理当分立能级按大小顺序排列，一般而言，第n+1条能级的波函数

8、，在其取值范围内有n个节点即有n个x点使0)x(u=，不包括边界点或远。基态无节点当然处处不为零的波函数没有这性质，如?ime它是简并的，同样，多体波函数由于反对称性，而可能无这性质。4在无穷大位势处的边条件项先讨论)x(V有有限大小的间断点，由方程)x(Eu)x(u)x(Vdxdm2(222=+-即)x(u)x(VE()x(udxdm2222-=-由于)x(u连续，)x(V连续，或有些点是有限大小的间断点，因而)x(u)x(VE(-存在，即)x(udxd22存在，也就是)x(udxd的导数存在，所以)x(udxd连续，即波函数导数连续。而在位势是无穷时又怎样呢？设0VE)x(Eu)x(udx

9、dm2222=-0xuku2-=0x+=KK-0x)kxsin(A0xCeBe)x(uxx要求波函数有界，所以C0，要求波函数0x=处连续，且导数连续BsinA=BcoskAK-=K1tank1-=。当E给定，,V0K所以，.0sin0tan=?=0B于是，当0V,方程有解?=0x00xV)x(V0 (1)当0VE)x(Eu)x(udxdm2222=-0x+=-KK-0xBeAe0xCeDe)x(uikxikxxx由波函数有界C0在0x=处，波函数连续DBA=+，波函数导数连续KD)BA(ik-=-，解得)ki1(2DAK+=,)ki1(2DBK-=?不趋于0，但它不简并因x，0)x(uE。讨

10、论：A.0x处，经典粒子不能去的地方，但仍有一定的几率发现量子力学粒子，当然随x增大发现它的几率下降；B0x0jT=因xeK-是实函数.在0x区域中。定义：1.反射系数iRjjR=，现R=1;2.透射系数iTjjT=，现T=0。1RT=+(2)当0VE,求粒子从左向右方入射的解。)x(Eu)x(u)Vdxdm2(0222=+-0x)x(Eu)x(udxdm2222=-0x?+=-0xBeAe0xCeDe)x(uikxikxxikxik11。由初条件，粒子由左向右入射，由于在0x=处位势有间断点，所以0x处，位势无间断点，只要入射波，无反射波，所以C0。由波函数及其导数连续，有DBA=+Dik)

11、BA(ik1=-得)kk1(2DA1+=，)kk1(2DB1-=。结果有?时，0x区域有一沿x方向传播的平面波，波数为k1但这并不是指粒子具有动量为1k，因这要全空间。显然，)mp?Re(jix*ii?=212)kk1(4Dmk+)mp?Re(jRx*RR?=212)kk1(4Dmk-)mp?Re(jTx*TT?=21Dmk。进而得反射系数iRjjR=211)kkkk(+-透射系数iTjjT=211)kk(kk4+这表明，有一部分波被反射回来0x区域，仅速度发生变化。显然1TR=+。3.3位垒穿透根据经典力学，一个具有能量EV0时，则应完全透射到ax的区域中去，但这种描绘都不是准确的。从量子力

12、学观点看，假如E比V0大得不过多，仍有一部分被反射；如E比V0小得不过多，仍有一部分被透射过去。(1)E区域有解ikxe透射波。?=-0xBeAeaxSe)x(uikxikxikxE这形式是普遍的，只要远离作用区，而详细A、B、S则要根据位置的详细形式来确定。而沿x方向的几率流密度为2iAmkj=，2RBmkj-=，2TSmkj=?2ABR=2AST=所以只要求得AS,AB即可。对于ax0由后两式得?KK-=?K-KK-KFDekiekieeSeSeaaaaikaika于是有?K+K-K-K+?KK-=?K-KK-KBA)ki1(21)ki1(21)ki1(21)ki1(21ekiekieeS

13、eSeaaaaikaika?K-K-K-KK-KK+K=BAkasinhkiacoshkasinhkiacoshkasinhkiacoshkasinhkiacosh进而得Aacoshki2asinh)k(asinh)k(B2222KK-K-KKK+-=由1得Aacoshki2asinh)k(kei2S22ikaKK-K-KK-=-于是有12002asinhV)EV(E41ABR-?K-+=10202)EV(E4asinhV1AST-?-K+=20VE这时只要将1ik-=K,并由aksiniasinh1-=K,得Aaksin)kk(iakcoskk2aksin)kk(iB1221111212+-=Aaksin)kk(iakcoskk2ekk2S122111ika1+-=-进而有112002aksinV)VE(E41ABR-?-+=101202)VE(E4aksinV1AST-?-+=