数学解题策略与数学解题教学的几点浅见（沈文选）.ppt

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1、数学解题策略与数学解题数学解题策略与数学解题教学的几点浅见教学的几点浅见1. 1.数学解题策略问题数学解题策略问题2.2.数学解题教学问题数学解题教学问题1 1 数学解题策略问题数学解题策略问题1.1 1.1 解题策略的解题策略的3 3大支柱子系统大支柱子系统1.2 1.2 解题的几种重要策略方法解题的几种重要策略方法1 1 数学解题策略问题数学解题策略问题解题实践表明：数学解题是一种高级心理活动的思维过程。通过研究，解题实践表明：数学解题是一种高级心理活动的思维过程。通过研究，发现在这个思维过程中，人们的思维活动有一个监控结构，它的功能主发现在这个思维过程中，人们的思维活动有一个监控结构，它

2、的功能主要表现为三个：定向、控制和调节。定向：是确定思维的意向即确定思要表现为三个：定向、控制和调节。定向：是确定思维的意向即确定思考过程的方向；控制：是控制思维活动内外的信息量，排除思维课题外考过程的方向；控制：是控制思维活动内外的信息量，排除思维课题外的干扰和暗示，删除思维过程中多余和错误的因素；调节：是及时调节的干扰和暗示，删除思维过程中多余和错误的因素；调节：是及时调节思维活动的进程，修改行动的方针、方式和方法，提高思维活动的效率思维活动的进程，修改行动的方针、方式和方法，提高思维活动的效率和速度。那么，人们在解题思维决策过程中，以什么为依据来进行数学和速度。那么，人们在解题思维决策过

3、程中，以什么为依据来进行数学解题策略的定向、控制和调节呢？这就是数学解题策略应遵循的原则：解题策略的定向、控制和调节呢？这就是数学解题策略应遵循的原则：明确的目的性原则、熟悉化原则（定向）；简单化原则、具体化原则明确的目的性原则、熟悉化原则（定向）；简单化原则、具体化原则（控制）；和谐化原则，审查分析问题的全面性原则（包括逆向思维原（控制）；和谐化原则，审查分析问题的全面性原则（包括逆向思维原则）（调节）。则）（调节）。1.1 1.1 解题策略的解题策略的3 3大支柱子系统大支柱子系统根据数学解题思维活动过程中的监控结构，我们根据数学解题思维活动过程中的监控结构，我们把数学解题策略系统的子系统

4、分为三大支柱子系把数学解题策略系统的子系统分为三大支柱子系统：侧重于定向的归结为模式运作、化生为熟子统：侧重于定向的归结为模式运作、化生为熟子系统；侧重于控制的归结为聚焦切入、活化中介系统；侧重于控制的归结为聚焦切入、活化中介子系统；侧重于调节的归结为差异分析、适时转子系统；侧重于调节的归结为差异分析、适时转化子系统。化子系统。1.1.1 1.1.1 模式运作，化生为熟模式运作，化生为熟学习数学的过程中，所积累的知识经验经过加工，学习数学的过程中，所积累的知识经验经过加工，会得出有长久保存价值或基本重要性的典型结构会得出有长久保存价值或基本重要性的典型结构与重要类型这就是模式。将其有意识地记忆

5、下来，与重要类型这就是模式。将其有意识地记忆下来，并做有目的的简单编码，当遇到一个新问题时，并做有目的的简单编码，当遇到一个新问题时，我们辨认它属于哪一种基本模式，联想起一个已我们辨认它属于哪一种基本模式，联想起一个已经解决的问题，以此为索引，在记忆贮存中提取经解决的问题，以此为索引，在记忆贮存中提取出相应的方法来加以解决，这就是模式运作的解出相应的方法来加以解决，这就是模式运作的解题策略。题策略。这一策略子系统体现了定向的思维，遵循这一策略子系统体现了定向的思维，遵循的是化生为熟的的是化生为熟的“熟悉化熟悉化”原则以及原则以及“明明确的目的性确的目的性”原则。原则。模式运作常包括模式运用、模

6、式变换、模模式运作常包括模式运用、模式变换、模式迁移、模式突变等。式迁移、模式突变等。1.1.2 1.1.2 聚焦切入，活化中介聚焦切入，活化中介剖析众多的数学问题，尤其是综合性较强的数学问题，常因条剖析众多的数学问题，尤其是综合性较强的数学问题，常因条件之间的联系比较隐蔽，关系松散或表现错综复杂不易想通，件之间的联系比较隐蔽，关系松散或表现错综复杂不易想通，此即成为此即成为“难难”。这时，我们就像放大镜的聚焦作用一般仔细。这时，我们就像放大镜的聚焦作用一般仔细分析比较题设条件或条件与结论间的异同点或蛛丝马迹，以及分析比较题设条件或条件与结论间的异同点或蛛丝马迹，以及潜存着的数量关系或位置关系

7、上的特殊联系，抓住其中联接点，潜存着的数量关系或位置关系上的特殊联系，抓住其中联接点，提炼其中的共性点，作为承上启下、左右逢源的提炼其中的共性点，作为承上启下、左右逢源的“中介中介”（即（即中间问题或辅助问题），围绕它来展开活化（转换）并推演和中间问题或辅助问题），围绕它来展开活化（转换）并推演和运算，常能方便的找到解题途径，恰当而又适时地将各条件纳运算，常能方便的找到解题途径，恰当而又适时地将各条件纳入解题过程，并运用各有关条件和定理、性质，灵活的获得所入解题过程，并运用各有关条件和定理、性质，灵活的获得所需的结论，这就是需的结论，这就是“聚焦切入活化中介聚焦切入活化中介”的解题策略，简称的

8、解题策略，简称“聚焦活化聚焦活化”策略。策略。 这一策略子系统体现了这一策略子系统体现了“析取析取”的思维，遵循的是简单化、的思维，遵循的是简单化、具体化的原则。具体化的原则。“聚焦活化聚焦活化”的策略其核心是活化中介。因而这里的活化常的策略其核心是活化中介。因而这里的活化常与分（分步，分类等），比（对比，类比等），引（引参，与分（分步，分类等），比（对比，类比等），引（引参，引理等），调（调整，协调等）切换，推演息息相关。因而，引理等），调（调整，协调等）切换，推演息息相关。因而，我们可从寻找中介、辅设中介、认清中介、联想中介、想象我们可从寻找中介、辅设中介、认清中介、联想中介、想象中介、调

9、整中介、切换中介等方面研究一些具体的策略。中介、调整中介、切换中介等方面研究一些具体的策略。1.1.3 1.1.3 差异分析，适时转化差异分析，适时转化运用分析条件与结论之间的差异、处理手段的差异等，以不断减少目运用分析条件与结论之间的差异、处理手段的差异等，以不断减少目标差来完成解题的策略，称为差异分析，使用这种策略通常要求：标差来完成解题的策略，称为差异分析，使用这种策略通常要求：（1）通过分析题目的条件与结论中所出现的数量特征（如元素个数、通过分析题目的条件与结论中所出现的数量特征（如元素个数、字母的系数或指数等）、关系特征（如大于或等于、平行或垂直等）、字母的系数或指数等）、关系特征（

10、如大于或等于、平行或垂直等）、位置特征等去寻找目标差。位置特征等去寻找目标差。（2）题目一旦出现目标差就主动做出减少目标差的反应。）题目一旦出现目标差就主动做出减少目标差的反应。（3）减少目标差的调节要一次又一次地发挥作用，使得目标差的减少）减少目标差的调节要一次又一次地发挥作用，使得目标差的减少能积累起来。能积累起来。（4）减少目标差的调节常体现在处理手段差异的调节与转化。）减少目标差的调节常体现在处理手段差异的调节与转化。这一策略子系统体现了调节的思维，遵循这一策略子系统体现了调节的思维，遵循的是和谐化、分析问题的全面性原则。的是和谐化、分析问题的全面性原则。进退互用，倒顺相通，这是差异分

11、析、适进退互用，倒顺相通，这是差异分析、适时转化策略的灵活运用。时转化策略的灵活运用。1.2 1.2 数学解题的几种重要策略方法数学解题的几种重要策略方法1.2.1 1.2.1 化归与转化化归与转化1.2.2 1.2.2 分解与组合分解与组合1.2.3 1.2.3 数形互助数形互助1.2.4 1.2.4 筛选缩围筛选缩围1.2 1.2 数学解题的几种重要策略方法数学解题的几种重要策略方法在数学解题中，有些方法本身也是一种策略，例如在数学解题中，有些方法本身也是一种策略，例如数形互助，它既是一种非常重要的解题方法，又是数形互助，它既是一种非常重要的解题方法，又是一种重要的解题策略，且这种策略属于

12、定向型的模一种重要的解题策略，且这种策略属于定向型的模式运作，化生为熟子系统。也正因为这样，我们介式运作，化生为熟子系统。也正因为这样，我们介绍几个既是重要的解题方法又是重要的解题策略的绍几个既是重要的解题方法又是重要的解题策略的数学解题策略方法：化归转换、分解整合、数形互数学解题策略方法：化归转换、分解整合、数形互助、筛选缩围。助、筛选缩围。1.2.1 1.2.1 化归与转化化归与转化人们认识事物的过程是一个渐进的逐步深化的过程，往往会呈现相对人们认识事物的过程是一个渐进的逐步深化的过程，往往会呈现相对的阶段性，因此对于认识的对象，在数学中就是所研究的问题总是会的阶段性，因此对于认识的对象，

13、在数学中就是所研究的问题总是会有最为熟悉和比较生疏之分，因此，在面临一个较生疏或不易直接处有最为熟悉和比较生疏之分，因此，在面临一个较生疏或不易直接处理的问题化归为熟悉的问题转换为易于处理的问题。理的问题化归为熟悉的问题转换为易于处理的问题。“化归化归”是转化是转化回归的简称，其基本思想是：将待解决的问题回归的简称，其基本思想是：将待解决的问题A通过某种转化手段归结通过某种转化手段归结为另一个问题为另一个问题B，再通过对问题，再通过对问题B的解决而得到原问题的解决而得到原问题A的解答。用框图的解答。用框图可直观表示为：可直观表示为：转化转化待解决的问题待解决的问题A易解决的问题易解决的问题B（

14、化归途径）（化归途径）问题问题A的解决的解决（化归对象）（化归对象）问题问题B的解决的解决（化归目标）（化归目标）还原还原说明说明 等价变形是一种重要的形式转换也可称为同向化归。数学符号化、等价变形是一种重要的形式转换也可称为同向化归。数学符号化、形式化后，每一种数学语义，或者是每一个数学概念、关系等一般都形式化后，每一种数学语义，或者是每一个数学概念、关系等一般都有一种确定的数学符号表示。但数学符号表示与数学语义解释不是一有一种确定的数学符号表示。但数学符号表示与数学语义解释不是一 一对应的，即一种数学符号可能有多于一种的数学语义的解释，这就一对应的，即一种数学符号可能有多于一种的数学语义的

15、解释，这就为语义转换的策略的实施提供了客观基础。为语义转换的策略的实施提供了客观基础。例1： 化简： 333322223111122222311111解：设22223=a, 11112=b, 则11111=a-b, 于是原式33223322()()33335()()() () 233334aba b aab ba baa ba a b aaa ba ba b 例2 已知正数求证： 证明：易知条件 (*)据对称性，不妨设于是由（*）知 . 3)2-()2-)2-(222222222222+abcbacabacbcacb（222222222222-()() +() -30222bc aca bab

16、 cbccaab0 1-)b2-( 1-)2b-( 1-)2-(222222222222+cbababacacbcbacba0)-)(-)(-(+cbabacacbcba,满足cba,可以为三角形的三边., cba则. 0-, 0-+cbabac. 0- +acb即有.,acbcbabac+故cba,可以为三角形的三边.1.2.2 1.2.2 分解与整合分解与整合 数学解题中的数学解题中的“分解分解”与与“整合整合”策略，是辩证思维的重要内容之一，由于矛策略，是辩证思维的重要内容之一，由于矛盾存在于一切事物之中，盾存在于一切事物之中，“分分”与与“合合”这对矛盾在数学解题中也是无时不有无这对矛

17、盾在数学解题中也是无时不有无处不在处不在. . “分解分解”策略，就是在解题时，将待解决的问题适当分解、分域或分步、分策略，就是在解题时，将待解决的问题适当分解、分域或分步、分类等，或将图形分割成易于讨论的几个互相契合的图形，然后一一证之或解之类等，或将图形分割成易于讨论的几个互相契合的图形，然后一一证之或解之. .这种策略常可使一时难以捉摸无法下手的问题变得明朗清楚这种策略常可使一时难以捉摸无法下手的问题变得明朗清楚. . “整合整合”策略，也是一种整体策略策略，也是一种整体策略. .解题时，将待解决的问题的条件组合起解题时，将待解决的问题的条件组合起来，叠加起来，从统一的角度，用整体的观点

18、来考虑如何达到目标来，叠加起来，从统一的角度，用整体的观点来考虑如何达到目标. .这可使我们这可使我们更为透彻地和有条理地了解问题中所包含的各种信息，这对于比较自然，比较有更为透彻地和有条理地了解问题中所包含的各种信息，这对于比较自然，比较有把握地发现解题途径无疑大有好处把握地发现解题途径无疑大有好处. .例例3 3 分解因式：分解因式： 解：设 原式 .24143)84(2322xxxxx+,842yxx=+则2223xxyy+=)2)(xyxy+=)86)(85(22+=xxxx)85)(4)(2(2+=xxxx例4 已知 证明：设 由算术-几何均值不等式的以下4个不等式: 将上述4个不等

19、式相加，得 约去3，然后两边三次方，整理得 故原不等式获证. 说明用上述方法，此例可推广为：若求证：,434141,434141323323AcAcAaAa+,434141,434141323323AdAdAbAb+,4)(3232AdcbaAA+.)()4(41)(4124232dcbadcbaabcddcbaA+=+.11niinimiaa=求证：, 1,=+abcdRdcba.3333dcbadcba+. 4,3333=+=BdcbaA,+Rai且, 121+=Nmaaan例5 已知 证明：记.)()()(3222222cabcabacaccbcbbaba+,223222221acacM

20、cbcbMbabaM+=+=+=则,+Rcba试证明：3222221223322113MacacMcbcbMbabaMMMMMM+=+=)()()(322123222132212McMbcMbMaMbMabMcaMcMa+=332133213321333MMMbcMMMabMMMca+,)(33321MMMcabcab+=即.)(333321MMMcabcab+整理得.)(3321cabcabMMM+从而原不等式获证.1.2.3 1.2.3 数形互助数形互助 数和形这两个基本概念，是数学的两块基石数和形这两个基本概念，是数学的两块基石. .全部数学大体上都是全部数学大体上都是围绕这两个概念的提

21、炼、演变、发展而展开的围绕这两个概念的提炼、演变、发展而展开的. .在数学的发展进程中，在数学的发展进程中，数和形常常结合在一起，在内容上互相联系，在方法上互相渗透，数和形常常结合在一起，在内容上互相联系，在方法上互相渗透，在一定条件下互相在一定条件下互相 转化、补充转化、补充. .在数学史上还可看到：当数和形孤在数学史上还可看到：当数和形孤立研究时，进程就缓慢；当数和形结合起来，数学研究就会取得突立研究时，进程就缓慢；当数和形结合起来，数学研究就会取得突破破. . 数形互助解题法包括三个方面数形互助解题法包括三个方面: :以形助数、以数助形、数形互助以形助数、以数助形、数形互助. .例6 已

22、知点证明：证法1 如图1，过点P作知因点Q的坐标满足方程组即将上述方程组中两个方程的两边分别平方后，相加得因),(00yxP和直线),0(0:22+=+BACByAxl求证：点P到直线l0022|.AxByCdABlPQ于点),(yxQ,ABkPQ=则PQ的方程为).-(-00 xxAByy=).-(-, 000 xxAByyCByAx=+. 0)-(-)-(),( -)-()-(000000=+=+xxByyACByAxyyBxxA.)()-()-)(200202022CByAxyyxxBA+=+, 022+BA从而.|)-()-(22002020BACByAxyyxxd+=+=的距离 证法

23、2： 设),(1yxP是直线0:=+CByAxl上任意一点，过P作lPQ于点Q，则直线l的方向向量为),(ABm=直线l的法向量为).,(BAn=亦即( , ),PQ ABu u u r向量100(,),PPxxyyuuu r向量1PPuuu r在向量PQuuu r上的射影即为点P到直线l距离 .d由向量的射影公式，有000012222|()()|.|A xxB yyAxByCPP PQdPQABABuuu r uuu ruuu r 说明：上述两种证法借助于数式的推演，给出了点到直线的距离公式的推导.其实该例还有20种推演的方法，可参见沈文选老师的著作数学眼光透视，哈尔滨工业大学出版社出版.的

24、例7 设MN、PQ是两条线段，则 证明：证法1 如图2(1)、(2)，设R、S、T、K、E、F分别为QN、NP、PM、MQ、PQ、MN的中点，将这些中点两两连接，则四边形KFSE、RFTE及KRST均为平行四边形. 由平行四边形性质，有 于是，MNPQ的充分必要条件是2222.PMPNQMQN-=-222222222(),2().KEKFEFKSERRFEFRT+=+=+（*）MNPQ注意/ /,/ /,KTQP KRMN有KTKR平行四边形KRST为矩形22KSRTKSRT注意到(*)式，有22224()4()KEKFERRF+=+2222.PMPNQMQN注意到三角形中位线性质，有2222

25、PMQNPNQM+=+证法2：注意到新来的运算，有 说明：上述的证明对平面、空间的情形均成立.在平面情形中的必要性即为定比幂线定理.在空间中即“有一组对棱互相垂直的四面体（或三棱锥）的充要条件是另两组对棱的平方和相等”的结论.2222PMQNPNQM+-2222PMQNPNQMuuuuruuuu ruuuu ruuuur2222()()PMPNPQPNPMPQuuuuruuuu ruuu ruuu ruuuruuu r22222222PMPNPQPN PQPNPMPQPM PQuuuuruuuu ruuuu ruuuu ruuuuruuuu ruuu r uuu ruuur uuu r22PM

26、PQPNPQuuur uuu ruuu r uuu r2()2.PMPNPQNM PQuuuruuu ruuu ruuur uuu r于是2222222200MNPQNMPQNM PQPMQNPNQMPMPNQMQNuuuuruuuu r uuuu r uuuuruuuruuu ruuur uuu r2.4 2.4 筛选缩围筛选缩围 不少数学问题，由于给定的条件和结论不相匹配，它表现出条件较宽不少数学问题，由于给定的条件和结论不相匹配，它表现出条件较宽或较少，一开始或当解题进行到某一步后，不能再进行下去，需要我或较少，一开始或当解题进行到某一步后，不能再进行下去，需要我们进行恰到筛选有关条件或

27、筛选从有关条件推出的结论们进行恰到筛选有关条件或筛选从有关条件推出的结论. .恰当选择是恰当选择是至关重要的至关重要的. . “收缩并分割，再围而歼之收缩并分割，再围而歼之”，这是孙子兵法中的一种重要战略战术，这是孙子兵法中的一种重要战略战术，而而“缩小包围圈缩小包围圈”的解题策略正是这种军事思想在解题中的具体运的解题策略正是这种军事思想在解题中的具体运用用. .“缩小包围圈缩小包围圈”的策略可以表现在：放缩夹逼，限定范围；分类的策略可以表现在：放缩夹逼，限定范围；分类讨论，逐一击破；提炼特征，减元缩围；肢解减化，分别处理；等等讨论，逐一击破；提炼特征，减元缩围；肢解减化，分别处理；等等. .

28、例8 已知证明：因为, , ,a b c d均为正数，求证：12.abcdabcabdacdbcd+ + + + + + + + +=+ + + + +又2,abcdabcdabcabdacdbcdababcdcd+=+ + + + +所以12.abcdabcabdacdbcd+lg(1)lg(1),nmmn+即()lg 1lg(1).nmmn+由语义转换构造函数lg(1)1 ,yxx在其图象上取点( ,lg(1),lg 1,A mmB nn如图3，则直线OA、OB的斜率分别为()lg 1lg(1),.OAOBmnkkmn+=如图，可知，.OAOBkk所以lg(1)lg(1)(1).mnmnm

29、n故原不等式成立.说明：符号语言转换为图形语言解法2：原不等式等价于不等式联想到均值不等式1(1) ,mnmn+在不等式两边同时乘以, n可得到()(1)1,mnnmnn+1231212(,0)nnnnaaaan a aaa aaKKK的形式，构造(1)(1)(1)(1) 1 11,n mmnmnnn LL1444 424444 314444444444 4244444444444 3(1)(1)(1) 1 11(1)1 11(1) ,mnn mmmnnmnnnnn LLL1444 424444 314444444244444443即1(1) .mnmn+说明：符号语言化归为公式语言(1)(1

30、)1 11,mmnnnn L所以( (二二) )语义转换为解题提供新视野语义转换为解题提供新视野 不少数学题的解题方法不止一种，而探究新的解题方法需要进不少数学题的解题方法不止一种，而探究新的解题方法需要进行合理的语义转换行合理的语义转换. .由于数学语义转换的由于数学语义转换的“一式多义性一式多义性”，即对同一，即对同一形式可以进行不同的语义解释形式可以进行不同的语义解释. .例如，例如， 22xy可表示可表示x与与y的平方和的算术平方根，也可表示点的平方和的算术平方根，也可表示点( , )x y到原点到原点(0,0)的距离的距离. .又如，符号又如，符号“|”“|”有四种不同的含义，即有四

31、种不同的含义，即绝对值、向量的模、复数模、两点间距离绝对值、向量的模、复数模、两点间距离. .例11 设点P是边长为1的正方形ABCD内任一点，求 解析解析1 1：此题可通过语义转换，转换为图形语言，进而利用图形的几何：此题可通过语义转换，转换为图形语言，进而利用图形的几何性质求解性质求解. .( )f pPAPBPCPD=+的最小值.由三角形的性质可得,2.PAPCAC PBPDBD BDAC+=所以( )2 2.f pPAPBPCPDBDAC=+=即( )f pPAPBPCPD=+的最小值是2 2. 解析2：建立直角坐标系，如图4，设点P坐标( , ),x y公式，列出方程22222222

32、(1)(1)(1)(1) ,xyxyxyxy+-+-+-+-求最小值.直接求值会有一定难度，但如果将正方形ABCD置于复平面之中，构建复数模型，问题就简单多了.然后根据两点间距离22222222( )(1)(1)(1)(1) .f pxyxyxyxy=+-+-+-+-将正方形ABCD置于复平面之中，构建复数模型.1234,(1),(1)(1) ,(1) .zxyi zxyi zxy izxy i=+=-+=-+-=+-( )f pPAPBPCPD=+12341234| |22 | 2 2,zzzzzzzzi当且仅当12xy=时取等号，所以( )f p的最小值是2 2.2.2.2 2.2.2 培

33、养学生语义转换能力的对策培养学生语义转换能力的对策 数学解题涉及语义转换，数学语义转换又牵涉数学解题涉及语义转换，数学语义转换又牵涉学生的数学语言能力学生的数学语言能力. .学生的数学语言能力不足学生的数学语言能力不足会影响数学语言之间是相互转换，这自然会使学会影响数学语言之间是相互转换，这自然会使学生学习困难生学习困难. .因此在教学中，教师要指导学生准因此在教学中，教师要指导学生准确使用数学语言，掌握文字语言、符号语言、图确使用数学语言，掌握文字语言、符号语言、图形语言各自的特点，将这三种语言的优势互补，形语言各自的特点，将这三种语言的优势互补，学会互相转换学会互相转换. .（一）掌握三种

34、语言的特点使之完美互译（一）掌握三种语言的特点使之完美互译 在进行三种语言之间的互译前，先理解它们各自的特在进行三种语言之间的互译前，先理解它们各自的特点是很有必要的，知道各自的优势后进行相互转换，才能点是很有必要的，知道各自的优势后进行相互转换，才能达到优势互补达到优势互补. .了解三种语言的特点是数学语言间互译的了解三种语言的特点是数学语言间互译的方向标方向标. .(1)(1)文字语言的特点及其转换；文字语言的特点及其转换；(2)(2)符号语言的特点及其转换；符号语言的特点及其转换；(3)(3)图形语言的特点及其转换图形语言的特点及其转换. .例12 用一个平行于圆锥底面的平面截此圆锥，截

35、得圆台上、下底面的面积之比为 解析：依据题意，画出图形如图5，这一过程是将文字语言转化为图形语言再结合图4和题意，写出已知条件和未知条件，已知1:16,截去的圆锥的母线长是3，求圆台的母线长.22:1:16,3,rRSA求. l此过程是将文字语言和图形语言转化为符号语言.最后结合图形根据相似三角形的性质解出答案.（二）重视使用多种语言进行知识的讲解（二）重视使用多种语言进行知识的讲解 斯图里亚尔指出，数学教学也就是数学语言的教学斯图里亚尔指出，数学教学也就是数学语言的教学. .教师在教学教师在教学中要善于运用文字语言、符号语言和图形语言等多种数学语言进行知中要善于运用文字语言、符号语言和图形语

36、言等多种数学语言进行知识的讲解，对于定理、定义、性质等内容采用三种语言同时讲授，让识的讲解，对于定理、定义、性质等内容采用三种语言同时讲授，让它们的优势互补和有机融合，更易使学生对知识达到融会贯通的程度它们的优势互补和有机融合，更易使学生对知识达到融会贯通的程度. .例如： 集合A为集合B的子集(文字语言) ABBA或（符号语言）（图形语言）（三）鼓励学生多说多读（三）鼓励学生多说多读学生的数学阅读能力和说的能力比较弱，不少学生在课堂上学生的数学阅读能力和说的能力比较弱，不少学生在课堂上不愿意说、不敢说，说不清。课堂上教师对说和读的训练也不愿意说、不敢说，说不清。课堂上教师对说和读的训练也不够

37、重视，致使其阻碍了学生的数学语言能力的发展。阅读不够重视，致使其阻碍了学生的数学语言能力的发展。阅读可以帮助思维进行进一步加工、提炼，使之更准确、更具有可以帮助思维进行进一步加工、提炼，使之更准确、更具有条理，使学生的数学语言水平得以提高，不断完善，规范自条理，使学生的数学语言水平得以提高，不断完善，规范自己的数学语言系统。对于学生的不愿说、不敢说的现象，首己的数学语言系统。对于学生的不愿说、不敢说的现象，首先要培养学生的兴趣，让每一位学生愿意说、敢于说。因此先要培养学生的兴趣，让每一位学生愿意说、敢于说。因此在课堂上，教师要积极创设情境，激发学生说和读的兴趣，在课堂上，教师要积极创设情境，激

38、发学生说和读的兴趣，调动学生的好奇心，求知欲，让学生愿意说数学，读数学调动学生的好奇心，求知欲，让学生愿意说数学，读数学 。2.3 2.3 加强解题素养教学加强解题素养教学2.3.1 2.3.1 数学知识素养的培养教学数学知识素养的培养教学2.3.2 2.3.2 数学观念素养的培养教学数学观念素养的培养教学2.3.3 2.3.3 解题策略方法素养的培养教学解题策略方法素养的培养教学2.3 2.3 加强解题素养教学加强解题素养教学数学素养已成为现阶段时代背景、文化需求下我国中学生应数学素养已成为现阶段时代背景、文化需求下我国中学生应具备的基本素养之一，也是素质教育的重要组成内容，而解具备的基本素

39、养之一，也是素质教育的重要组成内容，而解题是数学教学与学习的重要组成部分。美籍匈牙利数学家、题是数学教学与学习的重要组成部分。美籍匈牙利数学家、数学教育家数学教育家G波利亚认为：波利亚认为：“掌握数学就意味着善于解题掌握数学就意味着善于解题 ”；我国著名教师、教育研究者张乃达先生主张：我国著名教师、教育研究者张乃达先生主张：“数学教育应数学教育应该以解题为中心该以解题为中心”，“达到教学目的的最好手段就是解题教达到教学目的的最好手段就是解题教学学”。因此，数学解题素养的提升是数学素养培养的核心内。因此，数学解题素养的提升是数学素养培养的核心内容容 。2.3.1 2.3.1 数学知识素养的培养教

40、学数学知识素养的培养教学 如果没有基础知识做铺垫，数学解题根本无从谈起。中如果没有基础知识做铺垫，数学解题根本无从谈起。中学数学知识可认为主要是经由算子性知识、关联性知识和策学数学知识可认为主要是经由算子性知识、关联性知识和策略性知识交汇、融合而成。算子性知识主要是由于教材中的略性知识交汇、融合而成。算子性知识主要是由于教材中的数学概念和数学原理（公理，定理，公式和法则等）组合而数学概念和数学原理（公理，定理，公式和法则等）组合而成。关联性知识主要是指内隐或游离于数学教材体系中与数成。关联性知识主要是指内隐或游离于数学教材体系中与数学教学、数学学习内容密切相关联的知识，如数学应用、数学教学、数

41、学学习内容密切相关联的知识，如数学应用、数学史、数学文化、数学美等，有益于学生对数学的价值产生学史、数学文化、数学美等，有益于学生对数学的价值产生更深刻的认识。策略性知识主要包含数学思想方法、数学思更深刻的认识。策略性知识主要包含数学思想方法、数学思维模式、数学学习方法等，它是主体面临问题时基于自身思维模式、数学学习方法等，它是主体面临问题时基于自身思考所生成的解题策略及对策略本身认识的知识考所生成的解题策略及对策略本身认识的知识 。 此题是一个有关不等式类型的问题，且结论中还涉及根号。基于此，此题是一个有关不等式类型的问题，且结论中还涉及根号。基于此，学生不难联想到可通过不等式两边同时立方求

42、证，而这里由条件推结论是学生不难联想到可通过不等式两边同时立方求证，而这里由条件推结论是比较困难的，所以可用分析法从结论入手比较困难的，所以可用分析法从结论入手 。例13： 已知： ab0, 求证：333aba b证法1：要证因为 ab0,所以因此，只需证即要证化简可得，只需证由于所以只要证：又由已知条件可知ab0, 所以显然成立，即原不等式成立，证毕333,aba b3330,0abab33333()() ,aba b332233,aa babbab3322,aba b30,ab 33.ba33ba说明：说明： 要素是算子性知识。要素是算子性知识。 证法2：要证 说明：这种证法主要利用333

43、,abab-所以只需证331.ababab-=-=-因此只需证1.xy-+所以1,xy-即331,ababab-则题意转换为要证：( )( )().f af bf ab-所以只需证( )( )()(0),()0f af bf abfabab-= -是一个凸函数.又0,aab-则tantan（其中( )( )()(0)tan,tan,(0)0()0f af bf abffabab从而推出( )( )f af bab-是成立的，则( )f a -即333,abab-从而原不等式成立，证毕. 说明：证法3通过将不等式与函数建立联系，在函数的思想观点下借由图象的性质得到不等式的大小比较.凸性质.如图7

44、，因为函数）.()(0),()0f abfab-( )( )()(0)()0f af bf abfabab-因此( )(),f bf ab求证：.abab+ 本题是一道简明的不等式证明题，依据不等式的基本性质，可以从多途径、多角度去思考证明方法.0.xy-只需证,xy作差证此例怎么样？作差后好变形 证法1：（作差法）直接作差后不易变形，便采用“凑0”技巧有()1 1(1)(1) 1(1)(1) 1ababababa bbab-+=-+ -=-=-由于2,2,ab即1 1,1 1,ab- - 得(1)(1)1,ab-(1)(1) 10,ab- 即故有.abab+处理吗？ 分析2 想不到采用“凑

45、0 ”技巧，又该怎么办？可以对原有条件进行同解变形吗？对求证式也可以同解变形吗？ 证法2：（作差法）因为2,2,ab所以20,20.ab-又因为22()(2 )(2 )(2)(2)0,abababaabba bb a-+=-+-=-+-所以22()0,abab-+即.abab+ 分析3：如上的证法，需要对求证式先乘以2，再作差.不乘以2，能不能证明呢？考虑到对称性，可以用排序的技巧处理吗？ 证法3：（做差法）由对称性，不妨设,ab注意到2,b 则有()2()0,abaabab+-+=-所以.abab+ab- 证法4：（排序法）由对称性，不妨设,ab注意到2,b 则有2,abaaaab=+所以.

46、abab+ 分析5：作商怎么样？ 证法5（作商法）由2,2,ab可得11 11,.22ab于是1 11 11,2 2a babb a+=+分析4：如上的证法3也可以不用作差技能，改述为下面的证法.分析6，如上的作商法稍加改变，就可得到用不等式的叠加性质来证吗？证法6： （叠加法）由a2,b2可得 1 1 1 1,22ab将这两个不等式叠加得 1 1 1 1,2 2a b 1,a bab即也就是a+ba+b。 分析7 如上的证法里，有“加、减、商的证法”，容易想到的是“乘”的证法吗？ 证法7： （叠乘法）由a2,b2可得a11,b11，所以（a1）（b1）1，即a b（a+b）0， 所以a b（

47、a+b）。分析8 对条件里的2不分解，也可以直接去叠乘吗？证法8：（叠乘法）由a2,b2可得a20,b20，再将这两个不等式叠乘，得（a2）（b2）0，即a b2（a+b）+40， 于是有 a b（a+b）（a2）+（b2）0所以a b（a+b）。分析9 由条件联想到增量换元法，可以这样证吗？证法9： （增量换元法）由a2,b2，设a=2+x,b=2+y,x0, y0, ab=(2+x)(2+y) =(2+x)+(2+y)+(x+y+xy) =a+b+(x+y+xy)a+b, 所以a b（a+b）。分析10 若将作差后a b（a+b）的代数式记为f (a), 构造一次函数，又获简明解法。 证法

48、10 （构造函数法） 构造函数f (a)a b（a+b）（b1）ab。 因为b2，所以b110，这说明函数f (a)（b1）ab是关于a的一次递增函数，并注意到a2，f (2)2（b1）bb20，所以f (a) f (2)0，故有a ba+b。 分析11 对a b（a+b）分离变量，使a、b分别位于不等号的两端，可以证吗？ 证法11： （分离变量法）对a b（a+b）变形得a（b1）b， 分离变量得1,1,11baabb即因为b2，所以b11，得1111,12,1.111aabbb 即成立所以a b（a+b）。 上述一例，我们通过从不同的角度、不同侧面对题设条件上述一例，我们通过从不同的角度、

49、不同侧面对题设条件进行设问，获得到了这一系列的精彩证法。进行设问，获得到了这一系列的精彩证法。 “一题多解一题多解”扮演着扮演着“促进解题方法的深化、广化的角促进解题方法的深化、广化的角色色”；“一题多解一题多解”体现着变形处理的思维训练；体现着变形处理的思维训练；“一题多解一题多解”给解题者带来解题的乐趣与攻坚克难后的喜悦。给解题者带来解题的乐趣与攻坚克难后的喜悦。 2.4.2 “一题多解一题多解”可以训练数学思维演绎深化。可以训练数学思维演绎深化。 例16 已知点A（0，2），B（0，2），点P在圆(x-3)2+(y-4)2=1上，求|PA|2+|PB|2的最大值。 本题可从代数层次、几何

50、层次、向量与导数层次演绎深化。若从代数层次而言，可从方程、函数、三角、复数等方面考虑。考虑到本题是与圆的方程有关的问题，可选择运用方程的方法作为思维的起点。解法1： 由(x-3)2+(y-4)2=1，得x2+y2=6x+8 y24，又设|PA|2+|PB|2=t, 则 t= x2+(y-2)2+ x2+(y+2)2=12x+16 y40, 所以12x+16 y40t=0, 由 22(3)(4)11216400 xyxyt 消去y得到关于x的二次方程400 x224（40+ t）x + t248 t +26240，由0，并化简得：t2120 t +32000 ，解得40 t 80， 因此|PA|