高中数学-空间向量及向量的应用_1.docx

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1、高中数学-空间向量及向量的应用高中数学-空间向量及向量的应用一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。设血勺乃召，氓叫?乃w，AB=OB-OA=y2l切吊丹丑=乃咛乃丹勺一匂空间向量的直角坐标运算：设Q=2,砌，色3$=1鹉毎妇则；口+b=P,曲，电宀|俎,给禺?=I角十知鬥+為、屯+鸟I?a-b=aa2,a21诲.场岛i=业一气-如码一為帀加=兄I曲卫2，?=I現珂久卷/ie7?；总&=|气命4片妇任|=&占+逐血+&並：口0Fe鱼二空三生=左或。舌寻口三碣-冊节处二赵;对?$7丄匸q口血十口曲十m禺=0；空间两点间距离:丄“1:利用空间向量证实空间位

2、置关系同平面向量2:利用空间向量求线线角、线面角1异面直线所成角Z?gw设Q分别为异面直线讥的方向向量，则则:空间线段的中点Mx，y，z的坐标:空间直角坐标系的原则:规定：一切空间向量的起点都是坐标系原点，于是，空间任意一个向量与它的终点坐标逐一对应 (2)线面角凰打殳（是直线l的方向向量，n是平面的法向量，则3:利用空间向量求二面角其计算公式为：设加“分别为平面G8的法向量，则与，剤7互补或相等,-?.m*n|(csfli=|A|=I忘I*I云I操作方法：1?空间中各种角包括：异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角。棱上一点双垂线法：面上一点三垂线法：空间一点垂面法:斜面面积和射影面

3、积的关系公式：SScos(S为原斜面面积，S为射影面积，为斜面与射影所成二面角的平面角)这个公式对于斜面为三角形,任意多边形都成立.是求二面角的好方法.当作二面角的平面角有困难时假如能找得斜面面积的射影面积，可直接应用公式，求岀二面角的大小。2?空间的距离点线距，点面距，线线距，线面距，面面距都是对应图形上两点间的最短距离3?空间向量的应用(1)用法向量求异面直线间的距离CQSPrris-：欧*b(1)异面直线所成的角的范围是(2)直线与平面所成的角的范围是0,。射影转化法2方法(3)二面角的范围一般是指(0,，解题时要注意图形的位置和题目的要求。作二面角的平面角常有三种bF如右图所示，a、b

4、是两异面直线，n是a和b的法向量，点Ea,Fb，则异面直线a与b之间的距离EFn是dn(2)用法向量求点到平面的距离-ABn如右图所示，已知AB是平面a的一条斜线，n为平面a的法向量，则A到平面a的距离为d|n(3)用法向量求直线到平面间的距离首先必须确定直线与平面平行，然后将直线到平面的距离问题转化成直线上一点到平面的距离问题。(4)用法向量求两平行平面间的距离首先必须确定两个平面能否平行，这时能够在一个平面上任取一点，将两平面间的距离问题转化成点到平面的距离问题。(5)用法向量求二面角如图，有两个平面a与B，分别作这两个平面的法向量m与压，则平面a与B所成的角跟法向量n1与n2所成的角相等

5、或互补，所以首先必须判定二面角是锐角还是钝(6)法向量求直线与平面所成的角要求直线a与平面a所成的角e,先求这个平面a的法向量n与直线a的夹角的余弦cosn,a】，易知e=n,a或者一2n,a：向量的应用例题1.在四边形ABCD中，AB?BC=0,BC=AD,则四边形ABCD是A.直角梯形B.菱形C.矩形D.正方形解析：由AB?BC=0知AB丄BC.由BC=AD知BCAD.二四边形ABCD是矩形.答案：C2.已知a、b是两个非零向量，当a+tb(tR)的模取最小值时,(1)求t的值；(2)求证：b丄(a+tb).解：(1)设a与b的夹角为0,则|a+tb|2 (a+tb)2=|a|2+t2|b

6、|2+2a?(tb)=|a|2+t2|b|2+2t|a|b|cos0=|b|2(t+lcos|b|0)2+|a|2sin20,所以当t=ab2时，|a+tb|有最小值.|b|ab(a+tb)=b?(a石?b)=a?ba?b=0,所以b(a丄tb).|b|2回cos0=|a|b|cos|b|(2)证实：由于b?已知OA=a,OB=b,|b|2a?b=|ab|=2,当厶AOB面积取最大值时,求a与b的夹角.解：由于|ab|2=4,1SAAOB=OA?OBsin0=-1a|22所以a22a?b+b2=4.所以|a|2+|b|2=4+2a?b=8,一121i222122b|1cos=|a|b|(ab)

7、=|a|b|b|2)224=3,(当且仅当|a|=|b|=2时取等号)所以当|a|=|b|=2时,AOB的面积取最大值,这时,cos1|a|b|222,0=壬所以0=60.3.如图，ABC的BC边的中点为利用向量证实:AB2+AC2=2(AM2+BM2).证实：设AM=m,AB=b,AC=c,则m=A2BMCbccm?m=-一21212112121=AB2+AC2+AB?AC?cos/BAC=AB2+AC2+AB?AC?441212=_AB+_AC+44又?BC2=4BM2,242AB21_121“212一?一4一4212222121212-(AB+ACBC).二AM=AB+AC-BC.4?AB2+AC2=2(AM2+BM2).4.已知A(4,0),N(1,0)，若点P知足AN-AP=6|PN|.(1)求点P的轨迹方程，并讲明该轨迹是什么曲线;21b2+b?2AC212c+c4BC22ABAC(2)求|PN|的取值范围;(3)若M(1,0),求/MPN在0,n上的取值范围当前位置：文档视界高中数学-空间向量及向量的应用高中数学-空间向量及向量的应用当前位置：文档视界高中数学-空间向量及向量的应用高中数学-空间向量及向量的应用当前位置：文档视界高中数学-空间向量及向量的应用高中数学-空间向量及向量的应用