初中数学竞赛讲义一元二次方程公共根问题.docx

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1、初中数学竞赛讲义一元二次方程公共根问题当前位置：文档视界初中数学竞赛讲义一元二次方程公共根问题初中数学竞赛讲义一元二次方程公共根问题一元二次方程公共根问题若已知若干个一元二次方程有公共根，求方程系数的问题，叫一元二次方程的公共根问题，解题方法：1、直接求根法，再讨论根与根之间的公共关系。2、由题意用下面解题步骤：若两个一元二次方程只要一个公共根，则：1.设公共根为，则同时知足这两个一元二次方程；2.用加减法消去2的项，求出公共根或公共根的有关表达式；3.把共公根代入原方程中的任何一个方程，然后通过恒等变形求出公共根或求出字母系数的值或字母系数之间的关系式例1已知一元二次方程x2-4x+k=0有

2、两个不相等的实数根，1.求k的取值范围2.假如k是符合条件的最大整数，且一元二次方程x2-4x+k=0与x2+mx-1=0有一个一样的根，求此时m的值解：1b24ac164k0,k当前位置：文档视界初中数学竞赛讲义一元二次方程公共根问题初中数学竞赛讲义一元二次方程公共根问题解：不妨设关于x的方程x2-a+bx+ab=0与x2-abx+a+b=0有公共根，设为x0，则有x02?(a+b)x0+ab0x02?abx0+(a+b)02整理可得x0+1a+b-ab=0a2，b2，a+bab，x0=-1；把x0=-1代入得1+a+b+ab=0，这是不可能的所以关于x的两个方程没有公共根又解：x2-(a+

3、b)x+ab=(x-a)(x-b)=0所以其两根分别是a和b若方程：x2-abx+(a+b)=0有1根x=a,代入,得：a2a2b+a+b=0(b-1)a2-a-b=0(b-1)a-b)(a+1)=0得：a=b/(b-1),或a=-1a2,其中b-10,得：b2(b-1)即：b2矛盾同理,方程：x2-abx+(a+b)=0有1根x=b,也能推出同样的矛盾所以两个方程没有公共根例4、求k的值，使得一元二次方程210+-=，2(2)0xkx+-=有xxk一样的根，并求两个方程的根解答：不妨设a是这两个方程一样的根，由方程根的定义有a2+ka-1=0，当前位置：文档视界初中数学竞赛讲义一元二次方程公

4、共根问题初中数学竞赛讲义一元二次方程公共根问题例5二次项系数不相等的两个二次方程222(1)(2)(2)0axaxaa-+=和222(1)(2)(2)0bxbxbb-+=(其中a，b为正整数)有一个公共根，求abbabaaa-+的值。解答：由方程a-1x2-a2+2x+a2+2a=0得，a-1x-a+2x-a=0x2=a；同理可由方程b-1x2-b2+2x+b2+2b=0解得x2=b；a，b为不相等的正整数，而两个方程有一个公共根所以a-1只能为1或3，即a=2，b=4，或a=4，b=2若有也是同样的结果当a=2，b=4，当前位置：文档视界初中数学竞赛讲义一元二次方程公共根问题初中数学竞赛讲义

5、一元二次方程公共根问题当前位置：文档视界初中数学竞赛讲义一元二次方程公共根问题初中数学竞赛讲义一元二次方程公共根问题1求k的取值范围；2假如k取符合条件的最大整数，且一元二次方程062=+-kxx与012=-+mxx有一个一样的根，求常数m的值。解1，k9；2k是符合条件的最大整数且k9，k=9，当k=9时，方程x2-6x+9=0的根为x1=x2=3；把x=3代入方程x2+mx-1=0得9+3m-1=0，m=-8/32.已知一元二次方程042=+-kxx有两个实数根。1求k的取值范围；2假如k取符合条件的最大整数，且一元二次方程042=+-kxx与012=-+mxx有一个一样的根，求此时m的值

6、。解答：(1)0解得kx2+mx-1=0的根是3时,m=-8/33.已知21,xx是一元二次方程032)1(2=-+kkxxk有两个不相等的实数根。1求k的取值范围；2在1的条件下，当k取符合条件的最小整数时一元二次方程02=+-kxx与022=-+mmxx只要一个一样的根，求m的值。解答：1方程有两个不相等的实数根，=b2-4ac=2k2-4k+1k-30解得k-3/2方程是一元二次方程k+10，k-1实数k的取值范围为：k-3/2且k-12由1可得：k取最小整数时k=0x2-x+0=0，解得x1=0，x2=1把x=0代入x2+mx-m2=0，m=0把x=1代入x2+mx-m2=0得，m2-m-1=0，解得m=4、已知方程072=-kxx与方程0)1(62=+-kxx有公共根，求k的值及两方程的所有公共根和所有的相异根。解答：设两个方程公共根为x，依题意得X2?kx?70X2?6x?(k+1)0-得，-6+kx+6-k=0，当-6+k=0，即k=6时，x取任意值，两个方程得解都一样两个方程是同一个式子方程得解是x1=7，x2=-1；当k6时，解得x=1把x=1代入x2-kx-7=0得，1-k-7=0，k=-6于是两方程为：x2+6x-7=0，x1=1，x2=-7X2-6x+5=0，x1=1，x2=5故答案为：k=-6；其公共根为1，相异根为：-7和5